專(zhuān)題11.7三角形的內(nèi)角（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過(guò)平行線性質(zhì)和平角定義理解三角形內(nèi)角和；2．掌握三角形內(nèi)角和及三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系；3．能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行相關(guān)角的計(jì)算及相關(guān)證明問(wèn)題.【知識(shí)點(diǎn)梳理】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．特別說(shuō)明：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類(lèi)問(wèn)題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．【知識(shí)點(diǎn)二】直角三角形兩銳角和：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余.反過(guò)來(lái)，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.特別說(shuō)明：如果直角三角形中有一個(gè)銳角為45°，那么這個(gè)直角三角形的另一個(gè)銳角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.【典型例題】類(lèi)型一、三角形的內(nèi)角和 1．完成下面的證明已知：如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，DE//BA，DF//CA．求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°．證明：∵DE//BA，∴∠3＝（

），∠2＝（

）．∵DF//CA，∴∠1＝（

），∠BFD＝（

）．∴∠2＝（

）．∵∠1＋∠2＋∠3＝180°（平角的定義），∴∠A＋∠B＋∠C＝180°（等量代換）．【答案】∠B，兩直線平行，同位角相等；∠BFD，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠C，兩直線平行，同位角相等；∠A，兩直線平行，同位角相等；∠A，等量代換【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠2，∠1=∠C，∠3=∠B，再由平角的定義即可得出結(jié)論．解：∵DE//B∴∠3＝∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2＝∠BFD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵DF//CA，∴∠1＝∠C（兩直線平行，同位角相等），∠A＝∠BFD（兩直線平行，同位角相等），∴∠2＝∠A（等量代換）．∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角的定義），∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代換）．故答案為：∠B，兩直線平行，同位角相等；∠BFD，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠C，兩直線平行，同位角相等；∠A，兩直線平行，同位角相等；∠A，等量代換．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．舉一反三：【變式1】在探索并證明三角形的內(nèi)角和定理“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”時(shí)，圓圓同學(xué)添加的輔助線為“過(guò)點(diǎn)A作直線DE//BC”．請(qǐng)寫(xiě)出“已知”、“求證”，并補(bǔ)全證明．已知：求證：證明：過(guò)點(diǎn)A作直線DE//BC．【答案】已知：如圖，；求證：；證明見(jiàn)分析．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義即可證明．解：如圖，．求證：．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線DE//BC．∵DE//BC，∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵（平角定義），∴．即三角形內(nèi)角和為．【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，平角的定義．掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵．【變式2】在小學(xué)，我們?cè)?jīng)通過(guò)動(dòng)手操作，利用拼圖的方法研究了三角形三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系．如圖，把三角形ABC分成三部分，然后以某一頂點(diǎn)（如點(diǎn)B）為集中點(diǎn)，把三個(gè)角拼在一起，觀察發(fā)現(xiàn)恰好構(gòu)成了平角，從而得到了“三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180°”的結(jié)論．但是，通過(guò)本學(xué)期的學(xué)習(xí)我們知道：由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、猜想得到的結(jié)論還需要通過(guò)證明來(lái)確認(rèn)它的正確性．小聰認(rèn)真研究了拼圖的操作方法，形成了證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180°”的思路：①畫(huà)出命題對(duì)應(yīng)的幾何圖形；②寫(xiě)出已知，求證；③受拼接方法的啟發(fā)畫(huà)出輔助線；④寫(xiě)出證明過(guò)程．請(qǐng)你參考小聰解決問(wèn)題的思路，寫(xiě)出證明該命題的完整過(guò)程．【分析】根據(jù)要求畫(huà)出△ABC，寫(xiě)出已知，求證．構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．解：△ABC．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：如圖，延長(zhǎng)CB到F，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC．∵BE∥AC，∴∠1=∠4，∠5=∠3，∵∠2+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°，即∠A+∠ABC+∠C=180°．【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，平角的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題．類(lèi)型二、與平行線有關(guān)的內(nèi)角和問(wèn)題 2.如圖，已知，且．(1)求證：，請(qǐng)完成下面的證明：∵，，∴∴（___________________），∴___________________（___________________），又∵（已知），∴（___________________），∴（同位角相等，兩直線平行）∴（___________________）；(2)若平分，且，，求的度數(shù)．【答案】(1)兩直線平行，同位角相等；∠AEF；同位角相等，兩直線平行；等量代換；兩直線平行，同位角相等；(2)40°．【分析】（1）求出∠FDE=∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠FEC=∠ECB，根據(jù)平行線的判定得出EF∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)∠3=∠B得∠B=50°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ECB=20°，根據(jù)角平分線定義得出∠ACB=2∠ECB=40°，即可得出答案．解：(1)∵∠1+∠2=180°，∠1+∠AEC=180°，∴∠AEC=∠1∴AB∥FD（同位角相等，兩直線平行），∴∠3=∠AEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠3=∠B（已知），∴∠AEF=∠B（等量代換），∴FE∥CB（同位角相等，兩直線平行）∴∠AFE=∠ACB（兩直線平行，同位角相等）；故答案為：同位角相等，兩直線平行；∠AEF；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；兩直線平行，同位角相等；(2)∵∠3=∠B，∠3=50°，∴∠B=50°，∵∠2+∠B+∠ECB=180°，∠2=110°，∴∠ECB=20°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ECB=40°．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用以及角平分線的計(jì)算，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知：如圖，AB∥CD，∠B＝∠D．求證：∠1＝∠2．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DCA，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理得出∠1＝∠2．解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵∠B＝∠D，∴∠1＝180°-∠D-∠ACD，∠2＝180°-∠B-∠BAC=180°-∠D-∠ACD，∴∠1＝∠2．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，，．(1)試說(shuō)明；(2)若，且，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)35°【分析】（1）根據(jù)，可得BM∥CN，從而得到∠CBM=∠BCN，再由，可得∠ABC=∠BCD，即可求證；（2）根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠ABD=110°，再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAD=35°，然后根據(jù)AB∥CD，即可求解．(1)解：∵，∴BM∥CN，∴∠CBM=∠BCN，∵，∴∠3+∠CBM=∠4+∠BCN，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD；(2)解：∵∠ABD=∠EBF，，∴∠ABD=110°，∴∠BAD+∠BDA=70°，∵，∴∠BAD=35°，∵AB∥CD，∴∠ADC=∠BAD=35°．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定，對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、三角形折疊有關(guān)角度問(wèn)題 3.已知：如圖，△ABC的兩個(gè)外角的平分線交于點(diǎn)P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數(shù)．【答案】70°，詳見(jiàn)分析【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，再根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知ABCD，解決下列問(wèn)題：(1)如圖①，寫(xiě)出∠ABE、∠CDE和∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度數(shù)．【答案】(1)∠ABE+∠CDE+∠DEB＝360°，理由見(jiàn)分析(2)130°【分析】（1）過(guò)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)得出三角關(guān)系，以及角平分線定義求出四邊形PBED中的三個(gè)角，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和求出所求角的度數(shù)即可．解：(1)根據(jù)題意得：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°，理由如下：過(guò)E作EF∥AB，∴∠FEB+∠EBA＝180°，∵CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，∴∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，故答案為：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；(2)∵BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，∴∠EDP∠CDE，∠EBP∠ABE，即∠CDE＝2∠EDP，∠ABE＝2∠EBP，代入（1）的等式得：2∠EBP+2∠EDP+∠E＝360°，∵∠E＝100°，∴∠EBP+∠EDP＝180°∠E＝130°，在四邊形PBED中，∠P＝360°﹣（∠EBP+∠EDP+∠E）＝360°﹣（130°+100°）＝130°．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，，，分別平分和，，相交于點(diǎn)F，求的度數(shù)．【答案】45°【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．解：在中，，，分別平分和，∴∠AFE=45°．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型四、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用 4.如圖，在中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，將沿翻折得到，與相交于點(diǎn)F，若平分，，．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)分析；(2)．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出，再利用折疊和角平分線的性質(zhì)證明，即可證明；（2）利用三角形內(nèi)角和定理求出，再利用對(duì)頂角相等證明，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出．解：(1)∵，，∴,∵AE平分，∴，∵，∴，∴，∴，(2)解：，∴，∵，且，∴．【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，（1）的關(guān)鍵是求出，證明；（2）的關(guān)鍵是求出．舉一反三：【變式1】折疊三角形紙片，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)，且折痕．若，求的度數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】，證明見(jiàn)分析【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠ADE=∠FDE，再由平行的性質(zhì)可得∠ADE=∠B，再由平角的定義可得出∠BDF的度數(shù)．解：∠BDF=80°，理由如下：由折疊得，△ADE≌△FDE，∴∠ADE=∠FDE，∵DE//BC，∴∠ADE=∠FDE=∠B=50°，∴∠BDF=180°-∠ADE-∠FDE=180°-2∠B=180°-100°=80°．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，由折疊得到∠ADE=∠FDE是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，將△ABC沿AD翻折后，點(diǎn)B恰好落在線段CD上的B'處，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度數(shù)．【答案】60°【分析】由折疊和角平分線可求∠BAD=30°，即可求出∠BAB'的度數(shù)．解：由折疊可知，∠BAD=∠B'AD，∵AB'平分∠CAD．∴∠B'AC=∠B'AD，∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD=30°，∴∠BAB'=60°．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊和角平分線，解題關(guān)鍵是掌握折疊角相等和角平分線的性質(zhì)．類(lèi)型五、直角三角形兩銳角互余的應(yīng)用 5.如圖，在中，AD是角平分線，E為邊AB上一點(diǎn)，連接DE，，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F．(1)試說(shuō)明；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)46°【分析】（1）根據(jù)AD平分，結(jié)合，得出，最后內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，得出即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，根據(jù)垂直定義，得出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和得出．解：(1)∵AD平分，∴，∵，∴，∴．(2)∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖所示，有一個(gè)三角尺（足夠大），其中，把直角三角尺放置在銳角上，三角尺的兩邊恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)若，則_________°，__________°，___________°；(2)若，求的度數(shù)；(3)請(qǐng)你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)145°；90°；55°；(2)30°(3)∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DBC+∠DCB=90°，由此即可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；（2）同（1）求解即可；（3）同（1）求解即可．(1)解：∵∠A=35°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=145°；∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=55°，故答案為：145°；90°；55°；(2)解：∵∠A=60°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°；∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=30°；(3)解：∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由如下：∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A；∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=180°-∠A-90°，∴∠ABD+∠ACD+∠A=90°．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，熟知三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，，有一塊直角三角板放置在上，恰好三角板的兩條直角邊，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且頂點(diǎn)始終在內(nèi)部．(1)如圖1，則______度，______度；(2)如圖2，改變圖1中直角三角板的位置，但使三角板的兩條直角邊，仍然分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．那么的大小是否變化？若變化，請(qǐng)舉例說(shuō)明；若不變化，請(qǐng)求出的大小．【答案】(1)140，90(2)不變化，50°【分析】（1）在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和等于180°，可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求∠ABC+∠ACB；可求∠XBC+∠XCB=90°，即可求出答案；（2）不發(fā)生變化，根據(jù)三角形內(nèi)角和定義有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，則∠ABX+∠ACX=90°-∠A，即可求出答案．(1)解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵在△BCX中，∠BXC=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°．故答案為：140，90；(2)不變化，∠ABX+∠ACX=50°．∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°，∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=180°-∠A-90°=90°-∠A．=50°【點(diǎn)撥】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，此題注意運(yùn)用整體法計(jì)算，關(guān)鍵是求出∠ABC+∠ACB．類(lèi)型六、6.如圖，，于D，于G，．(1)求∠2的度數(shù)；(2)若CD平分∠ACB，求的度數(shù)．【答案】(1)40°(2)50°【分析】（1）根據(jù)CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，可判定CD∥FG，利用平行線的性質(zhì)可知∠2＝∠BCD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ACD＝40°，再根據(jù)直角三角形性質(zhì)即可求解．(1)解：∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，∴CD∥FG．∴∠2＝∠BCD，又∵DE∥BC，∴∠1＝∠BCD=40°，∴∠1＝∠2=40°．(2)解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD=40°，∵CD⊥AB，∴∠A＝90°-∠ACD=50°.【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定和三角形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算．【變式一】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；(2)試說(shuō)明：∠AEF＝∠AFE．【答案