第5課時(shí)直角三角形全等的判定(“HL”)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)場(chǎng)景實(shí)際情境置疑探究歸納探究復(fù)習(xí)探究類(lèi)比探究懸念激趣實(shí)際情境如圖14-2-100,舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形,工作人員想知道這兩個(gè)直角三角形是否全等,但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無(wú)法測(cè)量.圖14-2-100(1)你能幫他想個(gè)辦法嗎?(2)如果他只帶了一個(gè)卷尺,能完成這個(gè)任務(wù)嗎?工作人員測(cè)量了每個(gè)三角形沒(méi)有被遮住的直角邊和斜邊,發(fā)現(xiàn)它們分別相等,于是他就肯定這兩個(gè)直角三角形全等,你同意他的結(jié)論嗎?[教學(xué)提示]教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)工作人員提出的辦法及結(jié)論進(jìn)行思考,并驗(yàn)證他的方法,從而展開(kāi)對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等的特殊條件的探索.先利用投影給出問(wèn)題,再引導(dǎo)學(xué)生思考、驗(yàn)證.歸納探究1.判定兩個(gè)三角形全等的方法有、、、.

2.如圖14-2-101,AB⊥BE于點(diǎn)B,DE⊥BE于點(diǎn)E.圖14-2-101(1)若∠A=∠D,AB=DE,則△ABC與△DEF,依據(jù)是;

(2)若∠A=∠D,BC=EF,則△ABC與△DEF,依據(jù)是;

(3)若AB=DE,BC=EF,則△ABC與△DEF,依據(jù)是;

(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF,則△ABC與△DEF,依據(jù)是.

3.我們知道:滿(mǎn)足“SSA”條件的兩個(gè)三角形不一定全等,那么滿(mǎn)足“SSA”條件的兩個(gè)直角三角形(這個(gè)相等的角是直角)是否全等呢?如圖14-2-101,AB⊥BE于點(diǎn)B,DE⊥BE于點(diǎn)E,若AB=DE,AC=DF,則Rt△ABC與Rt△DEF是否全等?現(xiàn)在我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.(引入新課)[教學(xué)提示]在復(fù)習(xí)鞏固原有知識(shí)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步探究直角三角形全等的判定方法,以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.教師可進(jìn)一步設(shè)計(jì)如下幾個(gè)問(wèn)題與學(xué)生共同探究.如圖14-2-102,對(duì)于非直角三角形,滿(mǎn)足條件AB=AB,AC1=AC2,∠ABC1=∠ABC2的三角形有兩個(gè),即△ABC1和△ABC2,顯然它們不全等.因?yàn)椤鰽BC2比△ABC1多出了陰影部分,這部分就是等腰三角形AC1C2.其實(shí)我們還可以由∠AC2B是銳角而∠AC1B是鈍角作出判斷. 圖14-2-102 圖14-2-103如圖14-2-103,先準(zhǔn)備一張等腰三角形紙片ABC(AB=AC),將它沿底邊上的高AD所在的直線(xiàn)對(duì)折.讓學(xué)生猜測(cè):高AD兩側(cè)的部分能否完全重合.為什么?教材母題模型教材母題——第45頁(yè)習(xí)題14.2第11題如圖14-2-104,在△ABC中,AB=AC,AD是高.求證:BD=CD;∠BAD=∠CAD.圖14-2-104【模型建立】直角三角形是三角形中的一類(lèi),一般三角形所具有的性質(zhì),直角三角形都具有,因此判定一般三角形全等的方法(“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)均可以用來(lái)判定兩個(gè)直角三角形全等.由于直角三角形是特殊的三角形,因此它具備一般三角形所沒(méi)有的特殊性質(zhì),也就有特殊的判定直角三角形全等的方法,即斜邊、直角邊(“HL”).【變式變形】1.如圖14-2-105是用兩根拉線(xiàn)固定電線(xiàn)桿的示意圖.其中,兩根拉線(xiàn)的長(zhǎng)AB=AC,則BD和CD的長(zhǎng)相等嗎?為什么?[提示:由題意得AD⊥BC,則可利用“HL”證明Rt△ABD≌Rt△ACD,從而得到BD=CD] 圖14-2-105 圖14-2-1062.如圖14-2-106所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)E在A(yíng)D上.找出圖中的全等三角形,并證明它們?nèi)?[答案:有三對(duì)全等三角形,分別是△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△EBD≌△ECD提示:先利用“SSS”證明△ABD≌△ACD,其他兩組易證]質(zhì)量評(píng)價(jià)角度【評(píng)價(jià)角度1】利用“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等方法指引:“HL”只適用于判定兩個(gè)直角三角形全等,對(duì)于一般三角形不適用.例已知:如圖14-2-107,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別是E,F,DE=BF.圖14-2-107求證:(1)AF=CE;(2)AB∥CD.[提示:利用“HL”證明Rt△CDE≌△Rt△ABF]【評(píng)價(jià)角度2】綜合運(yùn)用各種方法證明兩個(gè)三角形全等方法指引:判定兩個(gè)三角形全等時(shí),要注意對(duì)應(yīng)邊、角的相對(duì)位置關(guān)系,然后按照以下思路尋求解題方法:1.已知兩邊找?jiàn)A角→“SAS”2.已知兩角找?jiàn)A邊→“ASA”3.已知一邊一角邊為角的對(duì)邊→找一角→“AAS”例如圖14-2-108所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,則圖中全等三角形共有 (B)圖14-2-108A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.5對(duì)

第5課時(shí)直角三角形全等的判定(“HL”)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)課題第5課時(shí)直角三角形全等的判定(“HL”)授課人學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在操作、比較中理解直角三角形全等的過(guò)程,并能用于解決實(shí)際問(wèn)題.2.經(jīng)歷探索判定直角三角形全等的過(guò)程,掌握數(shù)學(xué)方法,提高合情推理的能力.3.能利用“斜邊、直角邊”來(lái)判定直角三角形全等解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解利用“斜邊、直角邊”判定直角三角形全等的方法.學(xué)習(xí)難點(diǎn)根據(jù)題目特征,選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等.授課類(lèi)型新授課課時(shí)教具三角板、直尺、圓規(guī)(多媒體課件及幾何畫(huà)板)教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧判斷:具有下列條件的Rt△ABC與Rt△A'B'C'(其中∠C=∠C'=90°)是否全等?若全等,在()里填寫(xiě)理由;若不全等,在()里打“×”:(1)AC=A'C',∠A=∠A';()(2)AC=A'C',BC=B'C';()(3)AB=A'B',∠B=∠B';()(4)∠A=∠A',∠B=∠B';()(5)AC=A'C',AB=A'B'.()教師活動(dòng):操作投影儀,提出問(wèn)題,組織學(xué)生討論.學(xué)生活動(dòng):小組討論,發(fā)表意見(jiàn):“由三角形全等的條件可知,對(duì)于兩個(gè)直角三角形,滿(mǎn)足一邊一銳角分別相等,或兩直角邊分別相等,這兩個(gè)直角三角形就全等了.”學(xué)生填空,回顧所學(xué)判定三角形全等的方法,使學(xué)生系統(tǒng)地把握前面所學(xué)的知識(shí),并為后續(xù)問(wèn)題的探究做鋪墊.活動(dòng)一:創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課【課堂引入】前面學(xué)習(xí)的三角形全等的判定方法,對(duì)滿(mǎn)足條件的三角形都是適用的,同樣也適用于直角三角形.因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形的直角相等,所以對(duì)于兩個(gè)直角三角形,滿(mǎn)足一直角邊和它相對(duì)(或相鄰)的銳角分別相等,或斜邊和一銳角分別相等,或兩直角邊分別相等,這兩個(gè)直角三角形就全等了.如果滿(mǎn)足斜邊和一直角邊分別相等,這兩個(gè)直角三角形全等嗎?從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā),利用多媒體,激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲,使學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模過(guò)程.活動(dòng)二:探究與應(yīng)用【探究】如圖14-2-109,在△ABC和△A'B'C'中,∠C'=∠C=90°,A'B'=AB,B'C'=BC.這兩個(gè)三角形全等嗎?圖14-2-109圖14-2-110如圖14-2-110,由∠C'=∠C=90°可知,如果使點(diǎn)C'與點(diǎn)C重合,并且使射線(xiàn)C'A'與射線(xiàn)CA重合,那么射線(xiàn)C'B'與射線(xiàn)CB重合.再由B'C'=BC,可知點(diǎn)B'與點(diǎn)B重合.為了判斷點(diǎn)A'與點(diǎn)A是否重合,我們討論射線(xiàn)CA上除點(diǎn)C,A外的點(diǎn)與點(diǎn)B的連線(xiàn)和邊AB的大小關(guān)系.設(shè)點(diǎn)M在直角邊AC(不包括端點(diǎn))上,連接BM,則∠BMA>∠C,∠BMA是鈍角.若過(guò)點(diǎn)M且垂直于BM的直線(xiàn)與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)M',則有AB>BM'>BM.設(shè)點(diǎn)N在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上,連接BN,同理可得BN>AB.因此,在射線(xiàn)CA上,與點(diǎn)B的連線(xiàn)長(zhǎng)度等于A(yíng)B的點(diǎn)只有一個(gè).再由點(diǎn)A'在射線(xiàn)CA上,A'B'=AB,可知點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合.這樣,△A'B'C'的三個(gè)頂點(diǎn)與△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別重合,△A'B'C'與△ABC能夠完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC.一般地,有如下判定直角三角形全等的方法:斜邊和一直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”).幾何語(yǔ)言:已知∠C=∠C1=90°.在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中,AC=∴Rt△ABC≌Rt△A1B1C1(HL).1.鞏固三角形的畫(huà)法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括能力.2.操作探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)不僅讓學(xué)生直觀(guān)地感受了“斜邊、直角邊”可以確定一個(gè)直角三角形的大小和形狀,而且也讓學(xué)生較好地感悟到了“斜邊、直角邊”可以判定兩個(gè)直角三角形全等.【應(yīng)用舉例】例1如圖14-2-111,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分別為C,D,AC=BD.求證:BC=AD.分析:如果能證明Rt△ABC≌Rt△BAD,就可以得出BC=AD.由題意可知,Rt△ABC和Rt△BAD具備“斜邊、直角邊”的條件.證明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB=BA,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.教師活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生共同參與分析例題.學(xué)生活動(dòng):參與教師分析,提出自己的見(jiàn)解.圖14-2-111圖14-2-112變式如圖14-2-112,已知∠ACB=∠ADB=90°,要使△ABC≌△BAD,還需增加一個(gè)什么條件?把增加的條件填在橫線(xiàn)上,并在后面相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)填上判定它們?nèi)鹊睦碛?(1)();(2)();

(3)();(4)().

[答案:(1)AC=BDHL(2)∠ABC=∠BADAAS(3)∠BAC=∠ABDAAS(4)BC=ADHL](續(xù)表)活動(dòng)二:探究與應(yīng)用例2如圖14-2-113,有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等,兩個(gè)滑梯的傾斜角∠ABC和∠EFD的大小有什么關(guān)系?解:由題意,得∠BAC=∠EDF=90°,BC=EF,AC=DF,∴∠DEF+∠EFD=90°.在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴∠ABC+∠EFD=90°.圖14-2-113圖14-2-114變式如圖14-2-114,AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,垂足分別為F,E,AE=CF.求證:BF=DE.證明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,AB=CD,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.1.規(guī)范使用“HL”判定方法證明三角形全等的書(shū)寫(xiě)格式.在證明兩個(gè)直角三角形全等時(shí),要防止學(xué)生使用“SSA”來(lái)證明.2.例題的設(shè)計(jì)在鞏固新知識(shí)的同時(shí)也有效地培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題的能力.【拓展提升】例3(1)若兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別相等,則這兩個(gè)直角三角形全等,依據(jù)是SAS;

(2)若兩個(gè)直角三角形的斜邊和一個(gè)銳角分別相等,則這兩個(gè)直角三角形全等,依據(jù)是AAS;

(3)若兩個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角和一條直角邊分別相等,則這兩個(gè)直角三角形全等,依據(jù)是AAS或ASA;

(4)兩個(gè)直角三角形全等的特殊條件是斜邊和直角邊分別相等.

問(wèn)題:談?wù)勀銓?duì)“兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”這句話(huà)的理解.例4如圖14-2-115,已知∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,BE=CD,AB交DC于點(diǎn)M,AC交BE于點(diǎn)N.圖14-2-115求證:△ADM≌△AEN.[答案:略]教師點(diǎn)撥:要證明△ADM≌△AEN,我們?nèi)菀讓ふ业降臈l件是∠ADC=∠AEB=90°,其他條件都是未知的.考慮到AD=AE,∠DAM=∠EAN都可通過(guò)△ADC≌△AEB得到,故可考慮先證明△ADC≌△AEB.尋找未知的等邊或等角時(shí),?？紤]轉(zhuǎn)移到其他三角形中,利用三角形全等來(lái)進(jìn)行證明.學(xué)生活動(dòng):在教師的點(diǎn)撥和引導(dǎo)下,學(xué)生自主探究答案.1.使學(xué)生準(zhǔn)確把握直角三角形全等的所有判定方法.2.該環(huán)節(jié)不僅進(jìn)一步鞏固了新知識(shí),而且有效地拓展了學(xué)生的知識(shí)面和綜合運(yùn)用三角形全等的判定方法解決問(wèn)題的能力.活動(dòng)三:課堂總結(jié)反思【當(dāng)堂訓(xùn)練】1.滿(mǎn)足下列條件的兩個(gè)直角三角形不全等的是 (D)A.兩條直角邊分別相等 B.斜邊和一銳角分別相等C.斜邊和一條直角邊分別相等 D.兩個(gè)銳角分別相等活動(dòng)三:課堂總結(jié)反思2.如圖14-2-116,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,則△ADB與△ADC全等(填“全等”或“不全等”),依據(jù)為HL.

圖14-2-116圖14-2-1173.如圖14-2-117所示,在四邊形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,則∠BCD=110°.

4.如圖14-2-118,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF.求證:Rt△ABE≌Rt△CBF.圖14-2-118證明:∵∠ABC