第13章全等三角形13.5

逆命題與逆定理第2課時(shí)

線段垂直平分線授課教師：×××一學(xué)習(xí)目標(biāo)1．學(xué)習(xí)通過(guò)尺規(guī)作圖，理解線段垂直平分線的概念，探究線段垂直平分線的性質(zhì)和判定；2．學(xué)習(xí)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定的運(yùn)用；二重難點(diǎn)重點(diǎn):探究線段垂直平分線的性質(zhì)．難點(diǎn):線段垂直平分線的性質(zhì)和判定的聯(lián)系與區(qū)別．1.情境導(dǎo)入三教學(xué)過(guò)程

如圖，△ABC與△DEF關(guān)于直線MN對(duì)稱．則點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E．我們連結(jié)BE，與直線MN相交于點(diǎn)H，量一量∠MHB的大小以及線段BH、EH的長(zhǎng)度．你發(fā)現(xiàn)線段BE與直線MN有什么關(guān)系？

直線MN垂直于線段BE，且平分線段BE，我們說(shuō)直線MN垂直平分線段BE，或者說(shuō)直線MN是線段BE的垂直平分線．下面我們就一起來(lái)研究線段的垂直平分線．答:直線MN垂直于線段BE,且平分線段BE.我們說(shuō)直線MN垂直平分線段BE,或者說(shuō)直線MN是線段BE的垂直平分線.下面我們就一起來(lái)研究線段的垂直平分線.2.探究新知問(wèn)題1探究線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理

如右圖①：直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)D是直線l上任意一點(diǎn)，那么DA＝DB嗎？解：因?yàn)橹本€l是線段AB的垂直平分線，所以AC＝BC，∠ACD＝∠BCD，又CD＝CD，所以△ACD≌△BCD，所以DA＝DB.

問(wèn)題2如右圖②：如果DA＝DB，那么點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上嗎？解：方法(1)：取AB的中點(diǎn)C，連結(jié)CD，因?yàn)锳C＝BC，CD＝CD，AD＝BD，所以△ACD≌△BCD，所以∠ACD＝∠BCD，又∠ACD＋∠BCD＝180°，所以∠ACD＝∠BCD＝90°.所以AB⊥CD，點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上．方法(2)：過(guò)點(diǎn)D作DC⊥AB于點(diǎn)C，所以∠ACD＝∠BCD＝90°.又因?yàn)镃D＝CD，AD＝BD，所以△ACD≌△BCD(H.L.)，所以AC＝BC，所以點(diǎn)C是AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上.知識(shí)歸納(1)線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；(2)線段垂直平分線的判定定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．問(wèn)題3

運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決問(wèn)題已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC;證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB同理PB=PC.∴PA=PB=PC.知識(shí)歸納三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.BACMNM’N’P3.例題精講

例2

已知：如圖，在△ABC中，OM是AB的垂直平分線，OA＝OC，求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上．證明：連結(jié)OB.∵OM是AB的垂直平分線(已知)，∴OA＝OB(線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等)．∵OA＝OC(已知)，∴OB＝OC(等量代換)．∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上(到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上)．例3

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，BD＝BC，過(guò)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F.求證：BE垂直平分CD.證明：∵BD＝BC，∴點(diǎn)B在CD的垂直平分線上，∠BCD＝∠BDC.∵∠ACB＝90°＝∠BDE，∴∠ACB－∠BCD＝∠BDE－∠BDC即∠ECD＝∠EDC.∴ED＝EC.∴點(diǎn)E在CD的垂直平分線上，∴BE垂直平分CD.方法總結(jié)1.要證明一點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上，只需知道這點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等；2．要證明一條直線是另一條直線的垂直平分線，只要證明直線上的兩點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等即可．5.課堂小結(jié)小