§6.2圖形的相似五年中考考點(diǎn)1相似與位似的有關(guān)概念1.(2021重慶A卷,4,4分)如圖,△ABC與△DEF位似,點(diǎn)O是它們的位似中心,其中OE=2OB,則△ABC與△DEF的周長之比是 ()A.1∶2 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶9答案A∵△ABC與△DEF位似,∴△OBC∽△OEF,且OBOE=BCEF=12,∴△ABC與△DEF2.(2020遼寧營口,6,3分)如圖,在△ABC中,DE∥AB,且CDBD=32,則CECA的值為 A.35 B.23 C.45答案A∵CDBD=32,∴設(shè)CD=3x,BD=2x(x>0).∵DE∥AB,∴CECA=CDCB=3x33.(2020重慶A卷,8,4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原點(diǎn)為位似中心,在原點(diǎn)的同側(cè)畫△DEF,使△DEF與△ABC成位似圖形,且相似比為2∶1,則線段DF的長度為 ()A.5 B.2 C.4 D.25答案D由題可知:AB=1,BC=2,AC=AB2+BC2=12+22=5,因?yàn)椤鱀EF與△ABC成位似圖形,且相似比為2∶1,4.(2020四川成都,9,3分)如圖,直線l1∥l2∥l3,直線AC和DF被l1,l2,l3所截,AB=5,BC=6,EF=4,則DE的長為()A.2 B.3 C.4 D.10答案D∵l1∥l2∥l3,∴由平行線分線段成比例可得DEEF=AB∵AB=5,BC=6,EF=4,∴DE4=56,∴DE=56×4=1035.(2020寧夏,17,6分)在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,3),B(4,1),C(1,1).(1)畫出△ABC關(guān)于x軸成軸對稱的△A1B1C1;(2)畫出△ABC以點(diǎn)O為位似中心,位似比為1∶2的△A2B2C2.解析(1)正確畫出△A1B1C1如圖. (3分)(2)正確畫出△A2B2C2如圖. (6分)考點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定1.(2020廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū),9,3分)如圖,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一邊在BC上,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,AD交EF于點(diǎn)N,則AN的長為 ()A.15 B.20 C.25 D.30答案B在正方形EFGH中,EF∥HG,EF=EH,易證AN⊥EF,所以EH=ND,令A(yù)N=x,則EF=EH=ND=60-x,由EF∥HG可得△AEF∽△ABC,故ANAD=EFBC,即x60=60-x120,解得2.(2020海南,12,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,點(diǎn)E、F在AD邊上,BF和CE交于點(diǎn)G,若EF=12AD,則圖中陰影部分的面積為 (A.25 B.30 C.35 D.40答案C如圖,過點(diǎn)G作GP⊥BC于P,延長PG交EF于Q,∵AD∥BC,∴△EFG∽△CBG,∴PG∶GQ=BC∶EF=AD∶12AD=2∶1又∵PQ=AB=6,∴PG=4,GQ=2,∴S△BCG=12×10×4=20,S△EFG=12∵S矩形ABCD=6×10=60,∴S陰影=60-20-5=35.故選C.3.(2020云南,11,4分)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是CD的中點(diǎn),則△DEO與△BCD的面積的比等于 ()A.12 B.14 C.16答案B在?ABCD中,BO=DO,E是CD的中點(diǎn),∴OE∥BC,OE=12BC,∴△DOE∽△DBC,∴S△DEOS△BCD=OE4.(2021吉林,13,3分)如圖,為了測量山坡的護(hù)坡石壩高,把一根長為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁,量出竿上AD長為1m時(shí),它離地面的高度DE為0.6m,則壩高CF為m.

答案2.7解析∵DE∥CF,∴∠DEA=∠CFA=90°.又∵∠DAE=∠CAF,∴△ADE∽△ACF,∴ADAC=DE∵AD=1m,AC=4.5m,DE=0.6m,∴14.5=0.6CF,∴CF5.(2021內(nèi)蒙古包頭,17,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點(diǎn)B作BD⊥CB,垂足為B,且BD=3,連接CD,與AB相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN⊥CB,垂足為N.若AC=2,則MN的長為.

答案6解析∵M(jìn)N⊥BC,∴∠MNB=∠MNC=90°,∴∠MNB=∠ACB=90°.又∵∠MBN=∠ABC,∴△MNB∽△ACB,∴MNAC=BNBC,∴MN2=BNBC,∴∵BD⊥CB,∴∠DBC=90°,∴∠MNC=∠DBC=90°.又∵∠MCN=∠DCB,∴△MNC∽△DBC,∴MNDB=CNCB,∴MN3∴MN=3CNCB,則2BN∴BN=32CN∴BC=BN+CN=32CN+CN=52故MN=3CNCB=3CN6.(2021云南,12,3分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是BC,AC的中點(diǎn),AD與BE相交于點(diǎn)F,若BF=6,則BE的長是.

答案9解析在△ABC中,∵點(diǎn)D,E分別是BC,AC的中點(diǎn),DE=12AB,∴DE∥AB∴△DEF∽△ABF,∴DEAB=EFBF=12,∴EF=1∴BE=BF+EF=9.7.(2021四川南充,15,4分)如圖,在△ABC中,D為BC上一點(diǎn),BC=3AB=3BD,則AD∶AC的值為.

答案3解析∵BC=3AB=3BD,∴BCAB=ABBD=3,又∠B=∠B,∴△ABC∽△∴ADAC=ABBC=解題關(guān)鍵根據(jù)BC=3AB=3BD推導(dǎo)出△ABC∽△DBA是解答本題的關(guān)鍵.8.(2021湖北黃岡,18,7分)如圖,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.(1)求證:△ABC∽△DEC;(2)若S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,求EC的長.解析(1)∵∠BCE=∠ACD,∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠DCE=∠ACB.又∵∠A=∠D,∴△ABC∽△DEC.(2)∵△ABC∽△DEC,∴S△ABC∶S△DEC=BC2∶CE2.又∵S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,∴CE=9.9.(2021江蘇南京,20,8分)如圖,AC與BD交于點(diǎn)O,OA=OD,∠ABO=∠DCO,E為BC延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)E作EF∥CD,交BD的延長線于點(diǎn)F.(1)求證:△AOB≌△DOC;(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的長.解析(1)證明:在△AOB和△DOC中,∠∴△AOB≌△DOC(AAS).(2)由(1)得△AOB≌△DOC,∴AB=DC=2,∵BC=3,CE=1,∴BE=BC+CE=4,∵EF∥CD,∴△BCD∽△BEF,∴DCFE=BCBE,即2EF=34,解得10.(2021浙江杭州,23,12分)如圖,銳角三角形ABC內(nèi)接于☉O,∠BAC的平分線AG交☉O于點(diǎn)G,交BC邊于點(diǎn)F,連接BG.(1)求證:△ABG∽△AFC;(2)已知AB=a,AC=AF=b,求線段FG的長(用含a,b的代數(shù)式表示);(3)已知點(diǎn)E在線段AF上(不與點(diǎn)A,點(diǎn)F重合),點(diǎn)D在線段AE上(不與點(diǎn)A,點(diǎn)E重合),∠ABD=∠CBE,求證:BG2=GE·GD.解析(1)證明:因?yàn)锳G平分∠BAC,所以∠BAG=∠FAC.又因?yàn)椤螱=∠C,所以△ABG∽△AFC.(2)由(1),知ABAF=AG因?yàn)锳C=AF=b,所以AG=AB=a,所以FG=AG-AF=a-b.(3)因?yàn)椤螩AG=∠CBG,∠BAG=∠CAG,所以∠BAG=∠CBG.因?yàn)椤螦BD=∠CBE,所以∠BDG=∠BAG+∠ABD=∠CBG+∠CBE=∠EBG.又因?yàn)椤螪GB=∠BGE,所以△DGB∽△BGE,所以GDBG=BG所以BG2=GE·GD.三年模擬A組基礎(chǔ)題組一、選擇題(每小題3分,共12分)1.(2021黑龍江哈爾濱松北一模,10)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,點(diǎn)E在BC邊上,過點(diǎn)D作DG∥BC,交AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EH∥AB,交AC于點(diǎn)H,DG的延長線與EH的延長線交于點(diǎn)F,則下列式子一定正確的是()A.ADBD=DGBC B.GFC.FHAD=GHAG D.HE答案C∵DG∥BC,∴ADAB=DGBC,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;∵DG∥BC,∴GFEC=GHHC,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;∵EH∥AB,∴FHAD=GHAG,故C選項(xiàng)正確;∵EH∥AB,∴HEAB=EC2.(2021遼寧大連甘井子一模,8)如圖,矩形AOBC各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3),O(0,0),B(4,0),C(4,3),以原點(diǎn)O為位似中心,將這個(gè)矩形縮小為原來的12,則點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是 (A.2,32C.(-4,-3) D.2,3答案D∵以原點(diǎn)O為位似中心,將矩形AOBC縮小為原來的12,C(4,3∴點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為12×4,12×3或-12×4即2,32故選D.3.(2021重慶渝中二調(diào),9)如圖,已知矩形ABCD與矩形EFGO是位似圖形,點(diǎn)P是位似中心,若點(diǎn)B、F的坐標(biāo)分別為(4,3)、(-2,1),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ()A.0,23 B.(0,1) C.0答案D∵點(diǎn)B、F的坐標(biāo)分別為(4,3)、(-2,1),∴EF=2,AB=4,AE=3-1=2,∵矩形ABCD與矩形EFGO是位似圖形,∴EF∥AB,∴△EPF∽△APB,∴EPAP=EFAB,即EP2解得EP=23,∴OP=1+23=則點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,故選D.4.(2021黑龍江哈爾濱平房二模,10)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別為AB,AC邊上的點(diǎn),且DE∥BC,BE交DC于點(diǎn)O,連接AO并延長交DE于點(diǎn)G,交BC邊于點(diǎn)F,則下列結(jié)論中一定正確的是 ()A.ADAB=AEEC B.AGC.ODOC=AEAC D.AG答案C∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,△DEO∽△CBO.∴DEBC=AEAC,DEBC=ODOC.∴故選C.二、填空題(每小題3分,共12分)5.(2021遼寧葫蘆島龍港一模,11)兩個(gè)相似三角形對應(yīng)角平分線的比為4∶3,那么這兩個(gè)三角形的面積的比是.

答案16∶9解析∵兩個(gè)相似三角形對應(yīng)角平分線的比為4∶3,∴它們的相似比為4∶3,∴它們的面積比為16∶9.6.(2020遼寧鞍山鐵東一模,13)如圖,在平面直角坐標(biāo)系第一象限中,線段AB、CD是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,且相似比為13,AB⊥x軸,點(diǎn)A、點(diǎn)C在x軸上,AC=CD=6,則B點(diǎn)坐標(biāo)為答案(3,2)解析由題意得,△OAB∽△OCD,相似比為13∴OAOC=ABCD=13,即OAOA+6解得OA=3,AB=2,∵B點(diǎn)在第一象限,∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2).7.(2021四川成都青羊二診,14)如圖,線段AB=10cm,用尺規(guī)作圖法按如下步驟作圖:(1)過點(diǎn)B作AB的垂線,并在垂線上取BC=12AB(2)連接AC,以點(diǎn)C為圓心,CB為半徑畫弧,交AC于點(diǎn)E,以點(diǎn)A為圓心,AE為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)D,則點(diǎn)D為線段AB的黃金分割點(diǎn).那么線段AD的長度約為cm.(結(jié)果保留兩位小數(shù),參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236)

答案6.18解析由作圖得△ABC為直角三角形,AE=AD,BC=CE,∴AC=BC2+AB∴AD=AE=55-5≈6.18(cm).8.(2021吉林長春寬城一模,12)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,∠ADE=∠C,四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍.若DE=1.5,則BC的長為.

答案3解析∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∵四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍,∴S△ABC=S△ADE+3S△ADE=4S△ADE,∴S△ADES△ACB=14∴BC=2DE=3.三、解答題(共21分)9.(2021江西南昌一模,14)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,∠ABC=∠ACD.(1)求證:△ABC∽△ACD;(2)若AD=2,AB=8,求AC的長.解析(1)證明:∵∠ABC=∠ACD,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD.(2)∵△ABC∽△ACD,∴ACAD=ABAC,即AC2∴AC=4.10.(2020北京朝陽一模,19)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,DE⊥AC于點(diǎn)E.求證:∠BAD=∠CDE.證明∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD⊥BC,DE⊥AC,∴∠ADB=∠DEC=90°,∴△ADB∽△DEC,∴∠BAD=∠CDE.11.(2020上海靜安一模,23)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在線段OB上,AE的延長線與BC相交于點(diǎn)F,OD2=OB·OE.(1)求證:四邊形AFCD是平行四邊形;(2)如果BC=BD,AE·AF=AD·BE,求證:△ABE∽△ACD.證明(1)∵OD2=OB·OE,∴OEOD=OD∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴OAOC=ODOB,∴OAOC=OEOD,又AD∥CF,∴四邊形AFCD是平行四邊形.(2)∵AF∥CD,∴∠AED=∠BDC,△BEF∽△BDC,∴BEBD=BF∵BC=BD,∴BE=BF,∠BDC=∠BCD,∴∠AED=∠BCD.∵∠AEB=180°-∠AED,∠ADC=180°-∠BCD,∴∠AEB=∠ADC.∵AE·AF=AD·BE,∴AEBE=AD∵四邊形AFCD是平行四邊形,∴AF=CD,∴AEBE=ADDC,又∠AEB=∠∴△ABE∽△ACD.B組提升題組一、選擇題(每小題3分,共12分)1.(2021黑龍江哈爾濱道里一模,10)如圖,點(diǎn)D,F在△ABC的邊AB上,點(diǎn)E,G分別在AC,BC上,DE與FG交于點(diǎn)H,DE∥BC,FG∥AC,則下列結(jié)論不正確的是 ()A.ADDB=AEEC B.FDC.FHHG=BDDF D.AD答案C∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC,A選項(xiàng)正確,∵DH∥BG,∴FDDB=FHHG,∵DE∥BC,FG∥AC,∴四邊形HGCE為平行四邊形,∴HG=EC,∴FDDB=FHEC,B由B選項(xiàng)可知,C選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意;∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADDE=ABBC,D選項(xiàng)正確,故選C.2.(2021吉林長春綠園一模,7)如圖,在△ABC中,CD,BE分別是△ABC的邊AB,AC上的中線,則S△DEFS△BCFA.25 B.12 C.13答案D∵CD,BE分別是△ABC的邊AB,AC上的中線,∴D是AB的中點(diǎn),E是AC的中點(diǎn),∴DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,DE=12BC,∴△DEF∽△CBF,∴S△DEFS△BCF=3.(2020四川巴中5月模擬,9)如圖,DE是△ABC的中位線,M是DE的中點(diǎn),CM的延長線交AB于點(diǎn)N,則NM∶MC等于 ()A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5答案B∵DE是△ABC的中位線,M是DE的中點(diǎn),∴DM∥BC,DM=ME=14∴△NDM∽△NBC,∴DMBC=NMCN=∴NMMC=13.4.(2019甘肅定西一診,9)如圖是小孔成像原理的示意圖,根據(jù)圖中所標(biāo)注的尺寸,這支蠟燭在暗盒中所成的像CD的長是 ()A.16cm B.13cm C.12cm 答案D如圖,過O作直線OE⊥AB于E,EO的延長線交CD于F.依題意知AB∥CD,∴OF⊥CD.易知OE=12cm,OF=2cm,∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,由相似三角形的性質(zhì)知OEOF=ABCD,即122=6CD,∴CD=1二、填空題(每小題3分,共12分)5.(2021遼寧葫蘆島龍港一模,17)如圖,在?ABCD中,延長CD至點(diǎn)E,使DE=DC,連接BE與AC交于點(diǎn)F,則BFFE的值是答案1解析在?ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∵DE=DC,∴AB=CD=DE=12CE∵AB∥CD,∴△ABF∽△CEF,∴BFFE=ABCE=6.(2020上海黃浦一模,15)如圖,將一個(gè)裝有水的杯子傾斜放置在水平的桌面上,其截面可看作一個(gè)寬BC=6cm,長CD=16cm的矩形.當(dāng)水面觸到杯口邊緣時(shí),邊CD恰有一半露出水面,那么此時(shí)水面高度是cm.

答案9.6解析如圖所示,作BE與桌面垂直,垂足為點(diǎn)E,由題意可得,CF=12CD=8cm故BF=FC2+BC2易知∠CFB=∠BAE,∠C=∠AEB,故△BFC∽△BAE,∴BCBE=BFAB,即6BE解得BE=9.6cm.故此時(shí)水面的高度為9.6cm.7.(2021福建龍巖二診,15)將含30°角且大小不等的兩個(gè)三角板按如圖擺放,使直角頂點(diǎn)重合,連接AE、BD,則AEBD=答案3解析∵△EDC與△ACB為兩個(gè)直角三角形,且∠DEC=∠BAC=30°,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACB+∠DCA=∠ECD+∠DCA,∴∠DCB=∠ECA,在Rt△ACB中,tan30°=BCAC在Rt△ECD中,tan30°=DCEC∴BCAC=DCEC,∴△ECA∽△∴AEBD=AC在Rt△ACB中,ACBC=tan∠ABC=tan60°=38.(2021天津?yàn)I海一模,17)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,AD平分∠CAB,過點(diǎn)B作BE⊥AB,與AD的延長線相交于點(diǎn)E.若CA=1,則BE的長等于.

答案2-2解析過D作DF⊥AB于F,∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠ABC=45°,∴△DBF是等腰直角三角形,∴DF=BF,∵DC⊥AC,DF⊥AB,AD平分∠CAB,∴CD=