/2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，若，則整數(shù)a的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．23．在平面直角坐標系中，動點到直線的距離比它到定點的距離小2，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．4．已知等比數(shù)列的公比為，若，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B．3 C．0或3 D．5．直線l與兩直線y＝1和x－y－7＝0分別交于A，B兩點，若線段AB的中點為M(1，－1)，則直線l的斜率為()A． B． C． D．6．已知兩點，，若直線上存在點P，使，同時存在點Q，使，則稱該直線為“兩全其美線”，給出下列直線，其中為“兩全其美線”的是（

）A． B． C． D．7．在三棱錐中，平面，，是線段上的動點，記直線與平面所成角為，若的最大值為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知為三條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知圓，圓，為坐標原點，動點在軸上，動點在圓上，線段的中點為.則下列選項正確的是（

）A．的軌跡方程為B．過點作圓的一條切線，則切線長最短為2C．圓和圓有兩條公切線D．的最大值為11．已知函數(shù)，則（

）A．當時，是偶函數(shù) B．當時，沒有零點C．存在實數(shù)，使得函數(shù)的最大值為 D．對任意實數(shù)，三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則.13．已知雙曲線，焦點到一條漸近線的距離為，離心率，過左焦點F的直線l交雙曲線C的同一支于A，B兩點，若，則．14．在圓冪定理中有一個切割線定理：如圖1所示，QR為圓O的切線，R為切點，QCD為割線，則，如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中，已知點，點P是圓上的任意一點，過點作直線BT垂直AP于點T，則的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．在△中，內(nèi)角的對邊分別是，且.(1)求證：；(2)若，且是邊的中點，求的最小值.16．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求．17．已知四棱錐中，，平面平面ABCD，．點N為線段SD的中點，且平面ABN與棱SC交于點M．(1)求證：點M為線段SC的中點；(2)求平面BCN與平面SCD所成銳角的余弦值．18．已知橢圓的右頂點為，上頂點為，為坐標原點，橢圓內(nèi)一點滿足，.(1)求橢圓的離心率；(2)橢圓上一點在第一象限，且滿，直線與橢圓另一個交點為.（i）求點的坐標；（用表示）（ii）直線交的延長線于點，若的面積為，求橢圓的標準方程.19．已知函數(shù)．(1)當時，判斷的單調(diào)性；(2)若函數(shù)恰有兩個極值點．①求實數(shù)的取值范圍；②證明：的所有零點之和大于.

答案1．【正確答案】C【詳解】不等式，解得.故集合，若，則，所以，則整數(shù)a的最小值為3.故選：C2．【正確答案】A【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)滿足，則可轉(zhuǎn)化為，所以.故選：A.3．【正確答案】B【詳解】由題意知動點Px,y到直線的距離與它到定點的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以，點的軌跡方程為.故選：B.4．【正確答案】B【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以，即，因為，所以，即，因為，，所以.故選：B5．【正確答案】D【詳解】設(shè)直線l的斜率為k，又直線l過M（1，﹣1），則直線l的方程為y+1=k（x﹣1），聯(lián)立直線l與y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；聯(lián)立直線l與x﹣y﹣7=0，得到，解得x=，y=，所以B，又線段AB的中點M（1，﹣1），所以+=2，解得k=﹣23．故選D．6．【正確答案】C【詳解】由點，，得，由，得點的軌跡是以點為焦點，實軸長為6的雙曲線右支，方程為，由，得點的軌跡是以點為焦點，實軸長為6的雙曲線左支，方程為，直線為“兩全其美線”，當且僅當直線與雙曲線的兩支相交，對于A，雙曲線的漸近線為，直線與雙曲線無公共點，A不是；對于B，直線與雙曲線左支無公共點，B不是；對于C，由，知直線過雙曲線的中心，且在兩條漸近線所夾含焦點的區(qū)域，直線與雙曲線兩支相交，C是；對于D，由，知直線過雙曲線的中心，且在兩條漸近線所夾含虛軸的區(qū)域，直線與雙曲線無公共點，D不是.故選：C7．【正確答案】C【詳解】解：是線段上一動點，連接.平面,就是直線與平面所成角.當最短時，即時直線與平面所成角的正切值最大.此時，又，所以.在△中，..在△中，.因為，由勾股定理得△是直角三角形且.把三棱錐擴充為長方體，則長方體的體對角線長為.所以三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C8．【正確答案】D【詳解】因為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以為上的偶函數(shù)，當時,，設(shè)，則，，，所以即在上單調(diào)遞減,所以,所以在上單調(diào)遞減,又因為為偶函數(shù),所以在上單調(diào)遞增，又因為,,又因為,因為,，所以,所以，即,所以,所以,即.故選：D.9．【正確答案】AD【詳解】對于A，，，所以或，而，故，故正確；對于B，如圖，長方體中，，則，故B錯誤；對于C，如圖，長方體中，，則，故C錯誤；對于D，若α//β，，則，而，故，故正確.故選：AD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，設(shè)點Mx,y，又點為線段的中點，由，則，又動點在圓上，則，即，即，即的軌跡方程為，故A錯誤；對于B，設(shè)點，又圓，則圓心坐標為，半徑，則切線長為，由函數(shù)的性質(zhì)知，當時，切線長最短為，故B正確；對于C，圓的圓心坐標為，半徑，圓，則圓心坐標為，半徑，又，，則圓與圓相交，因此有兩條公切線，故C正確；對于D，由，則其幾何意義可為定點與動點的構(gòu)成的直線的斜率，又動點在圓上，則也在圓上，則問題轉(zhuǎn)化為定點與圓上的任意一點的斜率的最大值，由圖知過點且與圓相切的直線的斜率存在，設(shè)過點且與圓相切的直線為，即，則到直線的距離，即，解得或，結(jié)合圖象知，斜率最大為，即的最大值為，故D正確；故選：BCD.11．【正確答案】ABD【詳解】對于：時，，即為偶函數(shù)，A對.令，可得：，，所以或，也即或，而，顯示上面兩個方程都無解，所以無零點，B對.若取最大值，則，則，，又，對于任意，上面方程無解，故C錯.構(gòu)造函數(shù)，恒成立，所以單調(diào)遞減，當時，，當時，，即，當時，，即，則結(jié)合圖象可知：所以，D對，（和差化積公式）故選：ABD12．【正確答案】【詳解】由題意得，，，，，所以為周期數(shù)列，所以.故13．【正確答案】【詳解】令雙曲線左焦點，其漸近線方程為，依題意，，又，解得，雙曲線的方程為，，當直線斜率存在時，設(shè)其方程為，由消去得，設(shè)，則，顯然，，，由，得，當直線時，由，得，，所以.故14．【正確答案】【詳解】解：設(shè)，因為，所以，即，即，所以點的軌跡方程為，過點P作圓的切線PC，C為切點，則，由切割線定理得，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值是.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)△內(nèi)角，、、的對邊分別是、、∵，∴，整理得，由正弦定理得.（2）∵，且是邊的中點，∴，由余弦定理得，，則.∵，∴，由，得（當且僅當時等號成立.），∴，∴，故的最小值為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由條件，知，，，，累加，得，所以，又，所以，又符合上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1），知，設(shè)，則，得，所以.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在四棱錐中，由，平面，平面，得平面，又平面，平面平面，則，而點N為線段SD的中點，所以點M為線段SC的中點.（2）由，得，由平面平面平面，平面平面，則平面，平面，于是，即直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，在中，，則，而點N為線段SD的中點，則，平面，且，則平面，平面，則，又，平面，因此平面，是平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，于是，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.18．【正確答案】(1);(2)（i）,（ii）.【詳解】（1）因為橢圓內(nèi)一點M滿足，所以為的中點，由橢圓右頂點Aa,0，可得，又因為橢圓上頂點，所以，化簡得，因為，所以，所以橢圓的離心率.

（2）（?。┯桑?）可得橢圓方程為，橢圓上一點在第一象限，且滿,

所以，設(shè)直線方程為，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，解得，因為點在第一象限，，則，因為關(guān)于原點對稱，所以；（ⅱ）因為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以，所以，所以直線的方程為，即，所以點到直線的距離為，，所以的面積，所以，所以橢圓的標準方程為.19．【正確答案】(1)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，(2)①，②證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，即可導(dǎo)函數(shù)的正負求解，（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，對分類討論，即可解①，根據(jù)的單調(diào)性可得在和上各有一個零點，即可根據(jù)可得函數(shù)的三個零點為，利用基本不等式即可求解②.【詳解】（1）時，，定義域為，則，令，解得，，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（2）①，則，記，則，，令，解得，，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，若，則在單調(diào)遞增，此時無極值點，不符合，當，則，當因此在有一個實數(shù)根，現(xiàn)證明：設(shè)，則當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當，故當且僅當時取等號，故，所以，所以在上有一個實數(shù)根，故恰有兩個極值點，符合題意，故；②由①知，且在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由于，當當所以在和上各有一個零點，結(jié)合可知共有3個零點，，若，則，故的三個零點可以表示為，故，由于，故等號取不到，因此因此的零點之和大于3，得證.方法點睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是