幾何全等三角形知識點復(fù)習題一、引言全等三角形是初中幾何的基石，是研究圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、對稱）、相似三角形及四邊形性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是中考數(shù)學的高頻考點（常以證明題、解答題形式出現(xiàn)，占分比例約8%-12%）。復(fù)習全等三角形時，需重點掌握核心概念的準確性、判定定理的靈活應(yīng)用及輔助線的構(gòu)造技巧，同時規(guī)避常見誤區(qū)。本文將通過“知識點梳理—題型突破—技巧總結(jié)”的邏輯，幫助讀者系統(tǒng)復(fù)習全等三角形知識。二、核心知識點梳理1.全等三角形的定義與表示定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形（重合的頂點叫對應(yīng)頂點，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角）。表示：用“≌”表示，如△ABC≌△DEF（需注意對應(yīng)頂點必須對應(yīng)書寫，即A→D，B→E，C→F）。2.全等三角形的性質(zhì)基本性質(zhì)：對應(yīng)邊相等（AB=DE，BC=EF，AC=DF）、對應(yīng)角相等（∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F）。延伸性質(zhì)：對應(yīng)中線、對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線相等；周長相等、面積相等。3.全等三角形的判定定理（重點）定理名稱條件適用范圍注意事項SSS（邊邊邊）三邊對應(yīng)相等所有三角形只要三邊對應(yīng)相等，必全等SAS（邊角邊）兩邊及其**夾角**對應(yīng)相等所有三角形必須是“夾角”，**邊邊角（SSA）不能判定全等**ASA（角邊角）兩角及其**夾邊**對應(yīng)相等所有三角形必須是“夾邊”AAS（角角邊）兩角及其中一角的**對邊**對應(yīng)相等所有三角形由ASA推導(dǎo)而來，適用于兩角及一邊的情況HL（斜邊、直角邊）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等僅直角三角形是SSA的特殊情況（直角三角形中SSA成立）二、經(jīng)典題型突破1.概念辨析題（考查對核心概念的理解）例1：下列說法正確的是（）A.全等三角形的周長相等，面積不一定相等B.全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊不一定相等C.有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D.有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等答案：D解析：全等三角形的周長、面積均相等（排除A）；對應(yīng)邊、對應(yīng)角均相等（排除B）；SSA不能判定全等（排除C）；SSS是判定全等的基本定理（選D）。2.判定條件填空題（考查對判定定理的應(yīng)用）例2：如圖，已知AB=CD，AC=BD，若用SSS判定△ABC≌△DCB，需補充的條件是______；若用SAS判定，需補充的條件是______。答案：無需補充（SSS已滿足：AB=CD，AC=BD，BC=CB）；∠ABC=∠DCB（SAS需夾角相等）。3.基礎(chǔ)證明題（考查基本推理能力）例3：如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證△ABC≌△ABD。證明：∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∴∠ABC=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ABD（等式性質(zhì)）在△ABC和△ABD中：∠1=∠2（已知）AB=AB（公共邊）∠ABC=∠ABD（已證）∴△ABC≌△ABD（ASA）。4.輔助線構(gòu)造題（考查綜合應(yīng)用能力）例4（倍長中線）：如圖，已知AD是△ABC的中線，求證AB+AC>2AD。解題思路：中線問題常用“倍長中線”法，延長AD到E，使DE=AD，構(gòu)造△BDE≌△CDA，將AC轉(zhuǎn)化為BE，利用三角形三邊關(guān)系證明。證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE?！逜D是△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線定義）在△BDE和△CDA中：BD=CD（已證）∠BDE=∠CDA（對頂角相等）DE=AD（構(gòu)造）∴△BDE≌△CDA（SAS）∴BE=AC（全等三角形對應(yīng)邊相等）在△ABE中，AB+BE>AE（三角形三邊關(guān)系）∵AE=AD+DE=2AD（構(gòu)造）∴AB+AC>2AD（等量代換）。5.綜合應(yīng)用題（考查與其他知識點的結(jié)合）例5（結(jié)合坐標系）：如圖，在平面直角坐標系中，點A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(2,2)，求證△ABC≌△DAB。證明：計算各邊長度：AB=√[(2-0)2+(0-0)2]=2，AC=√[(0-0)2+(2-0)2]=2，BC=√[(2-0)2+(0-2)2]=2√2；DA=√[(2-0)2+(2-0)2]=2√2，DB=√[(2-2)2+(2-0)2]=2，AB=2。在△ABC和△DAB中：AB=AB（公共邊）AC=DB=2（計算得）BC=DA=2√2（計算得）∴△ABC≌△DAB（SSS）。三、解題技巧與誤區(qū)提醒1.對應(yīng)元素的尋找方法公共邊、公共角、對頂角優(yōu)先作為對應(yīng)元素；大邊對大邊、大角對大角（如△ABC≌△DEF，∠A是最大角，則∠D也是最大角）；對應(yīng)邊的夾角是對應(yīng)角，對應(yīng)角的對邊是對應(yīng)邊。2.輔助線的常見構(gòu)造策略倍長中線：用于中線相關(guān)的線段和差問題（如例4）；截長補短：用于線段和差問題（如證明BC=AB+AD時，在BC上截取BE=AB，證明EC=AD）；作垂線：構(gòu)造直角三角形，利用HL判定全等（如證明角平分線性質(zhì)時，作兩邊的垂線）。3.常見誤區(qū)警示SSA不能判定全等：如兩個三角形有兩邊及一邊的對角相等，但形狀可能不同（如銳角三角形與鈍角三角形）；對應(yīng)頂點錯誤：如△ABC≌△DEF寫成△ABC≌△DFE，會導(dǎo)致對應(yīng)邊、對應(yīng)角全部錯誤；忽略隱含條件：公共邊、公共角、對頂角是常見的隱含條件（如例3中的公共邊AB）。四、鞏固練習1.下列條件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，AC=DF（SSS）B.AB=DE，∠B=∠E，BC=EF（SAS）C.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE（ASA）D.AB=DE，∠A=∠D，BC=EF（SSA）2.如圖，已知AB∥CD，AB=CD，求證△ABC≌△CDA。3.如圖，已知∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，CE⊥BD，交BD延長線于E，求證BD=2CE（提示：延長CE交BA延長線于F）。五、答案解析1.D（SSA不能判定全等）。2.證明：∵AB∥CD（已知）∴∠BAC=∠DCA（內(nèi)錯角相等）。在△ABC和△CDA中：AB=CD（已知）∠BAC=∠DCA（已證）AC=CA（公共邊）∴△ABC≌△CDA（SAS）。3.證明（截長補短）：延長CE交BA延長線于F?！逤E⊥BD（已知）∴∠BEC=∠BEF=90°?！連D平分∠ABC（已知）∴∠CBE=∠FBE。在△BCE和△BFE中：∠CBE=∠FBE（已證）BE=BE（公共邊）∠BEC=∠BEF（已證）∴△BCE≌△BFE（ASA）∴CE=FE=1/2CF?！摺螧AC=90°，CE⊥BD（已知）∴∠ABD=∠ACE（等角的余角相等）。在△ABD和△ACF中：∠ABD=∠ACE（已證）AB=AC（已