第三章數(shù)學

大一輪復習§3.3導數(shù)與函數(shù)的極值、最值202X/01/01匯報人：1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.掌握利用導數(shù)研究函數(shù)最值的方法.4.會用導數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.課標要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型目錄01內(nèi)容索引02課時精練落實主干知識01單擊此處添加章節(jié)副標題1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點處的函數(shù)值都小，f'(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)

，右側(cè)

，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點處的函數(shù)值都大，f'(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)

，右側(cè)

，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為

，極小值和極大值統(tǒng)稱為

.f'(x)<0f'(x)>0f'(x)>0f'(x)<0極值點極值2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的

；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.連續(xù)不斷極值端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有.(

)(2)函數(shù)的極小值一定小于函數(shù)的極大值.(

)(3)函數(shù)的極小值一定是函數(shù)的最小值.(

)(4)函數(shù)的極大值一定不是函數(shù)的最小值.(

)×√×√2.(多選)如圖是函數(shù)f(x)的導函數(shù)y＝f'(x)的圖象，則下列說法正確的是A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，5)上單調(diào)遞減B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(4，5)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)在x＝3處取得極大值D.函數(shù)f(x)在x＝4處取得極小值√√由圖象可知，當x∈(3，5)時，f'(x)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，5)上單調(diào)遞減，故A正確，B錯誤；由圖象可知，f'(3)＝0，且當x∈(0，3)時，f'(x)>0，當x∈(3，5)時，f'(x)<0，所以f(x)在(0，3)上單調(diào)遞增，在(3，5)上單調(diào)遞減，故函數(shù)y＝f(x)在x＝3處取得極大值，故C正確；由圖象可知，f'(4)≠0，故4不是函數(shù)f(x)的極值點，故D錯誤.

18

4.若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋2x－1有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是

.

解題時靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化以下幾個關(guān)鍵點(1)極值點不是點，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點，極大值為f(x1).(2)極值是個“局部”概念，最值是個“整體”概念.(3)有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).(4)“f'(x0)＝0”是“x0為可導函數(shù)f(x)的極值點”的必要不充分條件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是極值點.(5)對于一般函數(shù)而言，函數(shù)的最值必在下列各點中取得：導數(shù)為零的點、導數(shù)不存在的點、端點.返回微點提醒探究核心題型02單擊此處添加章節(jié)副標題命題點1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值題型一例1

(多選)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f'(x)，且函數(shù)g(x)＝xf'(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A.f(x)有兩個極值點B.f(0)為f(x)的極大值C.f(x)有兩個極小值點D.f(－1)為f(x)的極小值√√利用導數(shù)求解函數(shù)極值問題根據(jù)g(x)＝xf'(x)的圖象，可得當x<－2時，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減，當－2<x<0時，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，當0<x<1時，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減，當x>1時，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，因此f(x)在x＝－2和x＝1處取得極小值，在x＝0處取得極大值，共3個極值點，A錯誤，C正確；f(0)為f(x)的極大值，B正確；f(－1)不是f(x)的極小值，D錯誤.命題點2求已知函數(shù)的極值例2

(2025·沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝2lnx－2(a－1)x－ax2(a>0)，討論f(x)的極值.

例3

(1)(2024·肇慶模擬)若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝－2處取極小值，則c等于A.－6 B.－2C.－6或－2 D.－4√命題點3已知極值(點)求參數(shù)

所以f(x)在x＝－2處取極大值，不符合題意，舍去；當c＝－6時，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6<x<－2，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－6)上單調(diào)遞增，在(－6，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝－2處取極小值，符合題意，綜上可得，c＝－6.

根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)驗證：求解后驗證根的合理性.思維升華跟蹤訓練1

(1)已知函數(shù)f(x)＝aex＋bx在x＝0處取得極小值1，則f'(2)等于A.e2－2 B.2－e2C.e2－1 D.e2√

√

命題點1不含參函數(shù)的最值題型二

√利用導數(shù)求函數(shù)的最值

命題點2含參函數(shù)的最值

求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導函數(shù)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.思維升華

π

√

三次函數(shù)是一類重要的函數(shù)，其規(guī)律性強，內(nèi)容相對獨立，且有一些獨有的結(jié)論和技巧.如果能得當運用三次函數(shù)的有關(guān)結(jié)論，可以大大簡化解題過程.微拓展三次函數(shù)的性質(zhì)

√√√

返回課時精練03單擊此處添加章節(jié)副標題答案1234567891011121314題號12345678答案ABDBBAADBCD題號91013

14答案(2，+∞)C[－ln2，＋∞)

對一對答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314(1)當a=1時，則f(x)=ex-x-1，f'(x)=ex-1，可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，即切點坐標為(1，e-2)，切線斜率k=e-1，所以切線方程為y-(e-2)=(e-1)(x-1)，即(e-1)x-y-1=0.12.答案1234567891011121314(2)方法一因為f(x)的定義域為R，且f'(x)=ex-a，若a≤0，則f'(x)>0對任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna，令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(-∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，+∞)上單調(diào)遞增，12.答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314解得a>1，所以a的取值范圍為(1，+∞).方法二因為f(x)的定義域為R，且f'(x)=ex-a，若f(x)有極小值，則f'(x)=ex-a有零點，令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，可知y=ex與y=a有交點，則a>0，12.答案1234567891011121314令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(-∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)有極小值f(lna)=a-alna-a3，無極大值，符合題意，由題意可得，f(lna)=a-alna-a3<0，即a2+lna-1>0，令g(a)=a2+lna-1，a>0，因為y=a2，y=lna-1在(0，+∞)上均單調(diào)遞增，12.答案1234567891011121314所以g(a)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且g(1)=0，不等式a2+lna-1>0等價于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范圍為(1，+∞).12.

√1234567891011121314知識過關(guān)答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案2.(2024·楚雄模擬)已知定義域為[－3，5]的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x)，且f'(x)的圖象如圖所示，則A.f(x)在(－2，2)上先增后減B.f(x)有極小值f(2)C.f(x)有2個極值點D.f(x)在x＝－3處取得最大值√1234567891011121314答案由f'(x)的圖象可知，當x∈(－2，2)或x∈(4，5)時，f'(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，故A錯誤；當x∈(－3，－2)或x∈(2，4)時，f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，所以當x＝2時，f(x)有極小值f(2)，故B正確；由f'(x)的圖象結(jié)合單調(diào)性可知，當x＝－2，2，4時，f(x)有極值，所以f(x)有3個極值點，故C錯誤；當x∈(－3，－2)時，f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，所以f(－3)<f(－2)，f(x)在x＝－3處不取得最大值，故D錯誤.

√1234567891011121314

答案4.(2024·赤峰模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax有極值－e，則a等于A.1B.2 C.e D.3√1234567891011121314答案1234567891011121314由題目條件可得，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝lnx＋1－a.令f'(x)>0，得x>ea－1；令f'(x)<0，得0<x<ea－1.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，ea－1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ea－1，＋∞)上單調(diào)遞增.則函數(shù)f(x)的極小值點是ea－1，無極大值點，故f(ea－1)＝ea－1lnea－1－aea－1＝－e，解得a＝2.答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案二、多項選擇題7.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2，則A.f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減B.f(x)的極大值點為2C.f(x)的極大值為－2D.f(x)有2個零點1234567891011121314√答案√由函數(shù)f(x)＝x3－3x2，可得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2，所以函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，當x＝0時，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(0)＝0；當x＝2時，函數(shù)f(x)取得極小值，極小值為f(2)＝－4，又由x→＋∞時，f(x)→＋∞且f(2)＝－4<0，f(0)＝0，所以函數(shù)f(x)只有兩個零點，所以A，D正確，B，C不正確.1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案√√1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案(2，＋∞)1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案

1234567891011121314答案

(2)討論函數(shù)f(x)的極值.1234567891011121314答案1234567891011121314答案

12.(2024·新課標全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－a3.(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；1234567891011121314答案當a＝1時，則f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切點坐標為(1，e－2)，切線斜率k＝e－1，所以切線方程為y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.1234567891011121314答案1234567891011121314答案方法一因為f(x)的定義域為R，且f'(x)＝ex－a，若a≤0，則f'(x)>0對任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna，令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，1234567891011121314答案

1234567891011121314答案解得a>1，所以a的取值范圍為(1，＋∞).方法二因為f(x)的定義域為R，且f'(x)＝ex－a，若f(x)有極小值，則f'(x)＝ex－a有零點，令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，可知y＝ex與y＝a有交點，則a>0，1234567891011121314答案令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna