專題11等腰三角形的性質和證明（專項培優(yōu)訓練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結合人教版數(shù)學八年級上冊同步章節(jié)知識點，精選易錯，?？?，壓軸類問題進行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點難點類型！同步復習，考前強化必備！適合成績中等及偏上的學生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題2分）（2024秋·廣東惠州·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，和的平分線交于點，過點作的平行線交于點，交于點，則的周長為（）

A． B． C． D．2．（本題2分）（2024秋·廣東惠州·八年級?？茧A段練習）如圖，中，，，為線段上一動點（不與點，重合），連接，作，交線段于，以下四個結論：①；②當為中點時，；③當為等腰三角形時，；④當時，．其中正確的結論的個數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（本題2分）（2025春·安徽宿州·八年級校考階段練習）如圖，三角形中，的平分線交于點D，過點D作，，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結論：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．（本題2分）（2025春·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，為內一點，過點的直線分別交、于點，，若在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．5．（本題2分）（2024秋·廣東深圳·八年級深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學校考期中）如圖，在中，，，若點D為的中點，過點D作，分別交、于點M、N，連接，則下列結論中：①是等腰直角三角形；②的周長有最小值；③四邊形的面積為定值8；④的面積有最小值．正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．（本題2分）（2024秋·八年級單元測試）如圖，，，，是延長線上一點，，垂足為，下列結論：①；②；③四邊形的面積等于；④；其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④7．（本題2分）（2024秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點D，平分，且于點E，與相交于點F，H是邊的中點，連接與相交于G，下列結論：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正確的有（

）A．5個 B．2個 C．4個 D．3個8．（本題2分）（2024秋·重慶永川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①；②是等腰直角三角形；③四邊形CDFE的面積隨D、E的運動而變化；④面積的最小值為4；⑤面積的最大值為8．其中正確的結論是（

）A．①③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤9．（本題2分）（2024秋·四川資陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，，，直角的頂點P是的中點，兩邊、分別交、于點E、F．以下四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④10．（本題2分）（2025春·八年級單元測試）如圖，中，，，．則為（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2025春·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，為的角平分線，且，E為延長線上的一點，，過E作，F(xiàn)為垂足．下列結論：①；②；③；④．其中正確的是．（只填序號）

12．（本題2分）（·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，以為頂點作等腰直角（其中，且點C落在第一象限內），則點C的坐標為（用t的代數(shù)式表示）．13．（本題2分）（·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，分別為邊上的高，相交于點F，連接．下列結論：（1）；②；③：，④若，則的周長等于的長．正確的是（填序號）．

14．（本題2分）（2024秋·內蒙古烏海·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，平分，平分，經(jīng)過點與相交于點，且，，，的周長為．15．（本題2分）（2025春·山東青島·八年級山東省青島第五十九中學校考期中）如圖，中，，的平分線和的外角平分線相交于點，分別交和的延長線于，．過作交的延長線于點，交的延長線于點，連接交于點．則下列結論：①；②；③；④．其中正確的是.16．（本題2分）（2025春·全國·八年級專題練習）如圖，，分別是與它的鄰補角的平分線，，垂足為點E，，垂足為點F，分別交邊，于點M和N．若，，則的長為．17．（本題2分）（2024秋·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點，將沿在上，在上折疊，點與點恰好重合，則為度．

18．（本題2分）（2025春·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，是的平分線，過點作，交的延長線于點若，則的長為.

19．（本題2分）（2025春·上海徐匯·八年級上海市西南模范中學?？计谀┤鐖D，在等腰梯形中，，對角線于點，，，垂足分別為、，，，則．

20．（本題2分）（2025春·河南開封·八年級開封市第三十三中學?？计谥校┤鐖D，正方形中，，動點在邊上，以為直角邊向上作正方形，連接，則在運動過程中最小值為．

三、解答題：本大題共8小題，21-22題每小題6分，23-28題每小題8分，共60分．21．（本題6分）（2025春·河南周口·八年級校聯(lián)考期末）如圖，正方形的邊長為，為對角線，平分，．

(1)求證：；(2)求的長．22．（本題6分）（2025春·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）如圖將繞著點A逆時針旋轉得到．當點D恰好落在上時，連接．當，時，求證：．

23．（本題8分）（2025春·山東棗莊·八年級棗莊市第十五中學?？茧A段練習）如圖：在的邊的延長線上，點在邊上，交于點，，．求證：是等腰三角形．（過作交于）

24．（本題8分）（2025春·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學教育集團校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，，點E在線段上，點E為的中點．(1)求證：；(2)若F，G分別是的中點；①求證：是等腰三角形；②當時，求線段的長度．25．（本題8分）（2025春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，中，，．

(1)尺規(guī)作圖，作的角平分線交于點（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若于點，垂足在的延長線上，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，試探究線段和的數(shù)量關系并證明你的結論．26．（本題8分）（2025春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）【提出問題】如圖1，等腰直角三角形中，，，點D為上一點，將線段繞點D逆時針旋轉至，連接，，探究，，之間的數(shù)量關系．【分析問題】小明在思考這道題時，想到了老師講過的“手拉手”模型，便嘗試著過點D作的垂線與相交于點F（如圖2），通過證明，最終探究出，，之間的數(shù)量關系．（1）根據(jù)小明的思路，補全的證明過程；（2）直接寫出，，之間的數(shù)量關系：______；【拓展思考】（3）如圖3，延長、相交于點M，點N是的中點，若M，D，N三點共線時，求線段的長度．

27．（本題8分）（2024秋·黑龍江綏化·八年級?？计谀┤鐖D，直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，，且線段的長是方程的解，M是線段OB上一點，若將沿直線折疊，點B恰好落在x軸上的點P處．

(1)求點P的坐標；(2)在y軸上是否存在點N，使是以為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．28．（本題8分）（2024秋·重慶江津·八年級重慶市江津中學校?？茧A段練習）如圖，與為等腰直角三角形，，．，，，連接，．

(1)如圖1，若，，則的度數(shù)為______；(2)如圖2，若A，D，E三點共線，與交于點F，且，，求的面積；(3)如圖3，若A，D，E三點不共線，與交于點F，連接并延長交于點G，是一個固定的值嗎？若是，直接寫出的度數(shù)，若不是，請說明理由．專題11等腰三角形的性質和證明（專項培優(yōu)訓練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結合人教版數(shù)學八年級上冊同步章節(jié)知識點，精選易錯，?？迹瑝狠S類問題進行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點難點類型！同步復習，考前強化必備！適合成績中等及偏上的學生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題2分）（2024秋·廣東惠州·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，和的平分線交于點，過點作的平行線交于點，交于點，則的周長為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質，及等角對等邊可知，，則的周長可求．【詳解】解：∵和的角平分線交于點O，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長，故選：D．【點睛】本題通過求三角形的周長考查了角平分線的定義、平行線的性質，及等角對等邊的關系．2．（本題2分）（2024秋·廣東惠州·八年級?？茧A段練習）如圖，中，，，為線段上一動點（不與點，重合），連接，作，交線段于，以下四個結論：①；②當為中點時，；③當為等腰三角形時，；④當時，．其中正確的結論的個數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得到，根據(jù)三角形的內角和和平角的定義即可得到；根據(jù)等腰三角形的性質得到，根據(jù)三角形的內角和即可得到；根據(jù)三角形外角的性質得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和得到或；根據(jù)全等三角形的性質得到．【詳解】解：①，，，，，故①正確；②為中點，，，，，，，，故②正確；③，，，為等腰三角形，，，，；或為等腰三角形，，，，，故③錯誤；④，，，，，，，，，，故④正確，綜上所述正確的有①②④．故選：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和，正確的識別圖形是解題的關鍵．3．（本題2分）（2025春·安徽宿州·八年級?？茧A段練習）如圖，三角形中，的平分線交于點D，過點D作，，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結論：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質，可得，然后利用三角形內角和定理，得到，再根據(jù)角平分線的性質，可得，即可判斷①結論；根據(jù)線段垂直平分線的判定，即可判斷②結論；利用三角形的面積公式求解，即可判斷③結論，根據(jù)平行線的判定即可判斷④．【詳解】解：①在中，的平分線交于點D，，，，，，即平分，，，故①結論正確；②，，點D在的垂直平分線上，點A在的垂直平分線上，垂直平分，故②結論正確；③，，，，故③結論正確；④不一定等于，不一定平行，故④結論錯誤，正確的結論有：①②③，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形內角和定理，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的性質，平行線的判定．難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．4．（本題2分）（2025春·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，為內一點，過點的直線分別交、于點，，若在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內角和得到，根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到，，由等腰三角形的性質得到，，由三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和得，，可得，，推出，從而由平角定義得到結論．【詳解】解：，．在的中垂線上，在的中垂線上，，．，．，，，．．．故選：B．【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的性質，熟練掌握線段的垂直平分線的性質及利用等腰三角形的性質與三角形內角和定理找出各角之間的等量關系是解題的關鍵．5．（本題2分）（2024秋·廣東深圳·八年級深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學?？计谥校┤鐖D，在中，，，若點D為的中點，過點D作，分別交、于點M、N，連接，則下列結論中：①是等腰直角三角形；②的周長有最小值；③四邊形的面積為定值8；④的面積有最小值．正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可證，得，可知①正確；利用垂線段最短可知，當時，最小，則的周長、面積有最小值，故②④正確；由，得到，計算的面積即可判斷③錯誤，從而得出答案．【詳解】解：是等腰直角三角形，D為的中點，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，①結論正確；當時，最小，則的周長、面積有最小值，②④結論正確；，，，，的面積為，的面積為4，四邊形的面積為定值4，③結論錯誤；正確的有①②④，共3個，故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短，三角形的面積等知識，證明是解題的關鍵．6．（本題2分）（2024秋·八年級單元測試）如圖，，，，是延長線上一點，，垂足為，下列結論：①；②；③四邊形的面積等于；④；其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】證明，得出，故①正確；由，得出，，得出，進而得出為等腰直角三角形，故②正確；由得出故③正確；由不能確定，故④不正確，即可得出答案．【詳解】解：，，，，，，在和中，，，，故①正確；，，，，，，故②正確；，，故③正確；，不能確定，故④不正確．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．7．（本題2分）（2024秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點D，平分，且于點E，與相交于點F，H是邊的中點，連接與相交于G，下列結論：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正確的有（

）A．5個 B．2個 C．4個 D．3個【答案】C【分析】只要證明、，即可判斷①②正確，根據(jù)角平分線的定義利用即可判斷③；過G作于點M，根據(jù)角平分線定理，結合，可得，又可得，即可判斷④錯誤，證明可判斷⑤正確．【詳解】①，，，又，，，，又，，∴是等腰直角三角形，，在和中，，，．故①正確；②平分，，，，在和中，，，，，又，，即：，故②正確；③，平分，，，，，故③正確；④如圖所示，過G作于點M，為等腰直角斜邊BC的中點，，即，又平分，，，又，，又，，，，故④錯誤；⑤，，，，又，，為等腰三角形，故⑤正確．正確的為①②③⑤，共計4個，故選：C．【點睛】此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的面積等知識點的綜合運用，第四個問題難度比較大，添加輔助線是解題關鍵．8．（本題2分）（2024秋·重慶永川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①；②是等腰直角三角形；③四邊形CDFE的面積隨D、E的運動而變化；④面積的最小值為4；⑤面積的最大值為8．其中正確的結論是（

）A．①③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤【答案】B【分析】通過證明全等三角形得到角等和邊等，進而等量代換出直角，即可判斷①②③；證明全等后即可證明四邊形CDFE為三角形面積的一半，即可判斷④⑤⑥．【詳解】（1）連接CF，在等腰中，F(xiàn)是AB邊上的中點，在和中（故①正確．（2）由（1）可知，，是等腰直角三角形故②正確．（3）四邊形CDFE的面積是定值故③錯誤．（4）最小時，面積有最小值．當時，此時故④錯誤．（5）由（3）可知由（4）可知故⑤正確．故選：B【點睛】此題考查全等三角形的性質和判定，解題技巧是作輔助線構造全等三角形，解題關鍵是面積最小值可轉化成三角形邊長的最小值．9．（本題2分）（2024秋·四川資陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，，，直角的頂點P是的中點，兩邊、分別交、于點E、F．以下四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質可得，，，可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質可得，根據(jù)角的和差關系可得，證明，根據(jù)全等三角形的性質可得，，由，可得是等腰直角三角形，可判定①②正確；根據(jù)全等三角形的性質可知，可得，由可判定③正確；只有當為的中位線時，，可判定④錯誤【詳解】∵，，∴，∵P是的中點，∴，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，故①正確，∵，∴是等腰直角三角形，故②正確，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故③正確，只有當為的中位線時，，故④錯誤；綜上所述：正確的結論有①②③故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定、等腰直角三角形的性質和判定，熟練掌握三角形全等的性質和判定是關鍵10．（本題2分）（2025春·八年級單元測試）如圖，中，，，．則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可過C作于E，因為，則可得，可過C作于E，依據(jù)題意可得，進而得到，得到，再利用等腰三角形的判定可得，即可求得．【詳解】如圖，可過C作于E，可過C作于E．∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，且∴，∴，且∴，且，∴，∴，∴∴故選：B．【點睛】本題主要考查了全等直角三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，能夠熟練運用其性質進行解題是關鍵．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2025春·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，為的角平分線，且，E為延長線上的一點，，過E作，F(xiàn)為垂足．下列結論：①；②；③；④．其中正確的是．（只填序號）

【答案】①②③④【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性質得到，，再根據(jù)角平分線的性質可求得，即，于是得到結論．【詳解】解：①為的角平分線，，在和中，，，故①正確；②為的角平分線，，，，，，，，，，故②正確；③，，，，，為等腰三角形，，，，，故③正確；④過作于點，

是上的點，，在和中，，，，在和中，，，，，故④正確．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，考查了全等三角形的對應邊、對應角相等的性質，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應角、對應邊相等性質是解題的關鍵．12．（本題2分）（·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，以為頂點作等腰直角（其中，且點C落在第一象限內），則點C的坐標為（用t的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】過點C作軸，垂足為E，根據(jù)垂直定義可得，從而可得，再根據(jù)平角定義可得，從而可得，然后利用證明，從而可得，，進而可得，即可解答．【詳解】解：過點C作軸，垂足為E，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴點C的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握一線三等角構造全等模型是解題的關鍵．13．（本題2分）（·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，分別為邊上的高，相交于點F，連接．下列結論：（1）；②；③：，④若，則的周長等于的長．正確的是（填序號）．

【答案】①③④【分析】首先在中，分別為邊上的高，相交于點F，根據(jù)三角形面積公式和它們有一條公共邊可以得到③；由及垂直關系可以得到，接著得到，又和都是的余角，所以可以證明，根據(jù)全等三角形的性質可以得到，進一步得到①；若，則由，推出，顯然不可能，故②錯誤；若，根據(jù)①可以得到E是的中點，然后可以推出是的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質即可得到④．【詳解】解：∵中，分別為邊上的高，又，而和有一條公共邊，∴，∴③正確；∵，，∴和都是的余角，∴而，∴，∴，∴，∴①正確；若，∵，∴，顯然不一定，故②錯誤，若，根據(jù)①得，∴，即E為的中點，∴為線段的垂直平分線，∴，∴，即周長等于的長，∴④正確．故答案為①③④【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，線段的垂直平分線的性質與判定，等腰三角形的判定與性質，三角形的周長公式等知識，綜合性比較強，對學生的能力要求比較高．14．（本題2分）（2024秋·內蒙古烏?！ぐ四昙壭？茧A段練習）如圖，在中，平分，平分，經(jīng)過點與相交于點，且，，，的周長為．【答案】22【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質可證和是等腰三角形，從而得到，，然后利用等量代換可得到的周長為，進行計算即可解答．【詳解】解：平分，平分，，，，，，的周長為：，故答案為：22．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質，熟練掌握角平分線的性質、平行線的性質證等腰三角形是解題的關鍵．15．（本題2分）（2025春·山東青島·八年級山東省青島第五十九中學?？计谥校┤鐖D，中，，的平分線和的外角平分線相交于點，分別交和的延長線于，．過作交的延長線于點，交的延長線于點，連接交于點．則下列結論：①；②；③；④．其中正確的是.【答案】①②③【分析】①根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和與角平分線的定義表示出，再根據(jù)角平分線的定義然后利用三角形的內角和定理整理即可得解；②證明得出，，即可判斷②③再利用角角邊證明全等，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等得到，從而得解；④根據(jù)，，可得，然后求出，再根據(jù)等角對等邊可得，再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得，然后求出，根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊，，從而得出④錯誤．【詳解】解：①的角平分線和的外角平分線，在中，故①正確；，，為的角平分線，，在和中，，；故②正確；③，，，，，在與中，，，，，，故③正確；④，，，，，，，，與都是等腰直角三角形，，，，，不成立，故④錯誤，綜上所述①②③正確．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，直角三角形的性質，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．16．（本題2分）（2025春·全國·八年級專題練習）如圖，，分別是與它的鄰補角的平分線，，垂足為點E，，垂足為點F，分別交邊，于點M和N．若，，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，，從而可得，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得四邊形是矩形，然后利用矩形的性質可得，，，從而可得，進而可得，最后利用平行線的判定可得，從而可得是的中位線，進而可得，再利用線段的和差關系進行計算即可解答．【詳解】解：∵，分別是與它的鄰補角的平分線，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的中位線，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．17．（本題2分）（2024秋·黑龍江大慶·八年級校考期中）如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點，將沿在上，在上折疊，點與點恰好重合，則為度．

【答案】【分析】連接、，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，根據(jù)等邊對等角可得，再求出，證明，再根據(jù)等邊對等角求出，根據(jù)翻折的性質可得，然后根據(jù)等邊對等角求出，再利用三角形的內角和定理列式計算即可．【詳解】解：如圖，連接、，

，為的平分線，，又，，是的垂直平分線，，，，為的平分線，，點在的垂直平分線上，，，將沿在上，在上）折疊，點與點恰好重合，，，

在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，等邊對等角的性質，以及翻折變換的性質，三角形內角和定理等等，熟知相關知識是解題的關鍵．18．（本題2分）（2025春·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，是的平分線，過點作，交的延長線于點若，則的長為.

【答案】【分析】延長、交于點，首先利用三角形內角和計算出，進而得到，再根據(jù)等腰三角形的性質可得，然后證明，可得，進而得到．【詳解】解：延長、交于點，如圖，

∵，∴．∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵中，，，∴，∴÷，，∴，∵在和中，，∴（），∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質和判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用，關鍵是證得．19．（本題2分）（2025春·上海徐匯·八年級上海市西南模范中學?？计谀┤鐖D，在等腰梯形中，，對角線于點，，，垂足分別為、，，，則．

【答案】6【分析】過作交延長線于點，則，證四邊形為平行四邊形得證為等腰直角三角形，利用勾股定理得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一得及直角三角形的性質得，從而求得，再四邊形是平行四邊形，即可得解．【詳解】解：過作交延長線于點，則，

，四邊形為平行四邊形，，，，∴，，又四邊形是等腰梯形，，，為等腰直角三角形，∴，，，即，，，，∴，，，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定及性質，等腰三角形的判定及性質，等腰梯形的性質，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定及性質，等腰三角形的判定及性質以及等腰梯形的性質是解題的關鍵．20．（本題2分）（2025春·河南開封·八年級開封市第三十三中學?？计谥校┤鐖D，正方形中，，動點在邊上，以為直角邊向上作正方形，連接，則在運動過程中最小值為．

【答案】【分析】如圖，過作的延長線于，連接，由正方形的性質可得，，，，則，證明，則，，，，可得是等腰直角三角形，，即在的平分線上運動，當，即是等腰直角三角形時，最小，由勾股定理得，，即，計算求解滿足要求的解即可．【詳解】解：如圖，過作的延長線于，連接，

由正方形，正方形，可得，，，，∵，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，即，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴在的平分線上運動，∴當，即是等腰直角三角形時，最小，由勾股定理得，，即，解得，（舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質．解題的關鍵在于明確點的運動軌跡．三、解答題：本大題共8小題，21-22題每小題6分，23-28題每小題8分，共60分．21．（本題6分）（2025春·河南周口·八年級校聯(lián)考期末）如圖，正方形的邊長為，為對角線，平分，．

(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質可得，，根據(jù)角平分線的性質可得，進而根據(jù)，即可證明；（2）根據(jù)勾股定理求得對角線的長，進而求得，根據(jù)等腰三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，（2）∵為正方形的對角線，∴，由（1）知，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．22．（本題6分）（2025春·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）如圖將繞著點A逆時針旋轉得到．當點D恰好落在上時，連接．當，時，求證：．

【答案】證明見解析【分析】三角形的內角和定理求出，根據(jù)旋轉的性質，得到，，進而得到，三角形的內角和定理求出，進而求出，再利用三角形的內角和定理求出的度數(shù)，即可得證．【詳解】解：∵，，∴，∵旋轉，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，三角形的內角和定理．熟練掌握旋轉的性質，等邊對等角，是解題的關鍵．23．（本題8分）（2025春·山東棗莊·八年級棗莊市第十五中學?？茧A段練習）如圖：在的邊的延長線上，點在邊上，交于點，，．求證：是等腰三角形．（過作交于）

【答案】證明見解析【分析】過作交于，根據(jù)平行線的性質可得出、，結合以及可證明，根據(jù)全等三角形的性質可得出，結合可得出，進而可得出，即可得證出△ABC是等腰三角形．【詳解】證明：如圖，過作交于，∵，∴，在和中，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質、平行線的性質以及全等三角形的判定與性質，通過作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．24．（本題8分）（2025春·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學教育集團校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，，點E在線段上，點E為的中點．(1)求證：；(2)若F，G分別是的中點；①求證：是等腰三角形；②當時，求線段的長度．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）由平行四邊形的性質及已知條件可得是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質求解即可；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線的性質得出，再由平行四邊形的性質進行求解進；②先證明四邊形是平行四邊形，是等腰三角形，設，則，在中，由勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴．（2）①證明：∵是等腰三角形，E是中點，∴，∴，∵G為中點，∴，∵E、F分別是的中點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴是等腰三角形．②解：由題意知，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等腰三角形，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得，，即，解得或（不合題意，舍去），∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，三角形中位線定理等知識，熟練掌握知識點是解題的關鍵．25．（本題8分）（2025春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，中，，．

(1)尺規(guī)作圖，作的角平分線交于點（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若于點，垂足在的延長線上，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，試探究線段和的數(shù)量關系并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，作的角平分線交于點；（2）根據(jù)三角形的內角和定理，以及等腰三角形的性質，即可求解；（3）延長交的延長線于點，證明可得，，進而證明，即可得出結論．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

（2）解：如圖所示，

∵∴，∵平分，∴，∵∴，∴，∴（3），證明如下，，延長交的延長線于點，

∵，∴，∴，∵，∴∴，在中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．26．（本題8分）（2025春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）【提出問題】如圖1，等腰直角三角形中，，，點D為上一點，將線段繞點D逆時針旋轉至，連接，，探究，，之間的數(shù)量關系．【分析問題】小明在思考這道題時，想到了老師講過