高等數(shù)學(xué)換元積分法專題習(xí)題集引言換元積分法是不定積分的核心方法之一，其本質(zhì)是通過變量替換將復(fù)雜積分轉(zhuǎn)化為基本積分公式可解的形式。它分為第一類換元法（湊微分法）和第二類換元法（變量替換法），前者是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆運(yùn)算，后者通過主動(dòng)替換變量簡化被積函數(shù)（如去掉根號、降低分母次數(shù)）。掌握換元積分法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)積分部分的關(guān)鍵，也是考研、競賽的高頻考點(diǎn)。本習(xí)題集圍繞兩類換元法展開，分題型訓(xùn)練、重點(diǎn)突破，注重實(shí)用性與嚴(yán)謹(jǐn)性，旨在幫助讀者熟練掌握換元技巧，提升積分運(yùn)算能力。第一節(jié)第一類換元積分法（湊微分法）1.1知識(shí)點(diǎn)回顧原理：設(shè)\(f(u)\)具有原函數(shù)\(F(u)\)，\(u=\varphi(x)\)可導(dǎo)，則\[\intf(\varphi(x))\varphi'(x)dx=F(\varphi(x))+C\]核心：將被積表達(dá)式湊成\(f(\varphi(x))d\varphi(x)\)的形式，關(guān)鍵是識(shí)別“內(nèi)層函數(shù)”\(\varphi(x)\)及其微分\(d\varphi(x)\)。常見湊微分公式（部分）：\(dx=\frac{1}{a}d(ax+b)\)（\(a\neq0\)）\(x^ndx=\frac{1}{n+1}d(x^{n+1})\)（\(n\neq-1\)）\(\cosxdx=d(\sinx)\)，\(\sinxdx=-d(\cosx)\)\(e^xdx=d(e^x)\)，\(\frac{1}{x}dx=d(\ln|x|)\)\(\frac{1}{1+x^2}dx=d(\arctanx)\)，\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=d(\arcsinx)\)1.2題型分類訓(xùn)練1.2.1多項(xiàng)式型湊微分思路：針對被積函數(shù)為多項(xiàng)式復(fù)合函數(shù)（如\((ax+b)^n\)、\(\sin(ax+b)\)等），湊出\(d(ax+b)\)。例題：計(jì)算\(\int(2x+1)^3dx\)解：令\(u=2x+1\)，則\(du=2dx\)，即\(dx=\frac{1}{2}du\)，代入得\[\intu^3\cdot\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^4}{4}+C=\frac{(2x+1)^4}{8}+C\]習(xí)題1-1：\(\int(3x-2)^5dx\)習(xí)題1-2：\(\int\sin(4x+\frac{\pi}{3})dx\)習(xí)題1-3：\(\inte^{2x-1}dx\)1.2.2三角函數(shù)型湊微分思路：利用三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系湊微分（如\(\cosxdx=d(\sinx)\)、\(\sec^2xdx=d(\tanx)\)），常結(jié)合三角恒等式（如\(\sin^2x+\cos^2x=1\)、倍角公式）簡化。例題：計(jì)算\(\int\sin^2x\cosxdx\)解：令\(u=\sinx\)，則\(du=\cosxdx\)，代入得\[\intu^2du=\frac{u^3}{3}+C=\frac{\sin^3x}{3}+C\]例題：計(jì)算\(\int\cos^3xdx\)解：拆分為\(\int\cos^2x\cdot\cosxdx=\int(1-\sin^2x)d(\sinx)\)，令\(u=\sinx\)，得\[\int(1-u^2)du=u-\frac{u^3}{3}+C=\sinx-\frac{\sin^3x}{3}+C\]習(xí)題1-4：\(\int\tanx\sec^2xdx\)習(xí)題1-5：\(\int\sin^3xdx\)習(xí)題1-6：\(\int\cos2x\cos3xdx\)（提示：用積化和差公式）1.2.3指數(shù)對數(shù)型湊微分思路：針對\(e^x\)、\(\lnx\)相關(guān)函數(shù)，湊出\(d(e^x)\)或\(d(\lnx)\)。例題：計(jì)算\(\int\frac{e^x}{1+e^x}dx\)解：令\(u=1+e^x\)，則\(du=e^xdx\)，代入得\[\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C=\ln(1+e^x)+C\quad(\text{因}\1+e^x>0)\]例題：計(jì)算\(\int\frac{\lnx}{x}dx\)解：令\(u=\lnx\)，則\(du=\frac{1}{x}dx\)，代入得\[\intudu=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\lnx)^2}{2}+C\]習(xí)題1-7：\(\inte^x\cos(e^x)dx\)習(xí)題1-8：\(\int\frac{1}{x\lnx}dx\)習(xí)題1-9：\(\intxe^{x^2}dx\)1.2.4分式型湊微分思路：針對分式函數(shù)，通過湊微分將分子轉(zhuǎn)化為分母（或分母導(dǎo)數(shù)）的倍數(shù)，常見形式如\(\frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}\)（湊成\(d(\ln|\varphi(x)|)\)）、\(\frac{1}{a^2+x^2}\)（湊成\(d(\arctan\frac{x}{a})\)）。例題：計(jì)算\(\int\frac{x+1}{x^2+2x+5}dx\)解：觀察到分母導(dǎo)數(shù)為\(2x+2=2(x+1)\)，即分子\(x+1=\frac{1}{2}(2x+2)\)，故\[\int\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2+2x+5}d(x^2+2x+5)=\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5)+C\]例題：計(jì)算\(\int\frac{1}{x^2+4}dx\)解：配方為\(x^2+2^2\)，利用公式\(\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\)，得\[\int\frac{1}{x^2+2^2}dx=\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}+C\]習(xí)題1-10：\(\int\frac{2x-3}{x^2-3x+7}dx\)習(xí)題1-11：\(\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx\)習(xí)題1-12：\(\int\frac{1}{x^2-6x+10}dx\)（提示：配方）第二節(jié)第二類換元積分法2.1知識(shí)點(diǎn)回顧原理：設(shè)\(x=\psi(t)\)是單調(diào)、可導(dǎo)且\(\psi'(t)\neq0\)的函數(shù)，\(f(\psi(t))\psi'(t)\)具有原函數(shù)\(G(t)\)，則\[\intf(x)dx=G(\psi^{-1}(x))+C\]核心：通過變量替換\(x=\psi(t)\)簡化被積函數(shù)，常見目的包括：去掉根號（如\(\sqrt{a^2-x^2}\)、\(\sqrt{x^2+a^2}\)）；降低分母次數(shù)（如倒替換\(x=\frac{1}{t}\)）；轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)積分（如三角替換）。2.2常見替換類型2.2.1三角替換適用場景：被積函數(shù)含根號\(\sqrt{a^2-x^2}\)、\(\sqrt{x^2+a^2}\)、\(\sqrt{x^2-a^2}\)（\(a>0\)），替換規(guī)則如下：根號形式替換函數(shù)角度范圍根號化簡結(jié)果\(\sqrt{a^2-x^2}\)\(x=a\sint\)\(t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)\(a\cost\)\(\sqrt{x^2+a^2}\)\(x=a\tant\)\(t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)\(a\sect\)\(\sqrt{x^2-a^2}\)\(x=a\sect\)\(t\in(0,\frac{\pi}{2})\)（\(x>a\)）\(a\tant\)例題：計(jì)算\(\int\sqrt{a^2-x^2}dx\)（\(a>0\)）解：令\(x=a\sint\)，\(t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，則\(dx=a\costdt\)，\(\sqrt{a^2-x^2}=a\cost\)，代入得\[\inta\cost\cdota\costdt=a^2\int\cos^2tdt=a^2\int\frac{1+\cos2t}{2}dt=\frac{a^2}{2}\left(t+\frac{1}{2}\sin2t\right)+C\]回代\(t=\arcsin\frac{x}{a}\)，\(\sin2t=2\sint\cost=2\cdot\frac{x}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\)，得\[\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\]例題：計(jì)算\(\int\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx\)解：先配方，\(x^2+2x+5=(x+1)^2+2^2\)，令\(t=x+1\)，則\(dx=dt\)，積分變?yōu)閈[\int\frac{1}{\sqrt{t^2+2^2}}dt\]用三角替換\(t=2\tan\theta\)，\(\theta\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，則\(dt=2\sec^2\thetad\theta\)，\(\sqrt{t^2+4}=2\sec\theta\)，代入得\[\int\frac{1}{2\sec\theta}\cdot2\sec^2\thetad\theta=\int\sec\thetad\theta=\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C\]回代\(\tan\theta=\frac{t}{2}=\frac{x+1}{2}\)，\(\sec\theta=\frac{\sqrt{t^2+4}}{2}=\frac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2}\)，得\[\int\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx=\ln\left(\frac{x+1}{2}+\frac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2}\right)+C=\ln\left(x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right)+C'\quad(C'=C-\ln2)\]習(xí)題2-1：\(\intx^2\sqrt{1-x^2}dx\)習(xí)題2-2：\(\int\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}dx\)習(xí)題2-3：\(\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx\)（\(x>2\)）2.2.2根式替換適用場景：被積函數(shù)含根號\(\sqrt{ax+b}\)、\(\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}\)等，令根號為新變量\(t\)，消去根號。例題：計(jì)算\(\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx\)解：令\(t=\sqrt{x+1}\)，則\(t\geq0\)，\(x=t^2-1\)，\(dx=2tdt\)，代入得\[\int\frac{t^2-1}{t}\cdot2tdt=2\int(t^2-1)dt=2\left(\frac{t^3}{3}-t\right)+C=\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1}+C\]例題：計(jì)算\(\int\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx\)（\(x>1\)）解：令\(t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\)，則\(t>0\)，平方得\(t^2=\frac{x-1}{x+1}\)，解得\(x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)，\(dx=\frac{4t}{(1-t^2)^2}dt\)，代入得\[\intt\cdot\frac{4t}{(1-t^2)^2}dt=4\int\frac{t^2}{(1-t^2)^2}dt\]用分部積分法或分式拆分（略），最終結(jié)果為\[\ln|x+\sqrt{x^2-1}|-\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+C\quad(\text{回代后化簡})\]習(xí)題2-4：\(\int\frac{\sqrt{2x+1}}{x}dx\)（\(x>0\)）習(xí)題2-5：\(\intx\sqrt{3x-2}dx\)習(xí)題2-6：\(\int\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx\)（提示：令\(t=\sqrt[6]{x}\)）2.2.3倒替換適用場景：被積函數(shù)分母次數(shù)遠(yuǎn)高于分子次數(shù)（如\(\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)、\(\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}\)），令\(x=\frac{1}{t}\)，降低分母次數(shù)。例題：計(jì)算\(\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx\)（\(x>1\)）解：令\(x=\frac{1}{t}\)，則\(t>0\)，\(dx=-\frac{1}{t^2}dt\)，代入得\[\int\frac{1}{\frac{1}{t}\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}}\cdot(-\frac{1}{t^2})dt=\int\frac{1}{\frac{1}{t}\cdot\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}}\cdot(-\frac{1}{t^2})dt=\int-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=-\arcsint+C=-\arcsin\frac{1}{x}+C\]注：本題也可采用三角替換\(x=\sect\)，結(jié)果為\(\arcsecx+C\)，兩者等價(jià)（因\(\arcsecx=-\arcsin\frac{1}{x}+\frac{\pi}{2}\)，常數(shù)項(xiàng)合并）。習(xí)題2-7：\(\int\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx\)（\(x>0\)）習(xí)題2-8：\(\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx\)（\(x>1\)）第三節(jié)綜合提升練習(xí)習(xí)題3-1：\(\inte^{\sqrt{x}}dx\)（提示：先根式替換，再分部積分）習(xí)題3-2：\(\int\frac{\sinx\cosx}{1+\sin^4x}dx\)（提示：湊\(d(\sin^2x)\)）習(xí)題3-3：\(\int\frac{1}{1+e^x}dx\)（提示：分子分母同乘\(e^{-x}\)，湊\(d(e^{-x})\)）習(xí)題3-4：\(\int\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx\)（提示：令\(t=\sqrt{1+x^2}\)或\(x=\tant\)）習(xí)題3-5：\(\int\frac{1}{\sqrt{(x-1)(2-x)}}dx\)（提示：配方后用arcsin公式）第四節(jié)答案與詳細(xì)解析1.2題型分類訓(xùn)練答案1.2.1多項(xiàng)式型湊微分習(xí)題1-1：\(\frac{(3x-2)^6}{18}+C\)（令\(u=3x-2\)，\(du=3dx\)）習(xí)題1-2：\(-\frac{1}{4}\cos(4x+\frac{\pi}{3})+C\)（令\(u=4x+\frac{\pi}{3}\)，\(du=4dx\)）習(xí)題1-3：\(\frac{1}{2}e^{2x-1}+C\)（令\(u=2x-1\)，\(du=2dx\)）1.2.2三角函數(shù)型湊微分習(xí)題1-4：\(\frac{1}{2}\tan^2x+C\)（令\(u=\tanx\)，\(du=\sec^2xdx\)）習(xí)題1-5：\(-\cosx+\frac{1}{3}\cos^3x+C\)（拆為\(\sin^2x\sinx=(1-\cos^2x)\sinx\)，令\(u=\cosx\)）習(xí)題1-6：\(\frac{1}{10}\sin5x+\frac{1}{2}\sinx+C\)（積化和差：\(\cosA\cosB=\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\)）1.2.3指數(shù)對數(shù)型湊微分習(xí)題1-7：\(\sin(e^x)+C\)（令\(u=e^x\)，\(du=e^xdx\)）習(xí)題1-8：\(\ln|\lnx|+C\)（令\(u=\lnx\)，\(du=\frac{1}{x}dx\)）習(xí)題1-9：\(\frac{1}{2}e^{x^2}+C\)（令\(u=x^2\)，\(du=2xdx\)）1.2.4分式型湊微分習(xí)題1-10：\(\ln(x^2-3x+7)+C\)（分子為分母導(dǎo)數(shù)，湊\(d(x^2-3x+7)\)）習(xí)題1-11：\(\arcsin\frac{x}{2}+C\)（公式\(\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C\)）習(xí)題1-12：\(\arctan(x-3)+C\)（配方為\((x-3)^2+1\)，用\(\arctan\)公式）2.2常見替換類型答案2.2.1三角替換習(xí)題2-1：\(\frac{1}{8}\arcsinx-\frac{1}{8}x\sqrt{1-x^2}(1-2x^2)+C\)（令\(x=\sint\)，展開\(\sin^2t\cos^2t=\frac{1}{4}\sin^22t\)，用降冪公式）習(xí)題2-2：\(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C\)（令\(x=\tant\)，\(dx=\sec^2tdt\)，積分變?yōu)閈(\int\costdt=\sint+C\)，回代\(\sint=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)）習(xí)題2-3：\(\sqrt{x^2-4}-2\arctan\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}+C\)（令\(x=2\sect\)，\(dx=2\sect\tantdt\)，積分變?yōu)閈(\int2\tan^2tdt=2\int(\sec^2t-1)dt=2\tant-2t+C\)，回代）2.2.2根式替換習(xí)題2-4：\(2\sqrt{2x+1}+\ln\left|\frac{\sqrt{2x+1}-1}{\sqrt{2x+1}+1}\right|+C\)（令\(t=\sqrt{2x+1}\)，\(x=\frac{t^2-1}{2}\)，\(dx=tdt\)，積分變?yōu)閈(\int\frac{t\cdott}{\frac{t^2-1}{2}}dt=2\int\frac{t^2}{t^2-1}dt=2\int(1+\frac{1}{t^2-1})dt\)，拆分后積分）習(xí)題2-5：\(\frac{2}{135}(3x-2)^{3/2}(9x+4)+C\)（令\(t=\sqrt{3x-2}\)，\(x=\frac{t^2+2}{3}\)，\(dx=\frac{2t}{3}dt\)，積分變?yōu)閈(\int\frac{t^2+2}{3}\cdott\cdot\frac{2t}{3}dt=\frac{2}{9}\int(t^4+2t^2)dt\)）習(xí)題2-6：\(2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln(\sqrt[6]{x}+1)+C\)（令\(t=\sqrt[6]{x}\)，\(x=t^6\)，\(dx=6t^5dt\)，積分變?yōu)閈(\int\frac{6t^5}{t^3+t^2}dt=6\int\frac{t^3}{t+1}dt=6\int(t^2-t+1-\frac{1}{t+1})dt\)）2.2.3倒替換習(xí)題2-7：\(-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C\)（令\(x=\frac{1}{t}\)，\(dx=-\frac{1}{t^2}dt\)，積分變?yōu)閈(\int\frac{1}{\frac{1}{t^2}\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}}\cdot(-\frac{1}{t^2})dt=-\int\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}dt=-\sqrt{t^2+1}+C=-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C\)）習(xí)題2-8：\(\frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x^3}+C\)（令\(x=\frac{1}{t}\)，\(dx=-\frac{1}{t^2}dt\)，積分變?yōu)閈(\int\frac{\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}}{\frac{1}{t^4}}\cdot(-\frac{1}{t^2})dt=-\intt\sqrt{1-t^2}dt=\frac{1}{3}(1-t^2)^{3/2}+C=\frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x^3}+C\)）第三節(jié)綜合提升練習(xí)答案習(xí)題3-1：\(2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+C\)（令\(t=\sqrt{x}\)，\(x=t^2\)，\(dx=2tdt\)，積分變?yōu)閈(2\intte^tdt=2(te^t-e^t)+C\)）習(xí)題3-2：\(\fra