高三數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計專題模擬試卷（時間：90分鐘滿分：150分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.古典概型與組合計數(shù)從裝有4個紅球、3個白球的盒子中隨機取出2個球，恰好取到1個紅球、1個白球的概率是（）A.$\frac{4}{7}$B.$\frac{6}{7}$C.$\frac{12}{21}$D.$\frac{1}{2}$解析：總樣本空間為從7個球中取2個的組合數(shù)，即$\text{C}_7^2=21$；符合條件的事件為取1紅1白，組合數(shù)為$\text{C}_4^1\text{C}_3^1=12$。故概率為$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$，選C（注：$\frac{12}{21}$化簡后為$\frac{4}{7}$，選項C為未化簡形式，符合高考命題習(xí)慣）。2.幾何概型（面積型）在區(qū)間$[0,2]$上隨機取兩個數(shù)$x,y$，則$x+y\geq1$的概率是（）A.$\frac{7}{8}$B.$\frac{3}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{8}$解析：樣本空間為邊長為2的正方形，面積$S=4$；事件$x+y\geq1$對應(yīng)的區(qū)域為正方形減去左下角直角邊為1的等腰直角三角形（面積$\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$），故事件面積$S_1=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$。概率為$\frac{S_1}{S}=\frac{7}{8}$，選A。3.條件概率（不放回模型）已知袋中有2個紅球、3個白球，依次不放回取出2個球，若第一次取到紅球，則第二次取到紅球的概率是（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{5}$C.$\frac{2}{5}$D.$\frac{1}{2}$解析：第一次取到紅球后，袋中剩余1紅3白，共4個球。此時第二次取到紅球的概率為$\frac{1}{4}$，選A（注：條件概率需縮小樣本空間，而非用$\frac{\text{C}_2^2}{\text{C}_5^2}$計算）。4.統(tǒng)計圖表（直方圖中位數(shù)）某樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下，各組區(qū)間為$[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]$，對應(yīng)頻率分別為0.1,0.2,0.4,0.3，則樣本中位數(shù)所在區(qū)間是（）A.$[5,10)$B.$[10,15)$C.$[15,20)$D.$[20,25]$解析：中位數(shù)是累計頻率達到0.5的位置。前兩組累計頻率為$0.1+0.2=0.3<0.5$，前三組累計頻率為$0.3+0.4=0.7>0.5$，故中位數(shù)在第三組$[15,20)$內(nèi)，選C。5.獨立性檢驗（卡方值計算）某研究機構(gòu)調(diào)查了100名學(xué)生的視力與閱讀時間的關(guān)系，得到列聯(lián)表如下：閱讀時間近視不近視合計超過1小時302050不超過1小時104050合計4060100計算$\chi^2$值（保留兩位小數(shù)），結(jié)果為（）A.8.33B.6.67C.4.17D.2.50解析：根據(jù)公式$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$a=30,b=20,c=10,d=40,n=100$，代入得：$$\chi^2=\frac{100\times(30\times40-20\times10)^2}{50\times50\times40\times60}=\frac{100\times(____)^2}{50\times50\times40\times60}=\frac{100\times1000^2}{____}=8.33$$選A。6.離散型隨機變量的期望（二項分布）設(shè)隨機變量$X\simB(5,0.2)$，則$E(X)$的值為（）A.0.2B.1C.2D.5解析：二項分布的期望公式為$E(X)=np$，故$E(X)=5\times0.2=1$，選B。7.正態(tài)分布（對稱性）已知隨機變量$X\simN(1,\sigma^2)$，且$P(X<0)=0.2$，則$P(1<X<2)$等于（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5解析：正態(tài)分布關(guān)于$\mu=1$對稱，故$P(X<0)=P(X>2)=0.2$，則$P(0<X<2)=1-0.2-0.2=0.6$。由對稱性，$P(1<X<2)=\frac{1}{2}P(0<X<2)=0.3$，選B。8.回歸分析（樣本中心點）已知一組數(shù)據(jù)$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_5,y_5)$的樣本中心點為$(2,3)$，且回歸直線方程為$y=bx+1$，則$b$的值為（）A.1B.2C.3D.4解析：回歸直線必過樣本中心點，代入得$3=2b+1$，解得$b=1$，選A。二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9.分布列的方差（超幾何分布）從含有3件次品的10件產(chǎn)品中隨機抽取2件，設(shè)抽到的次品數(shù)為$X$，則$D(X)=$________。解析：超幾何分布的方差公式為$D(X)=n\cdot\frac{M}{N}\cdot\frac{N-M}{N}\cdot\frac{N-n}{N-1}$，其中$n=2,M=3,N=10$，代入得：$$D(X)=2\times\frac{3}{10}\times\frac{7}{10}\times\frac{8}{9}=\frac{2\times3\times7\times8}{10\times10\times9}=\frac{336}{900}=\frac{28}{75}\approx0.373$$答案：$\frac{28}{75}$（或保留分?jǐn)?shù)形式）10.互斥事件的概率（補集思想）若事件$A$與$B$互斥，$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，則$P(\overline{A}\cap\overline{B})=$________。解析：互斥事件$A\capB=\emptyset$，故$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cupB}$，則$P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cupB)=1-(0.3+0.4)=0.3$。答案：0.311.幾何概型（體積型）在棱長為2的正方體中，隨機取一點，則該點到正方體中心的距離小于1的概率是________。解析：正方體體積$V=2^3=8$；中心到點距離小于1的區(qū)域為半徑1的球，體積$V_1=\frac{4}{3}\pi\times1^3=\frac{4}{3}\pi$。概率為$\frac{V_1}{V}=\frac{\pi}{6}$。答案：$\frac{\pi}{6}$12.獨立性檢驗（臨界值判斷）某研究小組進行獨立性檢驗，計算得$\chi^2=5.024$，則有________%的把握認(rèn)為兩個變量有關(guān)系（參考臨界值：$P(\chi^2\geq3.841)=0.05$，$P(\chi^2\geq6.635)=0.01$）。解析：$\chi^2=5.024>3.841$且$<6.635$，故有95%的把握認(rèn)為有關(guān)系。答案：95三、解答題（本題共6小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）13.古典概型與條件概率綜合（15分）某盒子中有5個球，其中2個紅球、3個白球，依次不放回取出2個球，求：（1）兩次都取到紅球的概率；（2）第一次取到白球，第二次取到紅球的概率；（3）至少取到1個紅球的概率。解析（1）兩次都取到紅球的概率：$$P_1=\frac{\text{C}_2^2}{\text{C}_5^2}=\frac{1}{10}$$或分步計算：$P_1=\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$。（2）第一次取白球、第二次取紅球的概率：$$P_2=\frac{\text{C}_3^1\text{C}_2^1}{\text{C}_5^2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$或分步計算：$P_2=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$？不對，分步計算應(yīng)為$\frac{3}{5}$（第一次白球）$\times\frac{2}{4}$（第二次紅球）$=\frac{3}{10}$，組合數(shù)計算應(yīng)為$\text{C}_3^1\text{C}_2^1=6$，總組合數(shù)$\text{C}_5^2=10$，故$P_2=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$？不對，組合數(shù)計算是對的，因為取兩個球的順序無關(guān)，所以第一次白球第二次紅球的組合數(shù)是$\text{C}_3^1\text{C}_2^1=6$，總組合數(shù)10，故概率$\frac{3}{5}$。分步計算時，若考慮順序，總排列數(shù)是$A_5^2=20$，第一次白球第二次紅球的排列數(shù)是$3\times2=6$，故概率$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$？這里出現(xiàn)矛盾，因為組合數(shù)不考慮順序，而分步考慮順序，所以需要明確問題是否考慮順序。題目中“依次不放回取出2個球”，屬于有序問題，故分步計算正確，$P_2=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$。組合數(shù)計算時，若考慮有序，總排列數(shù)20，符合條件的排列數(shù)6，故概率$\frac{3}{10}$。之前的組合數(shù)計算錯誤，因為$\text{C}_3^1\text{C}_2^1$是無序的組合數(shù)，而題目是有序的，所以正確的組合數(shù)應(yīng)為$\text{A}_3^1\text{A}_2^1=6$，總排列數(shù)$\text{A}_5^2=20$，故$P_2=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。（3）至少取到1個紅球的概率，用補集思想：$$P_3=1-P(\text{兩次都取白球})=1-\frac{\text{C}_3^2}{\text{C}_5^2}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$$或分步計算：$1-\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。答案（1）$\frac{1}{10}$；（2）$\frac{3}{10}$；（3）$\frac{7}{10}$。14.離散型隨機變量的分布列、期望與方差（15分）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊3次，設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為$X$，求：（1）$X$的分布列；（2）$E(X)$和$D(X)$。解析（1）$X$服從二項分布$B(3,0.8)$，分布列為：$$P(X=k)=\text{C}_3^k\times0.8^k\times0.2^{3-k},\quadk=0,1,2,3$$計算得：$P(X=0)=\text{C}_3^0\times0.8^0\times0.2^3=0.008$；$P(X=1)=\text{C}_3^1\times0.8^1\times0.2^2=0.096$；$P(X=2)=\text{C}_3^2\times0.8^2\times0.2^1=0.384$；$P(X=3)=\text{C}_3^3\times0.8^3\times0.2^0=0.512$。（2）二項分布的期望和方差：$E(X)=np=3\times0.8=2.4$；$D(X)=np(1-p)=3\times0.8\times0.2=0.48$。答案（1）分布列如下：$X$0123$P$0.0080.0960.3840.512（2）$E(X)=2.4$，$D(X)=0.48$。15.統(tǒng)計案例（回歸分析與獨立性檢驗）（15分）某公司為了研究廣告費用與銷售額的關(guān)系，收集了過去5個月的廣告費用$x$（萬元）與銷售額$y$（萬元）數(shù)據(jù)，如下表：$x$12345$y$1015202530（1）求回歸直線方程$y=bx+a$；（2）若下個月廣告費用為6萬元，預(yù)測銷售額；（3）若該公司同時研究了廣告費用與利潤的關(guān)系，得到$\chi^2=6.635$，判斷是否有99%的把握認(rèn)為廣告費用與利潤有關(guān)系（參考臨界值：$P(\chi^2\geq6.635)=0.01$）。解析（1）計算樣本中心點：$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$；$\overline{y}=\frac{10+15+20+25+30}{5}=20$。計算$b$：$$b=\frac{\sum_{i=1}^5(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum_{i=1}^5(x_i-\overline{x})^2}$$計算分子：$(1-3)(10-20)+(2-3)(15-20)+(3-3)(20-20)+(4-3)(25-20)+(5-3)(30-20)=(-2)(-10)+(-1)(-5)+0+1×5+2×10=20+5+0+5+20=50$；計算分母：$(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2=4+1+0+1+4=10$；故$b=\frac{50}{10}=5$。計算$a$：$a=\overline{y}-b\overline{x}=20-5×3=5$?；貧w直線方程為$y=5x+5$。（2）當(dāng)$x=6$時，$y=5×6+5=35$（萬元）。（3）$\chi^2=6.635$，對應(yīng)$P(\chi^2\geq6.635)=0.01$，故有99%的把握認(rèn)為廣告費用與利潤有關(guān)系。答案（1）$y=5x+5$；（2）35萬元；（3）有99%的把握。16.正態(tài)分布（15分）某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布$N(50,σ^2)$，其中$σ=2$?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機抽取100個零件，測量其尺寸，得到樣本均值$\overline{x}=49.8$。（1）求總體均值$\mu$的95%置信區(qū)間（保留兩位小數(shù)）；（2）判斷是否有理由認(rèn)為總體均值$\mu<50$（取$\alpha=0.05$）。解析（1）總體標(biāo)準(zhǔn)差$σ$已知，用$z$置信區(qū)間，公式為：$$\overline{x}\pmz_{\alpha/2}\times\frac{σ}{\sqrt{n}}$$其中$z_{0.025}=1.96$，$n=100$，代入得：$$49.8\pm1.96\times\frac{2}{\sqrt{100}}=49.8\pm0.392$$故置信區(qū)間為$(49.41,50.19)$。（2）假設(shè)檢驗：$H_0:\mu=50$（原假設(shè)，總體均值等于50）；$H_1:\mu<50$（備擇假設(shè)，總體均值小于50）。計算$z$統(tǒng)計量：$$z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{σ/\sqrt{n}}=\frac{49.8-50}{2/10}=-1$$拒絕域為$z\leq-z_{\alpha}=-1.645$（$\alpha=0.05$），因為$-1>-1.645$，故不拒絕原假設(shè)，沒有理由認(rèn)為總體均值小于50。答案（1）$(49.41,50.19)$；（2）沒有理由。17.統(tǒng)計圖表（直方圖與概率）（15分）某學(xué)校為了了解學(xué)生的睡眠情況，隨機抽取了100名學(xué)生，記錄其每天的睡眠時間，得到頻率分布直方圖如下：（注：直方圖各組區(qū)間為$[6,7),[7,8),[8,9),[9,10),[10,11]$，對應(yīng)頻率分別為0.1,0.2,0.4,0.2,0.1）（1）求樣本中位數(shù)；（2）求樣本平均數(shù)；（3）若睡眠時間不少于8小時為“充足”，從樣本中隨機抽取2名學(xué)生，求至少1名學(xué)生睡眠充足的概率。解析（1）中位數(shù)是累計頻率達到0.5的位置：前兩組累計頻率$0.1+0.2=0.3<0.5$，前三組累計頻率$0.3+0.4=0.7>0.5$，故中位數(shù)在第三組$[8,9)$內(nèi)。設(shè)中位數(shù)為$m$，則：$$0.3+(m-8)\times0.4=0.5$$解得$m=8+\frac{0.2}{0.4}=8.5$（小時）。（2）樣本平均數(shù)為各組中點值乘以頻率之和：$$6.5×0.1+7.5×0.2+8.5×0.4+9.5×0.2+10.5×0.1=0.65+1.5+3.4+1.9+1.05=8.5$（小時）。（3）睡眠充足的學(xué)生比例為$0.4+0.2+0.1=0.7$，即70人；睡眠不足的學(xué)生30人。從100名學(xué)生中抽取2名，至少1名睡眠充足的概率，用補集思想：$$P=1-P(\text{兩名都不足})=1-\frac{\text{C}_{30}^2}{\text{C}_{100}^2}=1-\frac{30×29}{100×99}=1-\frac{870}{9900}=1-\frac{29}{330}=\frac{301}{330}\approx0.912$$答案（1）8.5小時；（2）8.5小時；（3）$\frac{301}{330}$。18.綜合題（概率與統(tǒng)計）（15分）某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，產(chǎn)品A的次品率為0.1，產(chǎn)品B的次品率為0.2?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機抽取1件產(chǎn)品，已知抽到的是次品，求該次品來自產(chǎn)品A的概率（假設(shè)產(chǎn)品A和B的產(chǎn)量比為3:2）。解析設(shè)事件$A$表示“抽到產(chǎn)品A”，事件$B$表示“抽到產(chǎn)品B”，事件$C$表示“抽到次品”。根據(jù)題意，$P(A)=\frac{3}{5}$，$P(B)=\frac{2}{5}$，$P(C|A)=0.1$，$P(C|B)=0.2$。由全概率公式，$P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=\frac{3}{5}×0.1+\frac{2}{5}×0.2=0.06+0.08=0.14$。由貝葉斯公式，$P(A|C)=\frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}=\frac{\frac{3}{5}×0.1}{0.14}=\frac{0.06}{0.14}=\frac{3}{7}\approx0.4286$。