第1頁(yè)/共1頁(yè)十堰市普通高中教學(xué)聯(lián)合體2024-2025學(xué)年下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，位于第四象限．故選：D2.若向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，即，C正確，D錯(cuò)誤，取，可得，，此時(shí)，但，，A，B錯(cuò)誤，故選：C3.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理，所以，，則.故選：C4.如圖所示，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（）A.面積為的矩形 B.面積為的矩形C.面積為的菱形 D.面積為的菱形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用斜二測(cè)畫法判斷原圖形的形狀，即可求出其面積.【詳解】，所以，故在原圖中，，，所以四邊形為菱形(如圖所示)，，則原圖形面積為.故選：C.5.“今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五中“商功”中的問(wèn)題．意思為“現(xiàn)有城（如圖，等腰梯形的直棱柱體），下底長(zhǎng)4丈，上底長(zhǎng)2丈，高5丈，縱長(zhǎng)126丈5尺（1丈=10尺）”，則該問(wèn)題中“城”的體積等于（）A.立方尺 B.立方尺C立方尺 D.立方尺【答案】A【解析】【分析】求出棱柱底邊梯形的面積，利用棱柱的體積公式即可求解.【詳解】（立方尺），故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了棱柱的體積公式，需熟記柱體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.6.下列命題中正確的是（）A.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行B.平面內(nèi)有不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C到平面的距離相等，則C.，，則D.，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判斷和性質(zhì)理解辨析.【詳解】對(duì)于A：若一條直線與一個(gè)平面平行，這條直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，但不是任意一條，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由題意可得：或與相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：根據(jù)題意可得：或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：∵，則，使得，則∴∴，D正確；故選：D.7.棱長(zhǎng)為的正四面體，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A.正四面體的體積是 B.正四面體外接球半徑是C.正四面體內(nèi)切球的半徑是 D.正四面體表面積是【答案】A【解析】【分析】C選項(xiàng)，由體積法求內(nèi)切球半徑；D選項(xiàng)，正四面體的表面積等于其四個(gè)面的面積之和，且每一個(gè)面都是正三角形，利用正三角形的面積公式求解即可；A選項(xiàng)，由底面積和高求四面體的體積；B選項(xiàng)、將正四面體，補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體的面上對(duì)角線，根據(jù)正四面體外接球求出外接球的半徑的即可．【詳解】正四面體的各棱長(zhǎng)為，表面積等于其四個(gè)面的面積之和，且每一個(gè)面都是正三角形，所以正四面體的表面積．故D選項(xiàng)正確；如圖，為中點(diǎn)，設(shè)在底面的投影為，為的中心，

正四面體各棱長(zhǎng)為，則，，，四面體的體積為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；正四面體的表面積為，體積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為r，則有，即，解可得，C選項(xiàng)正確；將正四面體，補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體的面上對(duì)角線，∵正四面體的棱長(zhǎng)為，正方體的棱長(zhǎng)為，正四面體的外接球，就是以正四面體的棱為面對(duì)角線的正方體的外接球，球的直徑就是正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，所以正方體的對(duì)角線為，，．故B選項(xiàng)正確．故選：A．8.已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問(wèn)題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.z的虛部為 C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)求出復(fù)數(shù)即可.【詳解】得，則z的虛部為，，，故AD正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD.10.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，設(shè)圓柱、圓錐、球的表面積分別為，體積分別為，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為 B.圓錐的側(cè)面積為C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)球，圓柱，圓錐的表面積及體積公式計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】依題意球的表面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以A選項(xiàng)正確.圓錐側(cè)面積為，所以B選項(xiàng)正確.圓錐的表面積為，圓柱的表面積為，所以，D選項(xiàng)不正確.圓柱體積，圓錐體積，球的體積，所以C正確.故選：ABC11.如圖所示，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列滿足平面ABC的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理或面面平行的性質(zhì)定理，即可得解．【詳解】解：對(duì)于A，如圖所示，點(diǎn)，為正方體兩個(gè)頂點(diǎn)，則，所以、、、四點(diǎn)共面，同理可證，即、、、四點(diǎn)共面，平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖所示，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則，，平面，平面，所以平面，同理可證平面又，、平面，平面平面，又平面，平面，故B正確；選項(xiàng)C，如圖所示，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則平面平面，平面，平面，故C正確；對(duì)于D，連接，則，，，，四點(diǎn)共面，平面，與平面相矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：BC．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.13.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為的扇形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積與表面積的比是__________．【答案】【解析】【分析】利用扇形弧長(zhǎng)公式，即可求出底面圓半徑，再分別算出圓錐表面積與側(cè)面積即可得到比值.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面展開圖扇形的半徑為，由題意可得，，圓錐的側(cè)面積為，圓錐的表面積，故故答案為：14.如圖，底面是平行四邊形的四棱錐中，，，且，若平面，則______.【答案】【解析】【分析】取棱PC上的點(diǎn)F，使，取棱PD上的點(diǎn)M使，連接BD．設(shè)BD∩AC＝O．結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理及面面平行的判定定理可得平面BMF∥平面AEC，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到BF∥平面AEC．【詳解】存在點(diǎn)F滿足使BF∥平面AEC理由如下：取棱PC上的點(diǎn)F，使，取棱PD上的點(diǎn)M使，則E為MD中點(diǎn)，連接BD．設(shè)BD∩AC＝O．連接BM，OE．∵=,F為PC的中點(diǎn)，E是MD的中點(diǎn)，∴MF∥EC，BM∥OE．∵M(jìn)F?平面AEC，CE?平面AEC，BM?平面AEC，OE?平面AEC，∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC．∵M(jìn)F∩BM＝M，∴平面BMF∥平面AEC．又BF?平面BMF，∴BF∥平面AEC．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，關(guān)鍵是證得平面BMF∥平面AEC．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）計(jì)算：；（2）已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和乘方運(yùn)算，結(jié)合的冪運(yùn)算的周期性可求得結(jié)果；（2）設(shè)且，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的知識(shí)求出，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】（1）.（2）令且，則，所以，則，可得，所以，則.16.已知，，且與的夾角為60°.（1）求的值（2）求的值；（3）若向量與平行，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）60（2）（3）【解析】【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則及向量模的計(jì)算式求值即可；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，運(yùn)算法則及向量模的計(jì)算式求值即可；（3）由平面向量共線定理及平面向量基本定理列出方程組求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，且與的夾角為60°，所以，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，由平面向量基本定理可得，解得或，所以的值為.17.在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，可求得，即可求出角；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和三角形面積公式可求得，由余弦定理有，據(jù)此可求出，從而可得到的周長(zhǎng).【詳解】由，利用正弦定理得，因?yàn)?，所?又因?yàn)闉殇J角，所以.（2）由，所以，又，即，則，即.又，所以.所以的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍．18.如圖，在三棱臺(tái)中，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若三棱錐的體積為1，求三棱臺(tái)的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形，得出，即可得證．（2）根據(jù)棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉槿馀_(tái)，，所以，又為的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】設(shè)的面積為，則由題意知的面積為，的面積為，設(shè)三棱臺(tái)的高為，則，所以．19.如圖，已知P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是的三等分點(diǎn)（M靠近B，N靠近C）；（1）求證：平面．（2）在上確定一點(diǎn)Q，使平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，證得證得四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解；（2）取取