第三章數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)進(jìn)階篇不等式恒(能)成立問題202X/01/01匯報(bào)人：參數(shù)半分離與主元變換01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1

若不等式alnx－x＋1≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型一參數(shù)半分離

在半分離時，要調(diào)節(jié)參數(shù)a與x的位置，使f(x)與g(x)的作圖更方便，一般分為一條動直線與一條曲線.思維升華

題型二主元變換

當(dāng)0<x<2時，g'(x)<0，當(dāng)x>2時，g'(x)>0，所以g(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以c≤g(x)min＝g(2)＝－1－ln2，所以c的取值范圍為(－∞，－1－ln2].一些導(dǎo)數(shù)大題經(jīng)常會含有多個變量，主要解題思路是以x為主元進(jìn)行求解，但有時解題過程較為復(fù)雜，此時，有的題目就可以以其他變量為主元進(jìn)行求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝2ax＋bx－1－2lnx，對任意a∈[1，3]和任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥2bx－3恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

課時精練02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案12

1.答案12②當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=lna.當(dāng)x∈(-∞，lna)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(lna，+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1.設(shè)g(a)=a-alna-1(a>0)，則g'(a)=1-(lna+1)=-lna，當(dāng)0<a<1時，g'(a)>0，g(a)單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，g'(a)<0，g(a)單調(diào)遞減，1.答案12所以g(a)max=g(1)=0，故a=1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤0或a=1}.(2)方法一f(x)≤x2ex對x∈[0，+∞)恒成立，即(1-x2)ex≤ax+1對x∈[0，+∞)恒成立，即函數(shù)h(x)=(1-x2)ex的圖象恒在直線y=ax+1的下方，而h'(x)=(1-x2-2x)ex，h″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0)，所以函數(shù)h(x)是上凸函數(shù)，且在點(diǎn)(0，1)處的切線斜率k=h'(0)=1，1.答案12直線y=ax+1過定點(diǎn)(0，1)，斜率為a，故a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞).方法二f(x)≤x2ex對x∈[0，+∞)恒成立，即(1-x2)ex≤ax+1對x∈[0，+∞)恒成立，記h(x)=(1-x2)ex=(1+x)(1-x)ex.①當(dāng)a≥1時，設(shè)函數(shù)m(x)=(1-x)ex，則m'(x)=-xex≤0，1.答案12因此m(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減.又m(0)=1，故m(x)≤1，所以h(x)=(1+x)·m(x)≤1+x≤ax+1，故f(x)≥x2ex對x∈[0，+∞)恒成立.②當(dāng)a<1時，設(shè)函數(shù)n(x)=ex-x-1，則n'(x)=ex-1≥0，所以n(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，且n(0)=0，1.答案12

1.答案12

1.答案12

2.答案12

2.答案12

2.答案12

2.答案12

2.1.已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a∈R，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若f(x)在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍；12答案12答案

12答案當(dāng)x∈(lna，＋∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1.設(shè)g(a)＝a－alna－1(a>0)，則g'(a)＝1－(lna＋1)＝－lna，當(dāng)0<a<1時，g'(a)>0，g(a)單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，g'(a)<0，g(a)單調(diào)遞減，所以g(a)max＝g(1)＝0，故a＝1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤0或a＝1}.(2)若f(x)≤x2ex對x∈[0，＋∞)恒成立，求a的取值范圍.12答案12答案方法一f(x)≤x2ex對x∈[0，＋∞)恒成立，即(1－x2)ex≤ax＋1對x∈[0，＋∞)恒成立，即函數(shù)h(x)＝(1－x2)ex的圖象恒在直線y＝ax＋1的下方，而h'(x)＝(1－x2－2x)ex，h″(x)＝(－x2－4x－1)ex<0(x≥0)，所以函數(shù)h(x)是上凸函數(shù)，且在點(diǎn)(0，1)處的切線斜率k＝h'(0)＝1，直線y＝ax＋1過定點(diǎn)(0，1)，斜率為a，故a≥1，即a的取值范圍為[1，＋∞).12答案方法二f(x)≤x2ex對x∈[0，＋∞)恒成立，即(1－x2)ex≤ax＋1對x∈[0，＋∞)恒成立，記h(x)＝(1－x2)ex＝(1＋x)(1－x)ex.①當(dāng)a≥1時，設(shè)函數(shù)m(x)＝(1－x)ex，則m'(x)＝－xex≤0，因此m(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減.又m(0)＝1，故m(x)≤1，所以h(x)＝(1＋x)·m(x)≤1＋x≤ax＋1，故f(x)≥x2ex對x∈[