專題02三角形的重要線段和角度計(jì)算（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，精選易錯(cuò)，?？?，壓軸類問題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)化必備！適合成績中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（本題2分）（2024秋·云南楚雄·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，則x的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（本題2分）（2025春·陜西西安·八年級(jí)西北大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，D為邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在邊上，，若，則（

）

A． B． C． D．3．（本題2分）（2024秋·廣東廣州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在內(nèi)，平分，平分．若，則等于（

）

A． B． C． D．4．（本題2分）（2024秋·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，的面積是4，則的面積是（）A．2 B．1 C． D．5．（本題2分）（2024秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，從各頂點(diǎn)作平行線，各與其對(duì)邊或其延長線相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若的面積為，的面積為，的面積為，只要知道下列哪個(gè)值就可以求出的面積（

）A． B． C． D．6．（本題2分）（2025春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是高，是角平分線，是中線，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，以下結(jié)論：①的面積的面積；②；③；④；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．4個(gè)7．（本題2分）（浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在圖中的處，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．（本題2分）（浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值是（

）

A． B． C． D．9．（本題2分）（2024秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，則∠N等于（

）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°10．（本題2分）（2024秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，、、分別平分，外角，外角，以下結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2024秋·重慶江北·八年級(jí)字水中學(xué)?？奸_學(xué)考試）對(duì)面積為1的△ABC進(jìn)行以下操作：分別延長AB、BC、CA至點(diǎn)A、B、C，使得AB=3AB，BC=3BC，CA=3CA，順次連接A、B、C，得到△ABC（如圖所示），記其面積為S．現(xiàn)再分別延長AB、BC、CA至點(diǎn)A、B、C，使得AB=3AB，BC=3BC，CA=3CA，順次連接A、B、C，得到△ABC，記其面積為S，則S=．12．（本題2分）（2024秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為1，分別延長，，到，，，使，，，得到，再分別延長，，到，，，使，，，再得到，則的面積為．13．（本題2分）（2024秋·湖南岳陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，延長CA至點(diǎn)F，使得，延長AB至點(diǎn)D，使得，延長BC至點(diǎn)E，使得，連接，若，則為.14．（本題2分）（2024秋·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板按如圖所示擺放，其中，，點(diǎn)B在邊上，點(diǎn)D在邊上，與相交于點(diǎn)G，且，則度．15．（本題2分）（2024秋·廣東佛山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，、、分別平分外角、內(nèi)角、外角．以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有．16．（本題2分）（2024秋·陜西西安·八年級(jí)西安一中?？计谥校┤鐖D，A、B分別是x軸上位于原點(diǎn)左、右兩側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，直線PA交y軸于點(diǎn)，直線PB交y軸于點(diǎn)D，此時(shí)，，則．17．（本題2分）（·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，則△ABD的面積為．

18．（本題2分）（2024秋·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和相交于點(diǎn)O，分別平分和，若，則．19．（本題2分）（2024秋·廣東梅州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，平分交于點(diǎn)E，，，M、N分別是，延長線上的點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②；③平分；④為定值．其中結(jié)論正確的有．

20．（本題2分）（2024秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，當(dāng)AP=AD時(shí)，與和之間的關(guān)系式為：；一般地，當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，與和之間關(guān)系式為：．

三、解答題：本大題共7小題，21-25題每小題8分，26-27題每小題10分，共60分．21．（本題8分）（2024秋·廣東梅州·八年級(jí)期末）如圖，，平分，．

(1)與平行嗎？請(qǐng)說明理由；(2)與的位置關(guān)系如何？為什么？(3)若平分．證明：．22．（本題8分）（2024秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)?？计谀┮阎鐖D，是等腰直角三角形，，A點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在x軸上方．(1)如圖1，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．①若，則______；②若A的坐標(biāo)是，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．如圖2，若x軸恰好平分，與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作軸于F，問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．23．（本題8分）（2025春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（－1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD．(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及S四邊形ABDC；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，連接QA，QB，使S△QAB＝S四邊形ABDC？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；(3)如圖②，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D重合）給出下列結(jié)論：①的值不變，②的值不變，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你找出這個(gè)結(jié)論并求其值．24．（本題8分）（2024秋·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知于點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．

25．（本題8分）（2024秋·廣東惠州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且a、b滿足．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即，且．

(1)則，．(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作，交于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)求出其取值范圍．26．（本題10分）（2024秋·湖北隨州·八年級(jí)?？计谥校┰谥?，，，求和的度數(shù)．27．（本題10分）（2025春·廣東梅州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）綜合與探究：

(1)如圖1，，分別是的兩個(gè)內(nèi)角，的平分線，說明的理由．【深入探究】(2)①如圖2，，分別是的兩個(gè)外角，的平分線，與之間的等量關(guān)系是；②如圖3，，分別是的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線，，交于點(diǎn)，探究與之間的等量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】(3)請(qǐng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4，在中，，分別平分，，，，分別在，，的延長線上，，分別平分，，，分別平分，．若，則的度數(shù)是．專題02三角形的重要線段和角度計(jì)算（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，精選易錯(cuò)，?？?，壓軸類問題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)化必備！適合成績中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（本題2分）（2024秋·云南楚雄·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，則x的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形內(nèi)角和及三角形內(nèi)角角平分線求得，即可求解．【詳解】解：三角形內(nèi)角和是故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和內(nèi)角角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形兩內(nèi)角角平分線的夾角=另一內(nèi)角，及其推導(dǎo)過程．2．（本題2分）（2025春·陜西西安·八年級(jí)西北大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，D為邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在邊上，，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的外角性質(zhì)可得，結(jié)合，可得出∠，利用三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而可得出，再結(jié)合及即可解答．【詳解】解：∵是的外角，∴，∵，∴．∵是的外角，∴，∴，又∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．3．（本題2分）（2024秋·廣東廣州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在內(nèi)，平分，平分．若，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義幾三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：在內(nèi)，平分，平分，，，則，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和即角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和即角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．4．（本題2分）（2024秋·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，的面積是4，則的面積是（）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】因?yàn)辄c(diǎn)F是的中點(diǎn)，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分別是的中點(diǎn)，與同底，的高是高的一半；利用三角形的等積變換可解答．【詳解】解：如圖，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴的底是，的底是，即，高相等，∴，∵E是的中點(diǎn)，與同底，∴的高是高的一半，∴，∴，且，∴，即陰影部分的面積為1．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的面積求解，解題的關(guān)鍵是熟知三角形中線的性質(zhì)．5．（本題2分）（2024秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，從各頂點(diǎn)作平行線，各與其對(duì)邊或其延長線相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若的面積為，的面積為，的面積為，只要知道下列哪個(gè)值就可以求出的面積（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等得到：和在底邊上的高相等，和在底邊上的高相等，和在底邊上的高相等，所以由三角形的面積公式和圖形間的面積的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明即可．【詳解】證明：∵，∴和在底邊上的高相等，和在底邊上的高相等，和在底邊上的高相等，∴∴．即．∵即即，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離，三角形面積，根據(jù)等底等高的三角形面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．6．（本題2分）（2025春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是高，是角平分線，是中線，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，以下結(jié)論：①的面積的面積；②；③；④；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)三角形中線定義和三角形面積公式可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)等角的余角相等得到，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)等角的余角相等得到，再根據(jù)角平分線的定義可對(duì)③進(jìn)行判斷．【詳解】是中線得到，，故①正確；，是高，，是角平分線，，，，，，故②正確；，，，而，，故③正確．根據(jù)已知條件不能推出，即不能推出，故④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高線等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．7．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在圖中的處，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用折疊性質(zhì)得，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，利用鄰補(bǔ)角得到，則，然后利用，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，，紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在圖中的處，°，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，求一個(gè)角的鄰補(bǔ)角，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．8．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，設(shè)，由三角形面積公式可得，，由點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得，，進(jìn)而得，，，，，，得出，通過討論的面積最大值得四邊形的面積最大值．【詳解】解：連接，

設(shè)，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，在中，，，，四邊形的面積的最大值是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，已知兩邊三角形面積的最大值等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解運(yùn)用同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比．9．（本題2分）（2024秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，則∠N等于（

）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，只要證明得，即可求出答案．【詳解】解：如圖，線段AM與AN相交于點(diǎn)E，∵，∴，∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，∴，，，，∴，∴；①在△ACM中，有，∴②，由①②，得，∴，即；∵，又，∴，∴，即，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確地利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行角度之間的轉(zhuǎn)化．10．（本題2分）（2024秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，、、分別平分，外角，外角，以下結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的判定一一判定即可．【詳解】解：①設(shè)點(diǎn)A、B在直線上，∵、分別平分的內(nèi)角，外角，∴平分的外角，∴，∵，且，∴，∴，故①正確．②∵、分別平分的內(nèi)角、外角，∴，∴，故②正確．③∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故③正確．④∵∴，∴，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的判定等，熟悉各個(gè)概念的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2024秋·重慶江北·八年級(jí)字水中學(xué)?？奸_學(xué)考試）對(duì)面積為1的△ABC進(jìn)行以下操作：分別延長AB、BC、CA至點(diǎn)A、B、C，使得AB=3AB，BC=3BC，CA=3CA，順次連接A、B、C，得到△ABC（如圖所示），記其面積為S．現(xiàn)再分別延長AB、BC、CA至點(diǎn)A、B、C，使得AB=3AB，BC=3BC，CA=3CA，順次連接A、B、C，得到△ABC，記其面積為S，則S=．【答案】1369【分析】根據(jù)等高的三角形面積之比等于底之比，依次推理面積之間的比例即可．【詳解】解：如圖連接，∵△ABC的面積是1，∵，∴的面積是3，∵，∴的面積是9，∴的面積是12，同理和的面積都是12，∴的面積是37，即的面積是△ABC面積的37倍，同理的面積是的37倍，∴，故答案為：1369．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，能夠正確判斷相鄰的兩個(gè)三角形面積之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12．（本題2分）（2024秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為1，分別延長，，到，，，使，，，得到，再分別延長，，到，，，使，，，再得到，則的面積為．【答案】49【分析】連接，找出延長各邊后得到的三角形是原三角形面積的7倍的規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：連接，∵的面積為1，，，，∴，∴；同理得．故答案為：49．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，解答此類問題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析所給圖形的特征得到規(guī)律，再把得到的規(guī)律應(yīng)用于解題．13．（本題2分）（2024秋·湖南岳陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，延長CA至點(diǎn)F，使得，延長AB至點(diǎn)D，使得，延長BC至點(diǎn)E，使得，連接，若，則為.【答案】【分析】如圖，連接，設(shè)，利用等高模型的性質(zhì)，用m表示出各個(gè)三角形的面積，可得的面積為，構(gòu)建方程，可得結(jié)論．【詳解】如圖，連接，設(shè)，.∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，等高模型的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題．14．（本題2分）（2024秋·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板按如圖所示擺放，其中，，點(diǎn)B在邊上，點(diǎn)D在邊上，與相交于點(diǎn)G，且，則度．【答案】105【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，故答案為：105．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．15．（本題2分）（2024秋·廣東佛山·八年級(jí)校考期末）如圖，，、、分別平分外角、內(nèi)角、外角．以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有．【答案】①②③【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠，，，根據(jù)平角得出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項(xiàng)．【詳解】解：∵平分，∴，∵，，∴，∴，故①正確；∵，∴，∵平分，，∴，故②正確；∵平分的外角，∴，∵，∴，由得：，即，∴，∴，故③正確；由得：，∴，故④錯(cuò)誤；∵，，∴，又∵是的外角，∴，故⑤錯(cuò)誤；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線定義，平行線的判定，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定的難度．16．（本題2分）（2024秋·陜西西安·八年級(jí)西安一中?？计谥校┤鐖D，A、B分別是x軸上位于原點(diǎn)左、右兩側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，直線PA交y軸于點(diǎn)，直線PB交y軸于點(diǎn)D，此時(shí)，，則．【答案】【分析】如圖，過作于，先求解，從而可得的面積，可得的長度，再求解的坐標(biāo)，利用，證明，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，的坐標(biāo)，從而可得答案．【詳解】解：如圖，過作于，∵點(diǎn)在第一象限，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，解得：，∴∵，∴，設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，圖形面積與坐標(biāo)的關(guān)系，三角形的中線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解是關(guān)鍵．17．（本題2分）（·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，則△ABD的面積為．

【答案】18【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再利用三角形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，又平分，，，，的面積是，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（本題2分）（2024秋·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和相交于點(diǎn)O，分別平分和，若，則．【答案】70【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，設(shè)，則，再由分別平分和，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，從而得到，然后根據(jù)得到關(guān)于x的方程，即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵分別平分和，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵∴，解得：，即．故答案為：70【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程的應(yīng)用，利用參數(shù)思想構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．19．（本題2分）（2024秋·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分交于點(diǎn)E，，，M、N分別是，延長線上的點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②；③平分；④為定值．其中結(jié)論正確的有．

【答案】①③④【分析】證明，可得，證明，可得，可得，故①正確；證明，可得平分，故③正確；證明，若，則，與已知矛盾，故②錯(cuò)誤；證明．可得．證明，可得，，故④正確．【詳解】解：標(biāo)注角度如圖所示：

∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，故①正確；∴，∵，，而，∴，∴平分，故③正確；∵，，∴，若，∴，∴，與已知矛盾，故②錯(cuò)誤；∵，∴．∵和的平分線交于點(diǎn)F，∴．∵，∴，∴，∴，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和等于．20．（本題2分）（2024秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，當(dāng)AP=AD時(shí)，與和之間的關(guān)系式為：；一般地，當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，與和之間關(guān)系式為：．

【答案】【分析】當(dāng)AP=AD時(shí)，根據(jù)△ABP和△ABD的高相等，得到，根據(jù)△CDP和△CDA的高相等，得到，結(jié)合圖形計(jì)算即可；同理，當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，根據(jù)△ABP和△ABD的高相等，得到，根據(jù)△CDP和△CDA的高相等，得到，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【詳解】∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴，∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴，∴；當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴，∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴，∴；故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積的計(jì)算，掌握高相等的兩個(gè)三角形的面積比等于底的比是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共7小題，21-25題每小題8分，26-27題每小題10分，共60分．21．（本題8分）（2024秋·廣東梅州·八年級(jí)期末）如圖，，平分，．

(1)與平行嗎？請(qǐng)說明理由；(2)與的位置關(guān)系如何？為什么？(3)若平分．證明：．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）由結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，可得出，再利用“同位角相等，兩直線平行”可得出；（2）根據(jù)角平分線的定義及，可得出，再利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得出；（3）由，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可得出，再結(jié)合，可得出．【詳解】（1）解：．理由如下：，，，；（2）解：．理由如下：平分，，，；（3）證明：，．，，平分，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角，牢記各平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．（本題8分）（2024秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)?？计谀┮阎鐖D，是等腰直角三角形，，A點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在x軸上方．(1)如圖1，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．①若，則______；②若A的坐標(biāo)是，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)如圖2，若x軸恰好平分，與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作軸于F，問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)①；②(2)；理由見解析【分析】（1）①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果；②過點(diǎn)B作軸，證明，求得，，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)（2）延長、交于點(diǎn)H，證明，得到，再證明，即可得到【詳解】（1）①∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是，∴，∵，且，∴，∴②過點(diǎn)B作軸，∵，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴（2），理由如下：延長、交于點(diǎn)H，∵，∴，∵x軸平分，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∵，，∴，∴【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形23．（本題8分）（2025春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（－1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD．(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及S四邊形ABDC；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，連接QA，QB，使S△QAB＝S四邊形ABDC？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；(3)如圖②，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D重合）給出下列結(jié)論：①的值不變，②的值不變，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你找出這個(gè)結(jié)論并求其值．【答案】(1)C（0，2）；D（4，2）；(2)存在；（0，4）或（0，?4）(3)的值不變，且【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律易得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)求解四邊形ABDC的面積即可；（2）先計(jì)算出，設(shè)Q坐標(biāo)為（0，a），根據(jù)三角形面積公式得×4×|a|＝8，解得a＝±4，即可求解；（3）過點(diǎn)P作，依據(jù)平行線公理的推理可得到，由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可證明∠CPQ＋∠OPQ＝∠CPO，故此可求得問題的答案；【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（?1，0），（3，0），將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，∴點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)D（4，2），AB＝4，，AB＝CD，根據(jù)平移可知OC＝2，∴．（2）解：在y軸上存在一點(diǎn)Q，使，理由如下：設(shè)Q的坐標(biāo)為（0，a），∵，∴×4×|a|＝8，解得：a＝±4，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）或（0，?4）．（3）解：①是正確的結(jié)論，理由如下：過點(diǎn)P作，如圖所示：∵，∴，∴∠DCP＝∠CPQ，∠BOP＝∠OPQ，∴∠DCP＋∠BOP＝∠CPQ＋∠OPQ＝∠CPO，∴，∴①正確，②錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的性質(zhì)和三角形面積公式，屬于中考?？碱}型．24．（本題8分）（2024秋·廣東東莞·八年級(jí)校考期中）如圖，已知于點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．

【答案】的度數(shù)為【分析】先根據(jù)得，再根據(jù)求出的度數(shù)，最后由，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，三角形的外角的定義，熟練掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余，三角形的外角的定義，是解題的關(guān)鍵．25．（本題8分）（2024秋·廣東惠州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且a、b滿足．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即，且．

(1)則，．(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作，交于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)求出其取值范圍．【答案】(1)3，1(2)10秒或85秒(3)不變，【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解a、