4.1.1單項(xiàng)式單項(xiàng)式是代數(shù)式中最基礎(chǔ)的形式之一，它是構(gòu)成多項(xiàng)式的基本單元，也是學(xué)習(xí)整式運(yùn)算的起點(diǎn)。理解單項(xiàng)式的定義、系數(shù)、次數(shù)等概念，能為后續(xù)學(xué)習(xí)多項(xiàng)式、整式的加減乘除等知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。一、單項(xiàng)式的定義核心概念：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式。例如：\(3x\)（數(shù)\(3\)與字母\(x\)的積）、\(-5a^2b\)（數(shù)\(-5\)與字母\(a^2b\)的積）、\(7\)（單獨(dú)的一個(gè)數(shù)）、\(y\)（單獨(dú)的一個(gè)字母）都是單項(xiàng)式；而\(2x+3\)（數(shù)與字母的和）、\(\frac{x}{y}\)（字母與字母的商）不是單項(xiàng)式。關(guān)鍵詞解析：數(shù)與字母的積：單項(xiàng)式中只含有乘法運(yùn)算（包括乘方，因?yàn)槌朔绞翘厥獾某朔ǎ?，不含加法、減法、除法（除數(shù)為字母）運(yùn)算。例如：\(3x^2\)是\(3??x??x\)的簡寫，屬于單項(xiàng)式；而\(3x+2\)含有加法，不屬于單項(xiàng)式。單獨(dú)的數(shù)或字母：這是單項(xiàng)式的特殊形式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)（如\(0\)、\(-\frac{1}{2}\)）可以看作是這個(gè)數(shù)與字母的零次冪的積（如\(5=5??a^0\)，其中\(zhòng)(aa?

0\)）；單獨(dú)的一個(gè)字母（如\(a\)、\(b^3\)）可以看作是\(1\)與這個(gè)字母的積（如\(a=1??a\)）。單項(xiàng)式與代數(shù)式的關(guān)系：單項(xiàng)式是代數(shù)式的一種特殊形式，所有的單項(xiàng)式都是代數(shù)式，但代數(shù)式不一定是單項(xiàng)式。例如：代數(shù)式\(2x+3y\)是多項(xiàng)式，不是單項(xiàng)式；代數(shù)式\(\frac{1}{x}\)是分式，也不是單項(xiàng)式。二、單項(xiàng)式的系數(shù)定義：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。例如：在單項(xiàng)式\(3x\)中，數(shù)字因數(shù)是\(3\)，因此系數(shù)是\(3\)；在單項(xiàng)式\(-5a^2b\)中，數(shù)字因數(shù)是\(-5\)，因此系數(shù)是\(-5\)。注意事項(xiàng)：符號(hào)問題：系數(shù)的符號(hào)是單項(xiàng)式的重要組成部分，不能忽略。例如：單項(xiàng)式\(-2xy\)的系數(shù)是\(-2\)，而不是\(2\)。1或-1的省略：當(dāng)單項(xiàng)式的系數(shù)是\(1\)或\(-1\)時(shí)，“\(1\)”通常省略不寫。例如：單項(xiàng)式\(x^2\)的系數(shù)是\(1\)（可理解為\(1??x^2\)）；單項(xiàng)式\(-ab^3\)的系數(shù)是\(-1\)（可理解為\(-1??ab^3\)）。單獨(dú)的數(shù)的系數(shù)：單獨(dú)的一個(gè)數(shù)作為單項(xiàng)式，它的系數(shù)就是這個(gè)數(shù)本身。例如：單項(xiàng)式\(7\)的系數(shù)是\(7\)；單項(xiàng)式\(-\frac{3}{4}\)的系數(shù)是\(-\frac{3}{4}\)。含分?jǐn)?shù)的系數(shù)：系數(shù)可以是分?jǐn)?shù)，此時(shí)需注意分?jǐn)?shù)的形式。例如：單項(xiàng)式\(\frac{2}{3}x^3y\)的系數(shù)是\(\frac{2}{3}\)，而不是\(2\)或\(3\)。三、單項(xiàng)式的次數(shù)定義：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。例如：在單項(xiàng)式\(3x\)中，字母\(x\)的指數(shù)是\(1\)，因此次數(shù)是\(1\)；在單項(xiàng)式\(-5a^2b\)中，字母\(a\)的指數(shù)是\(2\)，字母\(b\)的指數(shù)是\(1\)，指數(shù)和為\(2+1=3\)，因此次數(shù)是\(3\)。注意事項(xiàng)：字母的指數(shù)：字母的指數(shù)是指字母右上角的數(shù)字，若字母沒有明確標(biāo)注指數(shù)，則其指數(shù)為\(1\)。例如：單項(xiàng)式\(xy\)中，\(x\)的指數(shù)是\(1\)，\(y\)的指數(shù)是\(1\)，次數(shù)為\(1+1=2\)；單項(xiàng)式\(a\)的指數(shù)是\(1\)，次數(shù)是\(1\)。數(shù)字的指數(shù)不算：單項(xiàng)式的次數(shù)只與字母的指數(shù)有關(guān)，與數(shù)字的指數(shù)（即系數(shù)的乘方）無關(guān)。例如：單項(xiàng)式\(2^3x^2y\)中，數(shù)字\(2\)的指數(shù)\(3\)不算，次數(shù)由\(x\)的指數(shù)\(2\)和\(y\)的指數(shù)\(1\)決定，即次數(shù)為\(2+1=3\)。單獨(dú)的數(shù)的次數(shù)：單獨(dú)的一個(gè)非零數(shù)作為單項(xiàng)式，它的次數(shù)規(guī)定為\(0\)（因?yàn)榭梢钥醋魇沁@個(gè)數(shù)與字母的零次冪的積，而任何非零數(shù)的零次冪都是\(1\)）。例如：單項(xiàng)式\(5\)的次數(shù)是\(0\)；單項(xiàng)式\(-\frac{1}{2}\)的次數(shù)是\(0\)。次數(shù)的表示：單項(xiàng)式的次數(shù)通常用數(shù)字表示，如“一次單項(xiàng)式”“三次單項(xiàng)式”等。例如：\(3x\)是一次單項(xiàng)式，\(-5a^2b\)是三次單項(xiàng)式。四、單項(xiàng)式的識(shí)別與判斷判斷一個(gè)代數(shù)式是否為單項(xiàng)式，需依據(jù)單項(xiàng)式的定義，滿足以下條件：代數(shù)式中只含有乘法運(yùn)算（包括乘方），不含加法、減法、除法（除數(shù)為字母）運(yùn)算?？梢允菃为?dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母。示例：判斷下列代數(shù)式是否為單項(xiàng)式，若是，指出其系數(shù)和次數(shù)。（1）\(4x^2\)（2）\(-xy^3\)（3）\(a+b\)（4）\(\frac{2}{x}\)（5）\(7\)（6）\(-\frac{1}{3}m^2n\)解：（1）是單項(xiàng)式，系數(shù)是\(4\)，次數(shù)是\(2\)（\(x\)的指數(shù)為\(2\)）；（2）是單項(xiàng)式，系數(shù)是\(-1\)，次數(shù)是\(4\)（\(x\)的指數(shù)為\(1\)，\(y\)的指數(shù)為\(3\)，\(1+3=4\)）；（3）不是單項(xiàng)式，因?yàn)楹屑臃ㄟ\(yùn)算；（4）不是單項(xiàng)式，因?yàn)楹谐ㄟ\(yùn)算（除數(shù)為字母\(x\)）；（5）是單項(xiàng)式，系數(shù)是\(7\)，次數(shù)是\(0\)；（6）是單項(xiàng)式，系數(shù)是\(-\frac{1}{3}\)，次數(shù)是\(3\)（\(m\)的指數(shù)為\(2\)，\(n\)的指數(shù)為\(1\)，\(2+1=3\)）。五、常見錯(cuò)誤與規(guī)避方法系數(shù)識(shí)別錯(cuò)誤：常見錯(cuò)誤：忽略系數(shù)的符號(hào)（如將\(-3x\)的系數(shù)誤認(rèn)為是\(3\)）；將系數(shù)中的分?jǐn)?shù)拆分開（如將\(\frac{2}{3}x\)的系數(shù)誤認(rèn)為是\(2\)或\(3\)）。規(guī)避方法：牢記系數(shù)包括數(shù)字前面的符號(hào)，對于分?jǐn)?shù)系數(shù)，要將整個(gè)分?jǐn)?shù)看作一個(gè)整體。次數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤：常見錯(cuò)誤：遺漏字母的指數(shù)（如將\(xy^2\)的次數(shù)計(jì)算為\(2\)，忽略\(x\)的指數(shù)\(1\)，正確次數(shù)為\(3\)）；將數(shù)字的指數(shù)計(jì)入次數(shù)（如將\(2^2x^3\)的次數(shù)計(jì)算為\(2+3=5\)，正確次數(shù)為\(3\)）。規(guī)避方法：計(jì)算次數(shù)時(shí)，逐一列出每個(gè)字母的指數(shù)并相加，明確數(shù)字的指數(shù)不屬于單項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式判斷錯(cuò)誤：常見錯(cuò)誤：將多項(xiàng)式誤認(rèn)為單項(xiàng)式（如認(rèn)為\(2x+5\)是單項(xiàng)式）；將分式誤認(rèn)為單項(xiàng)式（如認(rèn)為\(\frac{x}{2}\)是分式，實(shí)際上\(\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x\)是單項(xiàng)式）。規(guī)避方法：嚴(yán)格按照定義判斷，多項(xiàng)式含有加法或減法運(yùn)算，分式的分母中含有字母，而單項(xiàng)式只含有乘法運(yùn)算（或單獨(dú)的數(shù)、字母）。六、典型例題解析基礎(chǔ)概念題：指出下列單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)：（1）\(-5x^2\)（2）\(\frac{3}{4}a^3b\)（3）\(y\)（4）\(-\pir^2\)解：（1）系數(shù)是\(-5\)，次數(shù)是\(2\)；（2）系數(shù)是\(\frac{3}{4}\)，次數(shù)是\(4\)（\(a\)的指數(shù)\(3\)+\(b\)的指數(shù)\(1\)）；（3）系數(shù)是\(1\)（省略不寫），次數(shù)是\(1\)；（4）系數(shù)是\(-\pi\)（\(\pi\)是常數(shù)），次數(shù)是\(2\)。識(shí)別與分類題：下列代數(shù)式中，哪些是單項(xiàng)式？并寫出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)。①\(3x+y\)②\(-7\)③\(\frac{1}{2}m^2n\)④\(\frac{5}{x}\)⑤\(0\)⑥\(a^3\)解：單項(xiàng)式是②③⑤⑥；②\(-7\)：系數(shù)是\(-7\)，次數(shù)是\(0\)；③\(\frac{1}{2}m^2n\)：系數(shù)是\(\frac{1}{2}\)，次數(shù)是\(3\)；⑤\(0\)：系數(shù)是\(0\)，次數(shù)是\(0\)（單獨(dú)的零是單項(xiàng)式，次數(shù)為\(0\)）；⑥\(a^3\)：系數(shù)是\(1\)，次數(shù)是\(3\)。開放性問題：寫出一個(gè)關(guān)于\(x\)、\(y\)的五次單項(xiàng)式，且系數(shù)為\(-3\)。解：答案不唯一，只要滿足所有字母的指數(shù)和為\(5\)，系數(shù)為\(-3\)即可。例如：\(-3x^2y^3\)（\(2+3=5\)）、\(-3x^4y\)（\(4+1=5\)）等。實(shí)際應(yīng)用題：一個(gè)長方體的長為\(a\)，寬為\(b\)，高為\(c\)，用單項(xiàng)式表示該長方體的體積，并指出其系數(shù)和次數(shù)。若\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=4\)，求該長方體的體積。解：長方體體積=長

×

寬

×

高，即單項(xiàng)式為\(abc\)；系數(shù)是\(1\)，次數(shù)是\(3\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)的指數(shù)均為\(1\)，\(1+1+1=3\)）；當(dāng)\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=4\)時(shí)，體積為\(2??3??4=24\)。單項(xiàng)式是整式的基礎(chǔ)，理解單項(xiàng)式的定義、系數(shù)和次數(shù)是學(xué)好代數(shù)式的關(guān)鍵。在學(xué)習(xí)過程中，要注重概念的準(zhǔn)確性，通過大量實(shí)例練習(xí)，熟練掌握單項(xiàng)式的識(shí)別、系數(shù)和次數(shù)的計(jì)算方法。同時(shí)，要注意區(qū)分單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、分式的不同，為后續(xù)學(xué)習(xí)整式的運(yùn)算打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。2024人教版數(shù)學(xué)七年級上冊授課教師：

.班級：

.

時(shí)間：

.

4.1.1單項(xiàng)式第四章

整式的加減aiTujmiaNg1.會(huì)用字母或含有字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系；能分析實(shí)際問題中包含的數(shù)量關(guān)系并列式表示出來.2.能敘述并理解單項(xiàng)式及單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)的意義并能正確確定一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù).(1)蘋果原價(jià)是每千克p元，按8折優(yōu)惠出售，用式子表示現(xiàn)價(jià)；(2)某產(chǎn)品前年的產(chǎn)量是n件，去年的產(chǎn)量是前年產(chǎn)量的m倍，用式子表示去年的產(chǎn)量；(3)邊長為a的正方形的面積；(4)圓柱體積公式（底面半徑為r，高為h）；a2πr2h知識(shí)點(diǎn)單項(xiàng)式的相關(guān)概念0.8p,

mn,a2,πr2h

這些代數(shù)式有什么共同特點(diǎn)？數(shù)字字母1×mn數(shù)字字母由數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式叫作單項(xiàng)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。數(shù)或字母的積的形式包含三種：數(shù)與數(shù)的積，數(shù)與字母的積，字母與字母的積.0.8p

mn

a2πr2h

單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫作這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù).1下列單項(xiàng)式的系數(shù)分別是多少？一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫作這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).下列單項(xiàng)式的次數(shù)分別是多少？11次2次2次3次規(guī)定非零數(shù)的次數(shù)是0提醒：1.單項(xiàng)式表示數(shù)與字母相乘時(shí)，通常把數(shù)寫在前面.2.單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1時(shí)，1通常省略不寫.例1用單項(xiàng)式填空，并指出它們的系數(shù)和次數(shù)（1）若三角形的一條邊長為a，這條邊上的高為h，則這個(gè)三角形的面積為__________.（2）一個(gè)長方體包裝盒的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則這個(gè)長方體包裝盒的體積為_____cm3.（3）有理數(shù)n的相反數(shù)是________.系數(shù)：次數(shù)：2xyz系數(shù)：1次數(shù)：3-n系數(shù)：-1次數(shù)：1（4）《北京2022年冬奧會(huì)——冰上運(yùn)動(dòng)》是為了紀(jì)念北京2022年冬奧會(huì)冰上運(yùn)動(dòng)發(fā)行的郵票．郵票1套共5枚，價(jià)格為6元，其中一種版式為一張10枚（2套)，如圖所示．某中學(xué)舉行冬奧會(huì)有獎(jiǎng)問答活動(dòng)，買了m張這種版式的郵票作為獎(jiǎng)品，共花費(fèi)_______元.12m系數(shù)：12次數(shù)：1（5）《中華人民共和國國旗法》規(guī)定，國旗旗面為紅色長方形，其長與高之比為3∶2，有五種通用尺度（即尺寸規(guī)格).若一種尺度的國旗的長為acm，則這種尺度的國旗旗面的面積為________cm2.系數(shù)：次數(shù)：2用單項(xiàng)式填空，并指出它們的系數(shù)和次數(shù):（1）每包書有12冊，n包書有

冊；系數(shù)：12，次數(shù)：1（2）底邊長為acm，高為hcm的三角形

的面積是

cm2；系數(shù)：，次數(shù)：2針對訓(xùn)練（3）棱長為acm的正方體的體積是

cm3；系數(shù)：1，次數(shù)：3（4）一臺(tái)電視機(jī)原價(jià)b元，現(xiàn)按原價(jià)的9折出售，這臺(tái)電視機(jī)現(xiàn)在的售價(jià)是

元；系數(shù)：0.9，次數(shù)：1（5）一個(gè)長方形的長是0.9m，寬是bm，這個(gè)長方形的面積是

m2.系數(shù)：0.9，次數(shù)：1.1.填表：單項(xiàng)式系數(shù)次數(shù)22－1.2113－122【選自教材P91練習(xí)第1題】課后練習(xí)2.用單項(xiàng)式填空，并指出它們的系數(shù)和次數(shù).（1）國家速滑館“冰絲帶”采用了我國自有的二氧化碳跨臨界直冷制冰系統(tǒng)，不僅安全，而且綠色環(huán)保.如果使用傳統(tǒng)制冷劑，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷劑的3985倍.若使用一批二氧化碳制冷劑的碳排放量為mt，則相同用量的傳統(tǒng)制冷劑的碳排放量為_________t.【選自教材P91練習(xí)第2題】系數(shù)：3985，次數(shù)：13985m（2）某人經(jīng)營一家網(wǎng)店，“五一”假期期間他對網(wǎng)店的某種商品進(jìn)行促銷.若每售出一件這種商品獲利m元，則售出n件這種商品共獲利__________元.（3）測量降水量的基本儀器是雨量器.如圖，一個(gè)雨量器的集雨