小學高年級數學競賽試題與解析一、引言小學高年級（五、六年級）數學競賽是培養(yǎng)學生邏輯思維、抽象推理和解決問題能力的重要途徑。其題型涵蓋數論、幾何、應用題、組合數學四大類，注重考察學生對基礎知識的靈活運用而非機械記憶。本文選取競賽中高頻出現的經典題型，結合詳細解析，幫助學生把握解題思路，提升思維能力。二、數論專題數論是數學競賽的“基石”，主要考察整除、余數、數字謎等知識點。（一）整除問題：數字和的應用題目：用1、2、3、4、5組成一個五位數，使得這個數能被9整除，問這樣的五位數有多少個？解析：被9整除的數的核心特征是各位數字之和能被9整除。計算1+2+3+4+5=15，15除以9余6，無法滿足被9整除的條件。因此，不存在這樣的五位數。答案：0個（二）余數問題：逐步滿足法題目：一個數除以3余2，除以5余3，除以7余4，求滿足條件的最小正整數。解析：1.第一步：找滿足“除以3余2”和“除以5余3”的最小數。設該數為\(x=3a+2\)，代入第二個條件得\(3a+2\equiv3\mod5\)，即\(3a\equiv1\mod5\)，解得\(a=2\)（因為\(3×2=6≡1\mod5\)），故\(x=3×2+2=8\)。2.第二步：擴展到滿足第三個條件。滿足前兩個條件的數可表示為\(x=8+15b\)（15是3和5的最小公倍數），代入“除以7余4”得\(8+15b\equiv4\mod7\)，即\(15b\equiv-4\equiv3\mod7\)。15除以7余1，故\(b\equiv3\mod7\)，最小\(b=3\)，此時\(x=8+15×3=53\)。答案：53三、幾何專題幾何題側重考察圖形的面積、周長及分割組合，需靈活運用公式和比例關系。（一）面積問題：比例法題目：一個長方形被兩條直線分成四個小長方形，其中三個小長方形的面積分別為12、18、24（如圖所示），求第四個小長方形的面積。解析：設四個小長方形的面積為\(S_1=12\)、\(S_2=18\)、\(S_3=24\)、\(S_4\)（對應位置為左上、右上、左下、右下）。長方形的面積比等于相鄰邊長的乘積比。對于相鄰的兩個小長方形，若共享一條邊，則面積比等于另一條邊的比。\(S_1/S_2=12/18=2/3\)，即左下小長方形的寬與右下小長方形的寬之比為2:3；由于\(S_3\)與\(S_4\)共享左邊（與\(S_1\)、\(S_2\)的左邊相同），故\(S_3/S_4=2/3\)，解得\(S_4=24×3/2=36\)。技巧：交叉相乘公式\(S_1×S_4=S_2×S_3\)，直接得\(S_4=(18×24)/12=36\)。答案：36（二）圖形分割：等腰梯形面積題目：一個等腰梯形的上底為4厘米，下底為10厘米，腰長為5厘米，求其面積。解析：等腰梯形的面積公式為\(S=(上底+下底)×高÷2\)，關鍵是求高。過梯形上底的兩個端點作下底的垂線，將梯形分成兩個直角三角形和一個長方形（如圖）。長方形的長為上底4厘米，故兩個直角三角形的底邊長之和為\(10-4=6\)厘米，每個直角三角形的底邊長為\(6÷2=3\)厘米；直角三角形的腰長為梯形的腰5厘米，由勾股定理得高\(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\)厘米；面積\(S=(4+10)×4÷2=28\)平方厘米。答案：28平方厘米四、應用題專題應用題是競賽中的“?？汀?，需將實際問題轉化為數學模型，常用方程、假設法等解題。（一）行程問題：相遇問題題目：甲、乙兩人同時從A、B兩地出發(fā)，相向而行。甲每小時走6千米，乙每小時走4千米，相遇時甲比乙多走了8千米，求A、B兩地的距離。解析：設相遇時間為\(t\)小時。甲走的路程：\(6t\)千米；乙走的路程：\(4t\)千米；路程差：\(6t-4t=2t=8\)千米，解得\(t=4\)小時；總距離：\(6t+4t=10t=10×4=40\)千米。答案：40千米（二）工程問題：合作與休息題目：一項工程，甲單獨做需10天完成，乙單獨做需15天完成。兩人合作時，甲中途休息了2天，乙中途休息了3天，問完成這項工程共需多少天？解析：設總工作量為1，甲的工作效率為\(1/10\)，乙的工作效率為\(1/15\)，完成時間為\(x\)天。甲工作了\(x-2\)天，工作量為\((x-2)/10\)；乙工作了\(x-3\)天，工作量為\((x-3)/15\)；總工作量為1，列方程：\[\frac{x-2}{10}+\frac{x-3}{15}=1\]通分（分母30）得：\[3(x-2)+2(x-3)=30\implies3x-6+2x-6=30\implies5x=42\impliesx=8.4\]答案：\(42/5\)天（或8.4天）（三）雞兔同籠：假設法題目：籠子里有雞和兔共30只，腳共84只，求雞和兔各有多少只？解析：假設全是雞，總腳數為\(30×2=60\)只，比實際少\(84-60=24\)只。每把一只雞換成兔，腳數增加\(4-2=2\)只，故兔的數量為\(24÷2=12\)只，雞的數量為\(30-12=18\)只。驗證：\(12×4+18×2=48+36=84\)只腳，符合條件。答案：雞18只，兔12只四、組合專題組合數學考察排列組合、邏輯推理和規(guī)律探索，需嚴謹的邏輯和創(chuàng)新思維。（一）排列組合：容斥原理題目：有5個不同的玩具，分給3個小朋友，每個小朋友至少分1個，有多少種分法？解析：方法：容斥原理（先不考慮限制，再減去不符合條件的情況）。1.不考慮限制：每個玩具有3種分法，共\(3^5=243\)種；2.減去“至少1個小朋友沒分到”的情況：選1個小朋友沒分到，剩余2個小朋友分5個玩具，共\(\binom{3}{1}×2^5=3×32=96\)種；3.加上“至少2個小朋友沒分到”的情況（因步驟2多減了）：選2個小朋友沒分到，剩余1個小朋友分5個玩具，共\(\binom{3}{2}×1^5=3×1=3\)種；4.最終結果：\(243-96+3=150\)種。答案：150種（二）邏輯推理：排除法題目：甲、乙、丙三人分別是醫(yī)生、教師、工程師，已知：（1）甲不是醫(yī)生；（2）乙不是教師；（3）丙不是工程師；（4）醫(yī)生比乙年齡大；（5）丙比教師年齡小。問三人各是什么職業(yè)？解析：1.由（1）（4），醫(yī)生不是甲或乙，故醫(yī)生是丙；2.由（4），醫(yī)生丙比乙大，即丙>乙；3.由（5），丙比教師小，即教師>丙>乙；4.由（2），乙不是教師，故教師是甲；5.剩余乙是工程師。驗證：甲（教師）不是醫(yī)生（符合1）；乙（工程師）不是教師（符合2）；丙（醫(yī)生）不是工程師（符合3）；醫(yī)生丙比乙大（符合4）；丙比教師甲小（符合5）。答案：甲=教師，乙=工程師，丙=醫(yī)生（三）找規(guī)律：三角形數題目：數列1,3,6,10,15,…的第\(n\)項是什么？解析：觀察數列，每一項是前\(n\)個自然數的和：第1項：\(1=1\)；第2項：\(1+2=3\)；第3項：\(1+2+3=6\)；……第\(n\)項為\(1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\)（三角形數公式）。驗證：\(n=4\)時，\(4×5/2=10\)，符合；\(n=5\)時，\(5×6/2=15\)，符合。答案：\(\frac{n(n+1)}{2}\)五、結語小學高年級數