中學數(shù)學向量運算課堂練習題一、引言向量是中學數(shù)學中連接代數(shù)與幾何的橋梁，其運算體系（線性運算、數(shù)量積、坐標運算）不僅是三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何的基礎，也是培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”思維的關鍵載體。本文針對向量運算的核心知識點，設計了分層練習題，涵蓋基礎鞏固、能力提升與綜合應用，助力學生系統(tǒng)掌握向量運算規(guī)律，提升解題能力。二、基礎概念鞏固（聚焦本質(zhì)特征）題型說明：強化向量“有大小、有方向”的本質(zhì)，鞏固相等向量、共線向量等概念。1.選擇題下列物理量中，屬于向量的是（）A.溫度B.路程C.加速度D.質(zhì)量答案：C解析：向量需同時具備“大小”與“方向”。溫度、路程、質(zhì)量均無方向（標量）；加速度有方向（與速度變化方向一致），故為向量。2.填空題已知向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CD}$相等，$\overrightarrow{AB}$的方向為北偏東$40^\circ$，則$\overrightarrow{CD}$的方向為______。答案：北偏東$40^\circ$解析：相等向量方向相同、模長相等，故$\overrightarrow{CD}$方向與$\overrightarrow{AB}$一致。3.選擇題下列說法正確的是（）A.模相等的向量是相等向量B.方向相同的向量是共線向量C.零向量沒有方向D.單位向量都相等答案：B解析：A錯誤（相等向量需方向相同）；B正確（共線向量定義：方向相同或相反的向量）；C錯誤（零向量方向任意）；D錯誤（單位向量模相等但方向可能不同）。三、線性運算訓練（掌握運算規(guī)律）題型說明：圍繞向量加法（三角形/平行四邊形法則）、減法（三角形法則）、數(shù)乘（方向與模的變化）及運算律設計，強化幾何意義與代數(shù)邏輯的結(jié)合。1.填空題已知向量$\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2$，則$2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol=$______。答案：$9\boldsymbol{e}_1-7\boldsymbol{e}_2$解析：按運算律展開：$2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol=2(3\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)-3(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=6\boldsymbol{e}_1-4\boldsymbol{e}_2+3\boldsymbol{e}_1-3\boldsymbol{e}_2=9\boldsymbol{e}_1-7\boldsymbol{e}_2$。2.選擇題在$\triangleABC$中，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol$，則$\overrightarrow{AB}=$（）A.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol$B.$\boldsymbol{a}-\boldsymbol$C.$-\boldsymbol{a}-\boldsymbol$D.$\boldsymbol-\boldsymbol{a}$答案：C解析：由三角形法則，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC}=-\boldsymbol-\boldsymbol{a}$。3.作圖題用向量加法的平行四邊形法則，畫出向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol$；用三角形法則畫出向量$\boldsymbol{a}-\boldsymbol$（$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol$為不共線向量）。解析：$\boldsymbol{a}+\boldsymbol$：以$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol$為鄰邊作平行四邊形，公共起點出發(fā)的對角線即為$\boldsymbol{a}+\boldsymbol$；$\boldsymbol{a}-\boldsymbol$：將$\boldsymbol$的起點與$\boldsymbol{a}$的起點重合，從$\boldsymbol$的終點指向$\boldsymbol{a}$的終點的向量即為$\boldsymbol{a}-\boldsymbol$（或理解為$\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol)$）。四、數(shù)量積應用（突破核心難點）題型說明：聚焦數(shù)量積的定義（$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|\cos\theta$）、幾何意義（投影）、運算律及易錯點（如結(jié)合律不成立），強化“數(shù)量積是標量”的認知。1.計算題已知$|\boldsymbol{a}|=4$，$|\boldsymbol|=5$，$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol$的夾角$\theta=60^\circ$，求：（1）$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol$；（2）$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol$方向上的投影；（3）$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|$。答案：（1）10；（2）2；（3）$\sqrt{21}$解析：（1）數(shù)量積定義：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=4\times5\times\cos60^\circ=20\times\frac{1}{2}=10$；（2）$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol$方向上的投影為$|\boldsymbol{a}|\cos\theta=4\times\frac{1}{2}=2$；（3）模長計算：$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|^2=(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol)^2=4\boldsymbol{a}^2+\boldsymbol^2-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=4\times16+25-4\times10=64+25-40=49$？不，等一下，$4\boldsymbol{a}^2=4\times|\boldsymbol{a}|^2=4\times16=64$，$\boldsymbol^2=25$，$4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=4\times10=40$，故$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|^2=64+25-40=49$？不對，等一下，$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol$的平方是$4\boldsymbol{a}^2+\boldsymbol^2-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol$，是的，$4\times16=64$，$25$，$4\times10=40$，所以$64+25=89$，$89-40=49$，哦對，我剛才算錯了，$49$的平方根是$7$，所以（3）的答案是$7$。剛才的解析里（3）的計算有誤，現(xiàn)在糾正：（3）$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|^2=(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol)^2=4\boldsymbol{a}^2+\boldsymbol^2-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=4\times|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol|^2-4\times10=4\times16+25-40=64+25-40=49$，故$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|=7$。2.選擇題（易錯點辨析）下列運算正確的是（）A.$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol)\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol\cdot\boldsymbol{c})$B.$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=\boldsymbol\cdot\boldsymbol{a}$C.若$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=0$，則$\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$或$\boldsymbol=\mathbf{0}$D.$|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|$答案：B解析：A錯誤（數(shù)量積不滿足結(jié)合律，左邊是$\boldsymbol{c}$的倍數(shù)，右邊是$\boldsymbol{a}$的倍數(shù)，方向可能不同）；B正確（交換律成立，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|\cos\theta=\boldsymbol\cdot\boldsymbol{a}$）；C錯誤（$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol$時$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=0$，如$\boldsymbol{a}=(1,0)$，$\boldsymbol=(0,1)$）；D錯誤（$|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol||\cos\theta|\leq|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|$）。3.填空題（垂直條件應用）已知$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol$，$|\boldsymbol{a}|=2$，$|\boldsymbol|=3$，則$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|=$______。答案：5解析：由$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol$得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=0$，故$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|^2=4\boldsymbol{a}^2+\boldsymbol^2-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=4\times4+9-0=25$，故模為5。五、坐標運算進階（提升代數(shù)能力）題型說明：結(jié)合平面直角坐標系，強化向量坐標表示下的線性運算、數(shù)量積、模長、夾角及共線/垂直條件的應用。1.解答題（綜合計算）已知向量$\boldsymbol{a}=(2,-1)$，$\boldsymbol=(-3,4)$，求：（1）$\boldsymbol{a}+3\boldsymbol$；（2）$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol$；（3）$|\boldsymbol{a}|$；（4）$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol$的夾角$\theta$（精確到$1^\circ$）。答案：（1）$(-7,11)$；（2）$-10$；（3）$\sqrt{5}$；（4）$143^\circ$解析：（1）線性運算：$\boldsymbol{a}+3\boldsymbol=(2+3\times(-3),-1+3\times4)=(2-9,-1+12)=(-7,11)$；（2）數(shù)量積：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=2\times(-3)+(-1)\times4=-6-4=-10$；（3）模長：$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$；（4）夾角計算：$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|}=\frac{-10}{\sqrt{5}\times5}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx-0.8944$，故$\theta\approx143^\circ$。2.填空題（共線與垂直條件）已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol=(k,1)$，若$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol$共線，則$k=$______；若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol$，則$k=$______。答案：$\frac{1}{2}$；$-2$解析：共線條件：$1\times1=2\timesk\Rightarrowk=\frac{1}{2}$；垂直條件：$1\timesk+2\times1=0\Rightarrowk=-2$。3.解答題（幾何坐標轉(zhuǎn)換）已知點$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,0)$，求向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角。解析：求坐標：$\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)$，$\overrightarrow{AC}=(5-1,0-2)=(4,-2)$；數(shù)量積：$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times4+2\times(-2)=8-4=4$；模長：$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=2\sqrt{5}$；夾角：$\cos\theta=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\approx0.3162$，故$\theta\approx71.6^\circ$。六、綜合應用提升（體現(xiàn)工具價值）題型說明：結(jié)合三角形、平行四邊形等幾何圖形，用向量運算解決長度、角度、位置關系問題，體現(xiàn)“向量是幾何工具”的價值。1.解答題（中位線定理證明）在$\triangleABC$中，$D$是$BC$邊的中點，用向量證明：$DE\parallelAB$且$DE=\frac{1}{2}AB$（$E$為$AC$邊中點）。證明：設$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol$，則$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol-\boldsymbol{a}$；因$D$、$E$分別為$BC$、$AC$中點，故$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\boldsymbol-\boldsymbol{a})$，$\overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\boldsymbol$；則$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}(\boldsymbol-\boldsymbol{a})-\frac{1}{2}\boldsymbol=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$；因此$\overrightarrow{DE}\parallel\overrightarrow{AB}$且$|\overrightarrow{DE}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|$，即$DE\parallelAB$且$DE=\frac{1}{2}AB$。2.解答題（平行四邊形坐標求解）已知平行四邊形$ABCD$的頂點$A(0,0)$，$B(2,1)$，$D(1,3)$，求頂點$C$的坐標及對角線$AC$的長度。解析：在平行四邊形中，$\overrightarrow