第2課時(shí)利用完全平方公式分解因式教學(xué)目標(biāo)課題14.3.2第2課時(shí)利用完全平方公式分解因式授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解完全平方公式進(jìn)行因式分解的意義，掌握公式的特點(diǎn).2.能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力. 3.經(jīng)歷探索利用完全平方公式進(jìn)行因式分解的推導(dǎo)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的逆向思維，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的完整性.教學(xué)重點(diǎn)利用完全平方公式分解因式．教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用公式法分解因式.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：復(fù)習(xí)導(dǎo)入，引出新課設(shè)計(jì)意圖通過(guò)復(fù)習(xí)前面所學(xué)的利用平方差公式分解因式，引出不能用此法分解的式子，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索欲，從而引出新課.【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用平方差公式分解因式，同學(xué)們能用所學(xué)的知識(shí)完成下面的題目嗎？分解因式：(1)－9x2＋4y2；(2)(x＋3y)2－(x－3y)2；(3)eq\f(9,49)x2－0.01y2；(4)81a4－16.那我們?cè)賮?lái)看兩個(gè)題.(1)m2－8mn＋16n2；(2)m2＋8mn＋16n2.大家試一試！看看用前面所學(xué)的方法能將它們分解因式嗎？我們發(fā)現(xiàn)不能，那怎么才能將它們分解因式呢？這就是我們今天這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容！【教學(xué)建議】對(duì)于練習(xí)部分，先讓學(xué)生獨(dú)立演算，之后與同桌互相訂正，教師最后集體訂正．并強(qiáng)調(diào)分解因式需要分解到不能分解為止.活動(dòng)二：實(shí)踐探究，獲取新知設(shè)計(jì)意圖根據(jù)前面學(xué)習(xí)利用平方差公式分解因式的經(jīng)驗(yàn)，慢慢構(gòu)建利用完全平方公式分解因式的新知，增強(qiáng)學(xué)生的自信心．通過(guò)問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力．讓學(xué)生經(jīng)歷思考、探究、交流、歸納的過(guò)程，從而掌握新知.探究點(diǎn)1利用完全平方公式分解因式計(jì)算：(1)(m－4n)2；(2)(m＋4n)2.(大家在下面做，兩位同學(xué)上臺(tái)板演)解：(1)(m－4n)2＝m2－8mn＋16n2；(2)(m＋4n)2＝m2＋8mn＋16n2.問(wèn)題1大家說(shuō)說(shuō)計(jì)算的依據(jù)是什么呢？完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.根據(jù)上面兩道題，請(qǐng)大家試著分解因式：(1)m2－8mn＋16n2；(2)m2＋8mn＋16n2.(大家在下面做，兩位同學(xué)上臺(tái)板演)解：(1)m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2；(2)m2＋8mn＋16n2＝(m＋4n)2.問(wèn)題2同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢？把等號(hào)兩邊互換位置就可以得到因式分解的結(jié)果.問(wèn)題3我們把這些式子推廣到一般式a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2，先觀察多項(xiàng)式a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2有什么特點(diǎn)？(學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組討論，最后教師請(qǐng)代表發(fā)言)【教學(xué)建議】教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)完全平方式的特點(diǎn)：1.必須是三項(xiàng)式(或可以看成三項(xiàng)的).2.有兩個(gè)同號(hào)的平方項(xiàng).3.有一個(gè)乘積項(xiàng)(等于平方項(xiàng)底數(shù)的±2倍).教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖為了使學(xué)生掌握運(yùn)用完全平方公式分解因式的基本思路和方法，在引出公式后，結(jié)合例題作了示范性分析，說(shuō)明運(yùn)用公式分解因式的思考過(guò)程.兩式的共同特點(diǎn)是：它們都是兩個(gè)數(shù)的平方和加上或減去這兩個(gè)數(shù)的積的2倍．我們把a(bǔ)2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2這樣的式子叫做完全平方式．請(qǐng)大家判斷下列各式是不是完全平方式．(1)a2－2ab－b2；（不是）(2)a2＋b2－2ab；（是）(3)－6xy＋9x2＋y2；（是）(4)x2＋x＋eq\f(1,4).（是）問(wèn)題4你能將多項(xiàng)式a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2分解因式嗎？把整式乘法的完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2的等號(hào)兩邊互換位置，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，即兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方．這樣，我們就得到了將形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子分解因式的辦法了！通過(guò)上一節(jié)課和本節(jié)課的探究，我們把整式乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2和完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2的等號(hào)兩邊互換位置，就得到了用于分解因式的公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，用來(lái)把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．接下來(lái)，我們來(lái)看兩個(gè)例題．例(教材P118例5)分解因式：(1)16x2＋24x＋9；(2)－x2＋4xy－4y2.分析：在(1)中，16x2＝(4x)2，9＝32，24x＝2·4x·3，所以16x2＋24x＋9是一個(gè)完全平方式，即解：(1)16x2＋24x＋9＝(4x)2＋2·4x·3＋32＝(4x＋3)2；(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[(x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P119練習(xí)第1，2(1)～(4)題．【教學(xué)建議】這里教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握公式的特點(diǎn)，牢記公式，并且在運(yùn)用完全平方公式分解因式時(shí)，要先進(jìn)行觀察，判斷所要分解的多項(xiàng)式是否符合某個(gè)公式的特點(diǎn)，特別需注意檢驗(yàn)中間的一項(xiàng)是否符合公式．教學(xué)時(shí)要求學(xué)生通過(guò)充分地練習(xí)基本類型的題來(lái)記憶和運(yùn)用公式，不要讓學(xué)生死記硬背．【教學(xué)建議】這種圖示對(duì)照的形式，是為了說(shuō)明怎樣運(yùn)用完全平方公式來(lái)分解因式，關(guān)鍵是讓學(xué)生能夠指明哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的a2，哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的b2，哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的2ab.為了讓學(xué)生看起來(lái)直觀，這里采用這種對(duì)照的形式．學(xué)生做作業(yè)時(shí)不必如此，但讓學(xué)生練習(xí)幾道類似的題目對(duì)掌握公式有好處．設(shè)計(jì)意圖再次強(qiáng)調(diào)因式分解需要分解徹底的問(wèn)題，并以此活動(dòng)總結(jié)因式分解的完整步驟．探究點(diǎn)2先提公因式，再用完全平方公式分解因式問(wèn)題1對(duì)于多項(xiàng)式2a2＋4ab＋2b2，我們?cè)谶M(jìn)行因式分解的時(shí)候該怎么做？先提公因式化為2(a2＋2ab＋b2)．問(wèn)題2分解因式結(jié)束了嗎？我們發(fā)現(xiàn)，還可以繼續(xù)分解，所以2a2＋4ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2.按照這個(gè)思路，我們來(lái)看看下面這個(gè)例題．例[教材P118例6(1)]分解因式：3ax2＋6axy＋3ay2.【教學(xué)建議】教師總結(jié)：因式分解的步驟因式分解時(shí)可按下面三個(gè)步驟進(jìn)行，一提公因式，二套公式，三檢查．套公式時(shí)，若多項(xiàng)式有兩項(xiàng)，可考慮用平方差公式法教學(xué)步驟師生活動(dòng)分析：原式中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解.解：3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P119練習(xí)第2(5)～(6)題.分解因式；若多項(xiàng)式有三項(xiàng)，可考慮用完全平方公式法分解因式．簡(jiǎn)記為“一提二套三變形，分解徹底才能?！?活動(dòng)三：拓展提升，鞏固新知設(shè)計(jì)意圖通過(guò)把一個(gè)多項(xiàng)式視為一個(gè)整體的處理方式，培養(yǎng)學(xué)生的整體思想和轉(zhuǎn)化思想.例[教材P118例6(2)]分解因式：(a＋b)2－12(a＋b)＋36.分析：將a＋b看作一個(gè)整體，設(shè)a＋b＝m，則原式化為完全平方式m2－12m＋36.解：(a＋b)2－12(a＋b)＋36＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62＝(a＋b－6)2.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】分解因式：a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2.【教學(xué)建議】教師需提醒學(xué)生對(duì)于a2±2ab＋b2＝(a±b)2中的a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式．當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，需把這個(gè)式子看作一個(gè)整體，再來(lái)識(shí)別是否符合完全平方式的特點(diǎn).活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：什么是完全平方式？如何利用完全平方公式分解因式？因式分解的步驟是什么？什么是公式法？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P119習(xí)題14.3第3，5題.2.《》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書(shū)設(shè)計(jì)第2課時(shí)利用完全平方公式分解因式符號(hào)語(yǔ)言：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 文字語(yǔ)言：兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方．教學(xué)反思本節(jié)課在教學(xué)過(guò)程中，始終關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)和鍛煉．由乘法公式得到因式分解公式的探索中，運(yùn)用逆向思維發(fā)現(xiàn)新知識(shí)；在用公式法因式分解時(shí)，通過(guò)多項(xiàng)式與公式的對(duì)應(yīng)比較，培養(yǎng)公式化思維；在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)所采用的整體思想，都有效促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展.解題大招一完全平方式概念的分類討論的解法完全平方式的特點(diǎn)：首末兩項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)(或式子)的平方且符號(hào)相同，中間項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式子)的積的2倍，所以根據(jù)中間項(xiàng)的符號(hào)可以是“＋”號(hào)，也可以是“－”號(hào)分類討論即可．例1若關(guān)于x的多項(xiàng)式9x2－kxy＋4y2是一個(gè)完全平方式，則常數(shù)k的值為±12.解析：因?yàn)?x2＝(3x)2，4y2＝(2y)2，所以－kxy＝±2×3x×2y＝±12xy，所以k＝±12.解題大招二利用完全平方公式分解因式例2分解因式：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.分析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一個(gè)因式x2－8x＋16用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.解題大招三利用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算要將計(jì)算的式子“湊”成完全平方式，再利用完全平方公式轉(zhuǎn)化為(a±b)2的形式后計(jì)算即可．例3利用因式分解計(jì)算：(1)342＋34×32＋162;(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解：(1)342＋34×32＋162＝342＋2×34×16＋162＝(34＋16)2＝502＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝(－10)2＝100.解題大招四利用完全平方公式分解因式再整體代入求值先對(duì)原式進(jìn)行變形，將原式轉(zhuǎn)化為含已知式子的形式，然后整體代入計(jì)算．例4已知a＋b＝5，ab＝6，求eq\f(1,2)a3b＋a2b2＋eq\f(1,2)ab3的值．分析：將eq\f(1,2)a3b＋a2b2＋eq\f(1,2)ab3分解為eq\f(1,2)ab與(a＋b)2的乘積，再運(yùn)用整體代入的數(shù)學(xué)思想來(lái)解答．解：eq\f(1,2)a3b＋a2b2＋eq\f(1,2)ab3＝eq\f(1,2)ab(a2＋2ab＋b2)＝eq\f(1,2)ab(a＋b)2.當(dāng)a＋b＝5，ab＝6時(shí)，原式＝eq\f(1,2)×6×52＝75.培優(yōu)點(diǎn)一利用因式分解判斷三角形的形狀通過(guò)配方將原式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)性解答，這是解決此類問(wèn)題一般的思路．例1已知a，b，c分別是△ABC三邊的長(zhǎng)，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．分析：首先利用完全平方公式分組進(jìn)行因式分解，進(jìn)一步分析探討三邊關(guān)系得出結(jié)論即可．解：△ABC是等邊三角形，理由如下：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等邊三角形．培優(yōu)點(diǎn)二十字相乘法分解因式例2【閱讀與思考】將多項(xiàng)