北師大版9年級數(shù)學(xué)上冊期中試卷考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題20分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，兩個轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動一次（當(dāng)指針恰好指在分界線上時重轉(zhuǎn)），當(dāng)停止轉(zhuǎn)動時，兩個轉(zhuǎn)盤的指針都指向3的概率為（

）A． B． C． D．2、如圖，在中，，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當(dāng)?shù)拿娣e為時，則點P運動的時間是（

）A． B．或 C． D．3、如圖1，點Q為菱形ABCD的邊BC上一點，將菱形ABCD沿直線AQ翻折，點B的對應(yīng)點P落在BC的延長線上.已知動點M從點B出發(fā)，在射線BC上以每秒1個單位長度運動.設(shè)點M運動的時間為x，△APM的面積為y．圖2為y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則菱形ABCD的面積為（

）A．12 B．24 C．10 D．204、《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何.”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若設(shè)門的寬為x寸，則下列方程中，符合題意的是（）A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝10025、一元二次方程配方后可化為（

）A． B．C． D．6、如圖，在矩形中，，，是矩形的對稱中心，點、分別在邊、上，連接、，若，則的值為（

）A． B． C． D．7、關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）ABCD兩邊同時除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝＝2±整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移項得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D二、多選題（3小題，每小題2分，共計6分）1、如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，不能添加的條件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD2、如果，是一元二次方程的兩個根，那么的值是（

），的值是（

）A． B．4 C． D．23、下列命題中的真命題是（

）A．矩形的對角線相等 B．對角線相等的四邊形是矩形C．菱形的對角線互相垂直平分 D．對角線互相垂直的四邊形是菱形第Ⅱ卷（非選擇題80分）三、填空題（10小題，每小題2分，共計20分）1、如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且EF＝4，點G是EF的中點，AG、CG，則四邊形AGCD面積的最小值為_______．2、對任意實數(shù)a，b，定義一種運算：，若，則x的值為_________．3、已知菱形的周長為40，兩個相鄰角度數(shù)之比為1∶2，則較長對角線的長為______．4、從2、6、9三個數(shù)字中任選兩個，用這兩個數(shù)字分別作為十位數(shù)和個位數(shù)組成一個兩位數(shù)，在所有得到的兩位數(shù)中隨機抽取一個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)是4的倍數(shù)的概率是____．5、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，點P在邊AC上，以2cm/s的速度從點A向點C移動，點Q在邊CB上，以1cm/s的速度從點C向點B移動．點P、Q同時出發(fā)，且當(dāng)一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，當(dāng)△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是_____秒．6、如圖，直角三角形ABC中，AC＝1，BC＝2，P為斜邊AB上一動點．PE⊥BC，PF⊥CA，則線段EF長的最小值為_________．7、社團課上，同學(xué)們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里裝有幾十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程．整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象如圖所示，經(jīng)分析可以推斷盒子里個數(shù)比較多的是___________（填“黑球”或“白球”）．8、若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．9、邊長分別為a和2a的兩個正方形按如圖的樣式擺放，則圖中陰影部分的面積為_____．10、如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝12，AD＝5，P為DC邊上的動點（點P不與點D，C重合），將紙片沿AP折疊（1）當(dāng)四邊形ADPD′是正方形時，CD′的長為___．（2）當(dāng)CD′的長最小時，PC的長為___．四、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程的兩根都為整數(shù)，求正整數(shù)的值．2、如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一動點，連接PE，PB．(1)在AC上找一點P，使△BPE的周長最小（作圖說明）；(2)求出△BPE周長的最小值．3、用指定方法解下列方程：(1)2x2-5x+1＝0(公式法)；(2)x2-8x+1＝0(配方法)．4、如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果點P，Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間(0<t<6)，那么當(dāng)t為何值時，△QAP的面積等于8cm2?5、如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點，且DE=BF，AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．6、已知：如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，當(dāng)其中一點到達終點后，另外一點也隨之停止運動．（1）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于7cm2？請說明理由．-參考答案-一、單選題1、A【解析】【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結(jié)果與都指向3的情況數(shù)，繼而求得答案．【詳解】解：列表如下：12341234共有16種等可能的結(jié)果，兩個轉(zhuǎn)盤的指針都指向3的只有1種結(jié)果，兩個轉(zhuǎn)盤的指針都指向3的概率為，故選：A．【考點】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2、A【解析】【分析】設(shè)出動點P，Q運動t秒，能使的面積為，用t分別表示出BP和BQ的長，利用三角形的面積計算公式即可解答．【詳解】解：設(shè)動點P，Q運動t秒，能使的面積為，則BP為(8-t)cm，BQ為2tcm，由三角形的面積公式列方程得(8-t)×2t=15，解得t1=3，t2=5（當(dāng)t2=5，BQ=10，不合題意，舍去）∴動點P，Q運動3秒，能使的面積為．故選A．【考點】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題．3、D【解析】【分析】由圖2，可知BP=6，S△ABP=12，由圖1翻折可知，AQ⊥BP，進而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形ABCD的面積為BC×AQ即可求出.【詳解】解：由圖2，得BP=6，S△ABP=12∴AQ=4由翻折可知，AQ⊥BP由勾股定理，得BC=AB==5∴菱形ABCD的面積為BC×AQ=5×4=20故選：D【考點】本題是一道幾何變換綜合題，解決本題主要用到勾股定理，翻折的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象找出幾何圖形中的對應(yīng)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.4、D【解析】【分析】1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，設(shè)門的寬為x寸，則門的高度為（x+68）寸，利用勾股定理及門的對角線長1丈（100寸），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.【詳解】解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸.設(shè)門的寬為x寸，則門的高度為（x+68）寸，依題意得：x2+（x+68）2＝1002.故選：D.【考點】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、由實際問題抽象出一元二次方程，準確計算是解題的關(guān)鍵．5、B【解析】【分析】根據(jù)題意直接對一元二次方程配方，然后把常數(shù)項移到等號右邊即可．【詳解】解：根據(jù)題意，把一元二次方程配方得：，即，∴化成的形式為．故選：B．【考點】本題考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步驟：把常數(shù)項移到等號的右邊；把二次項的系數(shù)化為1；等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．6、D【解析】【分析】連接AC，BD，過點O作于點，交于點，利用勾股定理求得的長即可解題．【詳解】解：如圖，連接AC，BD，過點O作于點，交于點，四邊形ABCD是矩形，同理可得故選：D．【考點】本題考查中心對稱、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．7、D【解析】【分析】A.不能兩邊同時除以（x﹣1），會漏根；B.化為一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【詳解】解：A.不能兩邊同時除以（x﹣1），會漏根，故A錯誤；B.化為一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B錯誤；C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C錯誤；D.利用因式分解法解答，完全正確，故選：D【考點】本題考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．二、多選題1、ABC【解析】【分析】根據(jù)題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后利用矩形的判定定理，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD的對角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，故A、B符合題意；若AB＝BC，可得到四邊形ABCD是菱形，故C符合題意；若AC＝BD，可得到四邊形ABCD是矩形，故D不符合題意；故選ABC．【考點】本題主要考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2、AB【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)一元二次方程的根的定義可得，由此即可得出答案．【詳解】解：、是一元二次方程的兩個根，，∵是一元二次方程的根，∴，∴，∴，，故選：AB．【考點】本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及方程的根的定義，即，是一元二次方程的兩根時，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3、AC【解析】【分析】根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)即可進行判斷．【詳解】解：A、矩形的對角線相等，是真命題，符合題意；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，是假命題，不符合題意；C、菱形的對角線互相垂直平分，是真命題，符合題意；D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，是假命題，不符合題意；故選AC．【考點】本題考查了，矩形的判定，菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的定理．三、填空題1、38【解析】【分析】根據(jù)題目要求，要使四邊形AGCD的面積最小，因為的面積固定，只需使的面積最小即可，即的高最小即可，又在中，，則BG=2，高的最小值為點B到AC的距離減去BG的長度，則可求解．【詳解】依題意，在中，為EF的中點，，，點G在以B為圓心，2為半徑的圓與長方形重合的弧上運動，,要使四邊形AGCD的面積最小，則B所在直線垂直線段AC，又，點B到AC的距離為，此時點G到AC的距離為，故的最小面積為，，故答案為：38．【考點】本題考查了動點問題中四邊形的最小面積問題，利用勾股定理，直角三角形中線的性質(zhì)，三角形等積法求高等性質(zhì)定理進行求解，對于相關(guān)性質(zhì)定理的熟練運用是解題的關(guān)鍵．2、2或-3##-3或2【解析】【分析】根據(jù)題意得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得或，故答案為：2或-3．【考點】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，解一元二次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．3、【解析】【分析】根據(jù)已知可求得菱形的邊長及其兩內(nèi)角的度數(shù)，證得是等邊三角形求得AC的長，再根據(jù)勾股定理求得OB的長，進而可得BD的長，即可得到答案．【詳解】解：如圖，四邊形ABCD是菱形，連接AC、BD交于點O．∵兩個相鄰角度數(shù)之比為1∶2∴∵四邊形ABCD是菱形∴，∴是等邊三角形∴∴∴在中，∴，BD即為最長的對角線．故答案為：．【考點】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理應(yīng)用以及菱形性質(zhì)的綜合應(yīng)用．熟練掌握菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵．4、【解析】【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，在所有得到的兩位數(shù)中隨機抽取一個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)是4的倍數(shù)的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結(jié)果，在所有得到的兩位數(shù)中隨機抽取一個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)是4的倍數(shù)的結(jié)果有2種，∴在所有得到的兩位數(shù)中隨機抽取一個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)是4的倍數(shù)的概率為=，故答案為：．【考點】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5、1【解析】【分析】設(shè)P、Q運動的時間是秒，根據(jù)已知條件得到cm，cm，則cm，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)P、Q運動的時間是秒，則cm，cm，cm∵△PQC的面積為3cm2，∴，即，解得或（不合題意，舍去），∴當(dāng)△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是1秒．故答案為：1【考點】本題考查了一元二次方程應(yīng)用——動點問題，三角形的面積，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．6、．【解析】【分析】先連接PC，判定四邊形ECFP是矩形，得到EF=PC，再根據(jù)當(dāng)PC最小時，EF也最小，根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)CP⊥AB時，PC最小，最后根據(jù)面積法，求得CP的長即可得到線段EF長的最小值．【詳解】解：連接PC，∵PE⊥BC，PF⊥CA，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴當(dāng)PC最小時，EF也最小，∵垂線段最短，∴當(dāng)CP⊥AB時，PC最小，∵AC=1，BC=2，∴AB=，又∵當(dāng)CP⊥AB時，×AC×BC=×AB×CP，∴．∴線段EF長的最小值為．故答案為：．【考點】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及垂線段最短的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是運用矩形對角線相等的性質(zhì)進行求解．7、白球【解析】【分析】利用頻率估計概率的知識，確定摸出黑球的概率，由此得到答案．【詳解】解：由圖可知：摸出黑球的頻率是0.2，根據(jù)頻率估計概率的知識可得，摸一次摸到黑球的概率為0.2，∴可以推斷盒子里個數(shù)比較多的是白球，故答案為：白球．【考點】此題考查利用頻率估計概率，正確理解圖象的意義是解題的關(guān)鍵．8、2028【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）計算可得．【詳解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，則原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案為：2028．【考點】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．9、2a2【解析】【分析】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積＝大正方形的面積的+小正方形的面積﹣直角三角形的面積．【詳解】解：陰影部分的面積＝大正方形的面積+小正方形的面積﹣直角三角形的面積＝（2a）2+a2﹣?2a?3a＝4a2+a2﹣3a2＝2a2．故答案為：2a2．【考點】本題考查正方形中不規(guī)則圖形面積的求法，解題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，通過規(guī)則圖形進行求解．10、

【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形是正方形，得到從而得到再利用勾股定理求解即可得到答案；（2）如圖：連接，運用矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出的最小值，再設(shè)，則，最后在中運用勾股定理解答即可【詳解】解：（1）如圖所示，∵四邊形是正方形∴∵∴∵四邊形ABCD是矩形∴，∠B=90°∴（2）如圖：連接，當(dāng)點在上時，有最小值．∵四邊形是矩形，，，∴，，∴．由折疊性質(zhì)，得，，∴的最小值．設(shè)，則．在中，，即，解得，∴的長為．故答案為：．【考點】本題主要考查矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)確定的最小值成為解答本題的關(guān)鍵．四、解答題1、（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接運用一元二次方程根的判別式列不等式解答即可；（2）先運用求根公式求解，然后根據(jù)根為整數(shù)以及二次根式有意義的條件列式解答即可．【詳解】解：（1）∵關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，∴，解得，；（2）由題意得，，∵為整數(shù)，且為正整數(shù)，∴或，又∵∴．【考點】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、運用公式法解一元二次方程等知識點，靈活運用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．2、(1)見解析(2)12【解析】【分析】（1）連接DE，交AC于點P′，連接BP′，當(dāng)點P在點P′處時，△BPE的周長最小．理由：證明△ABP′≌△ADP′，即可求解；（2）根據(jù)（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．從而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解．(1)解：如圖，連接DE，交AC于點P′，連接BP′，當(dāng)點P在點P′處時，△BPE的周長最小．理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∵AP′=AP′，∴△ABP′≌△ADP′，∴BP′=DP′，∴BP+PE=DP′+P′E≥DE，即當(dāng)點P位于PP′時，△BPE的周長PB+EP+BE最?。?2)解：由（1）得：BP′=DP′，∴P′B＋P′E＝DE．∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6．∴AD＝AB＝8．∴DE＝＝10．∴PB＋PE的最小值是10．∴△BPE周長的最小值為10＋BE＝10＋2＝12．【考點】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，最短距離，全等三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．3、(1)x1＝，x2＝(2)x1＝4+，x2＝4-【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法，可得方程的解；（2）根據(jù)配方法，可得方程的解．(1)解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝．(2)解：移項得，并配方，得，即(x-4)2＝15，兩邊開平方，得x＝4±，∴x1＝4+，x2＝4-．【考點】本題考