§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.借助函數(shù)圖象,會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值,理解實(shí)際意義.2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是減函數(shù)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函數(shù)減函數(shù)圖象描述

自左向右看圖象是

的

自左向右看圖象是

的上升下降(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上

或

,那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞增單調(diào)遞減前提一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈D,都有

；(2)?x0∈D,使得_________(1)?x∈D,都有

；(2)?x0∈D,使得_________結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M2.函數(shù)的最值

××√×2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,＋∞)上單調(diào)遞增的是A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2C.y＝|lnx| D.y＝x√

√

微點(diǎn)提醒2.解題時(shí)謹(jǐn)防以下易誤點(diǎn)(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用不等式表示.(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí),必須先求函數(shù)的定義域.(3)一個(gè)函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.(4)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念,顯然N?M.返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

√題型一命題點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷√√確定函數(shù)的單調(diào)性

命題點(diǎn)2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性

確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法.(2)導(dǎo)數(shù)法.(3)圖象法.(4)性質(zhì)法.思維升華

√

題型二命題點(diǎn)1比較函數(shù)值的大小√函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

命題點(diǎn)2求函數(shù)的最值(1)配方法：主要用于和一元二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)求值域問題.(2)單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來(lái)確定函數(shù)的值域.(3)數(shù)形結(jié)合法.(4)換元法：引進(jìn)一個(gè)(幾個(gè))新的量來(lái)代替原來(lái)的量，實(shí)行這種“變量代換”.(5)分離常數(shù)法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個(gè)常數(shù)和一個(gè)分式和的形式.微拓展求函數(shù)的值域(最值)的常用方法

√√√對(duì)于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖①所示)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2，6).

例5

(2025·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x,則使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是A.(－1,0) B.(－1,＋∞)C.(－1,1) D.(1,＋∞)√命題點(diǎn)3解函數(shù)不等式函數(shù)y＝ex為增函數(shù),函數(shù)y＝e－x為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)＝ex－e－x為增函數(shù),所以f(|x|)<f(－3x2＋4)?|x|<－3x2＋4,即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1,解得－1<x<1,所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－1,1).

√命題點(diǎn)4求參數(shù)的值(范圍)

(1)比較函數(shù)值的大小時(shí),先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)求解函數(shù)不等式時(shí),由條件脫去“f”,轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系,應(yīng)注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降,再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù),要注意銜接點(diǎn)的取值.思維升華

[1,2)

√√

返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案1234567891011121314題號(hào)12345678答案CCBCCACDBCD題號(hào)9101314答案f(x)=-x(答案不唯一)ACD(-∞，0]

(2，4]對(duì)一對(duì)答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314

12.

√1234567891011121314知識(shí)過關(guān)答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案2.已知f(x)＝2x＋x,則“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x,y＝x在R上為增函數(shù),則函數(shù)f(x)＝2x＋x在R上為增函數(shù),則“f(x1)＝f(x2)”可以推出“x1＝x2”,“x1＝x2”也可推出“f(x1)＝f(x2)”,故“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的充要條件.

√1234567891011121314答案

√1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案

1234567891011121314√答案√

1234567891011121314答案充分性：當(dāng)a≥1時(shí),因?yàn)椋?≤sinx≤1,由f(x)為增函數(shù),所以f(a2)≥f(sinx),故充分性成立；必要性：由f(x)為增函數(shù),當(dāng)f(a2)≥f(sinx)恒成立時(shí),因?yàn)椋?≤sinx≤1,所以a2≥1,解得a≥1或a≤－1,故必要性不成立,綜上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sinx)”的充分不必要條件,故D正確.1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案√√1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

10.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家.我們把函數(shù)方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)稱為柯西方程,滿足該方程的函數(shù)f(x)稱為“加性函數(shù)”.請(qǐng)寫出一個(gè)在R上單調(diào)遞減的加性函數(shù)

.

1234567891011121314答案f(x)＝－x(答案不唯一)設(shè)f(x)＝－x,在R上單調(diào)遞減.f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).所以函數(shù)f(x)＝－x是在R上單調(diào)遞減的加性函數(shù).

1234567891011121314答案1234567891011121314答案

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上的最大值和最小值.1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

(2)若f(2)＝1,解不等式f(x＋2)－f(2x)>2.1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√能力拓展√√

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案234567891011121314答案03單擊添加目錄項(xiàng)標(biāo)題04單擊添加目錄項(xiàng)標(biāo)題05=_x001A__x001A_e_x001B_2??+2??_x001B_+_x001A_e_x001B_2??_x001B_?_x001A_e_x001B_2??_x001B_?1+_x001A_e_x001B_2??+2??_x001B_?_x001A_e_x001B_2??_x001B_+_x001A_e_x001B_2??_x001B_?1_x001B__x001A_e_x001B_2??+2??_x001B_+_x001A_e_x001B_2??_x001B_+_x001A_e_x001B_2??_x001B_+1+_x001A_e_x001B_2??+2??_x001B_?_x001A_e_x001B_2??_x001B_?_x001A_e_x001B_2??_x001B_+1_x001B_=_x001A_2_x001A_e_x001B_2??+2??_x001B_?2_x001B_2_x001A