§5.3與圓有關(guān)的計算五年中考考點1弧長、扇形面積的計算1.(2021山西,9,3分)如圖,正六邊形ABCDEF的邊長為2,以A為圓心,AC的長為半徑畫弧,得EC,連接AC,AE,則圖中陰影部分的面積為 ()A.2π B.4π C.33π D.2答案A由題意易知正六邊形的每個內(nèi)角為120°,即∠ABC=∠FAB=∠AFE=120°,又AB=BC=AF=EF,∴∠EAF=∠CAB=30°,∴∠EAC=120°-30°-30°=60°.在△AEF中,EF=AF=2,則AE=2×2×cos30°=23.故S陰影=60π·(23)2.(2021四川成都,10,3分)如圖,正六邊形ABCDEF的邊長為6,以頂點A為圓心,AB的長為半徑畫圓,則圖中陰影部分的面積為 ()A.4π B.6πC.8π D.12π答案D∵正六邊形每一個外角為360°6=60∴正六邊形每一個內(nèi)角為120°.依題意,可知圖中陰影部分為扇形,其中半徑AB=6,圓心角∠BAF=120°,∴S陰影=S扇形ABF=120·π3.(2021內(nèi)蒙古包頭,5,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=2,以點A為圓心,AC的長為半徑畫弧,交AB于點D,交AC于點C,以點B為圓心,AC的長為半徑畫弧,交AB于點E,交BC于點F,則圖中陰影部分的面積為 ()A.8-π B.4-π C.2-π4 D.1-答案D在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=2,∴AC=AB2-BC2=1,∠A∴S陰影=S△ABC-(S扇形CAD+S扇形EBF)=12AC·BC-AC2·π·90360=12×1×2-π×14=1-π思路分析陰影部分的面積為Rt△ABC的面積減去兩個扇形的面積,兩個扇形的半徑相同,圓心角之和為Rt△ABC兩銳角之和,運用扇形面積公式即可求解.4.(2020寧夏,6,3分)如圖,等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=2,以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D,交AC于點E,交BC于點F,則圖中陰影部分的面積是()A.1-π4 B.π-14 C.2-答案A連接CD,則CD⊥AB.∵△ACB是等腰直角三角形,∴CD=ACsin45°=1,∴圖中陰影部分的面積為S△ACB-S扇形ECF=12×2×2-90×π×123605.(2020內(nèi)蒙古包頭,9,3分)如圖,AB是☉O的直徑,CD是弦,點C,D在直徑AB的兩側(cè).若∠AOC∶∠AOD∶∠DOB=2∶7∶11,CD=4,則CD的長為 ()A.2π B.4π C.2π2 D.答案D∵AB是直徑,∴∠AOD+∠DOB=180°,又∵∠AOC∶∠AOD∶∠DOB=2∶7∶11,∴∠AOC=20°,∠AOD=70°,∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°,∴Rt△COD中,CO=DO=22CD=22×4=2∴CD的長為90×π×22180=2π6.(2020四川南充,3,4分)如圖,四個三角形拼成一個風(fēng)車圖形,若AB=2,當(dāng)風(fēng)車轉(zhuǎn)動90°時,點B運動路徑的長度為 ()A.π B.2π C.3π D.4π答案A已知AB=2,所以點B繞點A旋轉(zhuǎn)90°時,點B運動路徑的長=90×π×2180=π,7.(2021云南,7,4分)如圖,等邊△ABC的三個頂點都在☉O上,AD是☉O的直徑,若OA=3,則劣弧BD的長是 ()A.π2 B.π C.3π答案B連接BO,∵等邊△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,∴∠BOD=2∠BAO=60°,∵OB=OA=3,∴l(xiāng)

BD=60π·31808.(2021甘肅武威,17,3分)如圖,從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90°的扇形,則此扇形的面積為dm2.

答案2π解析如圖,連接AB.∵∠C=90°,∴AB為圓形鐵皮的直徑,∴AB=4dm.∵陰影部分為扇形,∴AC=BC.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴2AC2=42,∴AC2=8,∴S扇=π·AC2×90°360°=8π×14=2π(思路分析把握住圓周角定理的推論中的90°的圓周角所對的弦為直徑,結(jié)合勾股定理及扇形面積公式易解本題.9.(2020內(nèi)蒙古呼和浩特,11,3分)如圖,△ABC中,D為BC的中點,以D為圓心,BD長為半徑畫一條弧,交AC于點E,若∠A=60°,∠ABC=100°,BC=4,則扇形BDE的面積為.

答案49解析∵在△ABC中,∠A=60°,∠ABC=100°,∴∠C=180°-60°-100°=20°,∵D為BC的中點,∴BD=DE=CD.∴∠BDE=2∠C=40°,BD=12BC=2∴S扇形BDE=40×π×2210.(2021貴陽,23,12分)如圖,在☉O中,AC為☉O的直徑,AB為☉O的弦,點E是AC的中點,過點E作AB的垂線,交AB于點M,交☉O于點N,分別連接EB,CN.(1)EM與BE的數(shù)量關(guān)系是;

(2)求證:EB=CN;(3)若AM=3,MB=1,求陰影部分圖形的面積.解析(1)BE=2EM.(2)連接EO.∵AC是☉O的直徑,E是AC的中點,∴∠AOE=90°,∴∠ABE=12∠AOE=45∵EN⊥AB,垂足為點M,∴∠EMB=90°,∴∠BEN=∠ABE=45°,∴AE=BN.∵點E是AC的中點,∴AE=EC,∴EC=BN,又∵BC=BC,∴EC-BC=BN-BC,∴EB=CN.(3)連接AE,OB,ON,∵EN⊥AB,垂足為點M,∴∠AME=∠EMB=90°.∵BM=1,由(2)得∠ABE=∠BEN=45°,∴EM=BM=1,又∵BE=2EM,∴BE=2.∵在Rt△AEM中,EM=1,AM=3,∴tan∠EAB=EMAM=33,∴∠EAB∵∠EAB=12∠EOB,∴∠EOB=60°又∵OE=OB,∴△EOB是等邊三角形,∴OE=BE=2.∵EB=CN,∴BE=CN,又∵OE=OC=OB=ON=2,∴△OEB≌△OCN,∴S扇形OCN=60π(2)S△OCN=12×2×2×32=∴S陰影部分=S扇形OCN-S△OCN=13π-3思路分析(1)由題意可得BE=2EM.(2)連接EO,由AC是直徑,E是AC的中點,可得AE=EC,∠ABE=45°,∠ABE=∠BEN,所以AE=BN,故有EC=BN,根據(jù)EC-BC=BN-BC,得EB=CN.(3)連接AE,OB,ON,根據(jù)EN⊥AB,BM=1,結(jié)合(2)可得EM=BM=1,在Rt△AEM中,由tan∠EAB=EMAM,可得∠EAB=30°,由題意可證出△EOB是等邊三角形,△OEB≌△OCN,所以S扇形OCN=60π(2)2360,S△OCN=12×2×211.(2021江西,21,9分)如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AD為直徑,過點C作CE⊥AB于點E,連接AC.(1)求證:∠CAD=∠ECB;(2)若CE是☉O的切線,∠CAD=30°,連接OC,如圖2.①請判斷四邊形ABCO的形狀,并說明理由;②當(dāng)AB=2時,求AD,AC與CD圍成陰影部分的面積.圖1圖2解析(1)證明:∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∴∠D+∠ABC=180°.∵∠EBC+∠ABC=180°,∴∠D=∠EBC.∵AD是☉O的直徑,∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.∵CE⊥AB,∴∠ECB+∠EBC=90°.∴∠CAD=∠ECB.(2)①四邊形ABCO是菱形.理由如下:∵CE是☉O的切線,∴OC⊥EC,即∠OCE=90°.∵AB⊥EC,∴∠E=90°.∴∠OCE+∠E=180°.∴OC∥AE,∴∠ACO=∠BAC.∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAD.∴∠BAC=∠CAD.由(1)知∠CAD=∠ECB,∵∠CAD=30°,∴∠EBC=90°-30°=60°.∵∠BAO=∠BAC+∠CAD=60°,∴∠BAO=∠EBC.∴BC∥AO.∴四邊形ABCO是平行四邊形.∵OA=OC,∴四邊形ABCO是菱形.②∵四邊形ABCO是菱形,AB=2,∴AO=AB=2,AD=4.∵∠CAD=30°,∴CD=2,AC=23.過點C作CF⊥AD于點F,∴CF=3.∴S△AOC=12×2×3=3∵OC∥AE,∴∠DOC=∠BAO=60°.∴S扇形COD=60π×22∴S陰影=3+23π考點2圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖1.(2020云南,13,4分)如圖,正方形ABCD的邊長為4,以點A為圓心,AD為半徑畫圓弧DE得到扇形DAE(陰影部分,點E在對角線AC上).若扇形DAE正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖,則該圓錐的底面圓的半徑是 ()A.2 B.1 C.22 D.答案D在正方形ABCD中,AD=4,∠DAE=45°,∴S扇形DAE=45×π×42360=2π.設(shè)以扇形DAE為側(cè)面展開圖的圓錐底面圓的半徑為r,則4πr=2π,∴r=2.(2020新疆,14,5分)如圖,☉O的半徑是2,扇形BAC的圓心角為60°,若將扇形BAC剪下圍成一個圓錐,則此圓錐的底面圓的半徑為.

答案3解析連接OA,作OD⊥AC于點D.在直角△OAD中,OA=2,∠OAD=12∠BAC=30°則AD=OA·cos30°=3,則AC=2AD=23,則扇形的弧長是60×π×23180設(shè)此圓錐的底面圓的半徑是r,則2πr=233解得r=33故此圓錐的底面圓的半徑為333.(2020遼寧營口,15,3分)一個圓錐的底面半徑為3,高為4,則此圓錐的側(cè)面積為.

答案15π解析由圓錐的底面半徑為3,高為4,可得母線長為5,所以S圓錐側(cè)=3×5×π=15π.4.(2021廣西北部灣經(jīng)濟區(qū),17,3分)如圖,從一塊邊長為2,∠A=120°的菱形鐵片上剪出一個扇形,這個扇形在以A為圓心的圓上(陰影部分),且圓弧與BC,CD分別相切于點E,F,將剪下來的扇形圍成一個圓錐,則圓錐的底面圓半徑是.

答案3解析如圖,連接AF,則AF⊥CD,∵四邊形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠DAB+∠D=180°,即∠D=60°,∴AF=AD·sin60°=3.則圓錐的底面圓周長=120×π×3底面圓半徑為23π35.(2021內(nèi)蒙古呼和浩特,13,3分)已知圓錐的母線長為10,高為8,則該圓錐的側(cè)面展開圖(扇形)的弧長為(用含π的代數(shù)式表示),圓心角為度.

答案12π;216解析由題意可得圓錐的底面圓的半徑r=102-82=6,則所求的弧長為2πr=12π,圓心角為6.(2021黑龍江齊齊哈爾,13,3分)圓錐的底面半徑為6cm,它的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為240°,則該圓錐的母線長為cm.

答案9解析∵圓錐的底面周長為2π×6=12π(cm),∴圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長為12πcm.設(shè)圓錐的母線長為lcm.∴240πl(wèi)180=12π,∴l(xiāng)=9三年模擬A組基礎(chǔ)題組一、選擇題(每小題3分,共9分)1.(2021四川成都外國語學(xué)校二診,8)如圖,AB為☉O的切線,切點為B,連接AO,AO與☉O交于點C,BD為☉O的直徑,連接CD.若∠A=30°,☉O的半徑為2,則圖中陰影部分的面積為 ()A.4π3-3 B.4C.π-3 D.2π3答案A過O點作OE⊥CD于E,∵AB為☉O的切線,∴∠ABO=90°,∵∠A=30°,∴∠AOB=60°,∴∠COD=120°,∠OCD=∠ODC=30°,又∵☉O的半徑為2,∴在Rt△ODE中,OE=1,DE=3,∴CD=2DE=23,∴圖中陰影部分的面積為120×π×22360-12×2故選A.2.(2020四川成都一診,9)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,∠A=60°,OM⊥BC于點M,若OM=2,則劣弧BC的長為 ()A.4π B.43C.83π D.16答案C連接OB、OC,由圓周角定理得,∠BOC=2∠A=120°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OBC=12×(180°-120°)=30°又∵OM⊥BC,∴OB=2OM=4,∴劣弧BC的長=120π×4180=833.(2020云南紅河州開遠模擬,11)如圖,☉O的直徑AB=6,若∠BAC=50°,則劣弧AC的長為 ()A.2π B.8π3 C.3π答案D如圖,連接CO,∵AO=CO,∴∠ACO=∠BAC=50°,∴∠AOC=80°,∴劣弧AC的長為80×π×3180=故選D.二、填空題(每小題3分,共15分)4.(2021黑龍江哈爾濱松北一模,18)已知扇形的圓心角為150°,它所對應(yīng)的弧長為20πcm,則此扇形的半徑是cm.

答案24解析設(shè)扇形的半徑是Rcm,則150πR180=20π,解得5.(2021四川成都都江堰二診,13)如圖,已知某一條傳送帶的轉(zhuǎn)動輪的半徑為30厘米.如果該轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)動120°,那么傳送帶上的物品A被傳送厘米.(結(jié)果保留π)

答案20π解析根據(jù)弧長公式可知,傳送帶上的物品A被傳送的距離為120π×30180=20π(6.(2021吉林長春寬城一模,13)如圖,AB是☉O的直徑,BC切☉O于點B,AC交☉O于點D.若☉O的半徑為3,∠C=40°,則弧BD的長為.(結(jié)果保留π)

答案53解析連接OD,如圖,∵BC切☉O于點B,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵∠A=90°-∠C=90°-40°=50°,∴∠BOD=2∠A=100°,∴弧BD的長=100×π×3180=7.(2021重慶萬州模擬,16)如圖,在菱形ABCD中,BC=4,∠ADC=120°,以A為圓心,AD為半徑畫弧,交AC于點E,過點E作EF∥AB交AD于點F,則陰影部分的面積為.(結(jié)果保留根號與π)

答案4π3解析過F作FH⊥AC于H,∵四邊形ABCD是菱形,BC=4,∴∠DAC=∠BAC,DC∥AB,AB=BC=4,∴∠ADC+∠DAB=180°,∵∠ADC=120°,∴∠DAB=60°,∴∠DAC=∠BAC=30°,∵以A為圓心,AD為半徑畫弧,交AC于點E,AB=4,∴AE=4,∵EF∥AB,∴∠FEA=∠BAC=∠DAC,∴AF=EF,又∵FH⊥AE,AE=4,∴AH=EH=2,∵∠DAC=30°,∠AHF=90°,∴AF=2HF,又AF2=HF2+AH2,∴(2HF)2=HF2+22,解得HF=23∴陰影部分的面積S=S扇形DAE-S△FAE=30π×42=4π3-8.(2021遼寧大連鐵西一模,15)如圖,半徑為6的扇形OAB中,∠AOB=90°,點C為AB上一點,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為點D,E.若∠CED=40°,則圖中陰影部分的面積為.

答案5π解析連接OC,∵∠AOB=90°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴四邊形CDOE是矩形,∴OD=CE,DE=OC,∵∠CED=40°,∴∠DEO=90°-∠CED=90°-40°=50°,在△DOE和△CEO中,OD∴△DOE≌△CEO(SSS),∴∠COB=∠DEO=50°,∴圖中陰影部分的面積=扇形OBC的面積,∵S扇形OBC=50π×∴圖中陰影部分的面積=5π.三、解答題(共21分)9.(2021遼寧葫蘆島龍港一模,23)如圖,在△ABC中,點O是AB邊上一點,OB=OC,∠B=30°,過點A的☉O切BC于點D,CO平分∠ACB.(1)求證:AC是☉O的切線;(2)若BC=12,求☉O的半徑長;(3)求陰影部分的面積.解析(1)證明:∵OB=OC,∠B=30°,∴∠OCB=∠B=30°.又∵CO平分∠ACB,∴∠ACB=2∠OCB=60°.∴∠BAC=90°,∴OA⊥AC,∴AC是☉O的切線.(2)如圖,連接OD,設(shè)OC交☉O于點F.∵☉O切BC于點D,∴OD⊥BC.又∵OB=OC,∠B=30°,BC=12,∴∠COD=∠BOD=60°,CD=12BC=6∵tan∠COD=CDOD,∴OD=CDtan∠COD=6(3)∵OD=23,∠DOF=60°,∴S陰影=S△OCD-S扇形ODF=12×6×23-60π×(10.(2020吉林長春一模,18)如圖,E是Rt△ABC的斜邊AB上一點,以AE為直徑的☉O與邊BC相切于點D,交邊AC于點F,連接AD.(1)求證:AD平分∠BAC;(2)若AE=2,∠CAD=25°,求劣弧EF的長.解析(1)證明:如圖,連接OD,∵☉O與BC相切于點D,∴OD⊥BC,∴∠ODB=90°.∵∠C=90°,∴∠C=∠ODB=90°,∴OD∥AC.∴∠CAD=∠ODA.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠OAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC.(2)如圖,連接OF,∵AD平分∠BAC,且∠CAD=25°,∴∠BAC=2∠DAC=50°,∴∠EOF=2∠EAC=100°,∴劣弧EF的長為100π×1180=11.(2021江西南昌二調(diào),21)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O在斜邊AB上,且AO=AC,連接CO,并延長至D,使∠D=∠OCB,以O(shè)為圓心,OD為半徑畫圓,交DB的延長線于E點.(1)求證:BD=BE;(2)已知AC=1cm,BC=3cm.①連接CE,過B作BF⊥EC于F點,求線段BF的長;②求圖中陰影部分的面積.解析(1)證明:∵AO=AC,∴∠ACO=∠AOC,∵∠D=∠OCB,∠BOD=∠AOC,∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠BOD+∠D,又∵∠ACB=90°,∴∠BOD+∠D=90°,∴OB⊥DE,∴BD=BE.(2)①在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1cm,BC=3cm.∴tan∠ABC=ACBC=13=∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=2cm,∠A=60°,∵OA=AC,∴△AOC為等邊三角形,∴OC=AC=1cm,∠AOC=60°,∴∠D=∠OCB=30°,OB=AB-OA=1cm,∴OD=2OB=2cm,∴CD=OD+OC=3cm,∵∠D=∠OCB,∴BD=BC,又∵BD=BE,∴BC=BE,∴∠BCE=∠BEC,∴∠D+∠BEC=∠OCB+∠BCE=∠DCE=90°,∵BF⊥CE,∴BF∥CD,∵BD=BE,∴BF=12CD=32②連接OE,∵OD=OE,∴∠OED=∠D=30°,∴∠DOE=120°,S陰影=S扇形ODE-S△ODE=120π×22360-3B組提升題組一、選擇題(每小題3分,共9分)1.(2021浙江金華二模,10)如圖,扇形AOB的圓心角是60°,半徑是3,點C為弧AB的中點,過點C作CD∥OB交DA于點D,過點B作BE∥OA交DC的延長線于點E,則圖中陰影部分的面積為 ()A.32 B.3-32 C.答案B連接OC,過C作CF∥OA交OB于F,作CH⊥OB與H,∵點C為弧AB的中點,∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=12×60°=30∵OC=3,∴HC=12OC=3∵CF∥OA,∴∠CFB=∠AOB=60°,∴sin60°=HCCF,∴CF=32∵CD∥OB,∴∠BOC=∠DCO,又∵∠BOC=∠AOC,∴∠DCO=∠AOC,∴OD=CD,∵CD∥OB,CF∥OA,∴四邊形CDOF是菱形,∴OF=OD=CF=1,∴BF=OB-OF=3-1,∵OA=OB,∴AD=BF,∴S陰影=S四邊形BECF=BF·CH=(3-1)×32=3故選B.2.(2020廣西崇左江州一模,9)如圖,在邊長為8的菱形ABCD中,∠DAB=60°,以點D為圓心,菱形的高DF為半徑畫弧,交AD于點E,交CD于點G,則圖中陰影部分的面積是 ()A.18-3π B.18-3πC.323-16π D.183-9π答案C∵四邊形ABCD是邊長為8的菱形,∠DAB=60°,∴AD=AB=8,∠ADC=180°-∠DAB=120°.∵DF是菱形的高,∴DF⊥AB,∴DF=AD·sin60°=8×32=43∴S陰影=S菱形ABCD-S扇形DEG=8×43-120π×(43)3.(2021江蘇鹽城鹽都二模,8)如圖,在扇形OAB中,OC⊥AB于點D,AB=8,將△ODB繞點O點逆時針旋轉(zhuǎn)60°,則線段DB掃過的圖形面積為 ()A.4π3 B.2π C.8π答案C如圖,在扇形OAB中,OC⊥AB于點D,AB=8,∴AD=BD=12AB=4在Rt△OBD中,OB2-OD2=BD2=16,設(shè)△ODB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°后為△OD'B',則△ODB≌△OD'B',∴∠DOD'=∠BOB'=60°,∴S扇形ODD'=60π·ODS扇形OBB'=60π·OB∴S陰影=S扇形OBB'-S扇形ODD'=OB26-OD26π=O故選C.二、填空題(每小題3分,共12分)4.(2021黑龍江哈爾濱南崗一模,17)若一個扇形的弧長為2πcm,面積為2πcm2,則這個扇形的半徑為cm.

答案2解析設(shè)該扇形的弧長為l,半徑為r,面積為S,則S=12lr∴2π=12×2π·r解得,r=2cm.5.(2021吉林長春汽開一模,13)如圖,在正五邊形ABCDE中,AB=2,分別以頂點A、B、C、D、E為圓心,12AB的長為半徑在正五邊形ABCDE內(nèi)作圓弧,則圖中陰影部分圖形的面積為.(結(jié)果保留π答案32解析∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(5-2)×180°=540°,∵AB=2,∴12AB=1∴圖中陰影部分圖形的面積為540×π×126.(2021四川成都錦江二診,22)如圖,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,連接BC,BD,若直徑AB=8,∠CBD=45°,則陰影部分的面積為.

答案4π-8解析∵AB是直徑,AB=8,∴OA=OB=OC=OD=4,∵∠COD=2∠CBD=90°,∴S陰影=S扇形COD-S△COD=90π×427.(2021河南洛陽一模,14)如圖,將半徑為1的半圓O,繞著其直徑的一端點A順時針旋轉(zhuǎn)30°,直徑的另一端點B的對應(yīng)點為B',O的對應(yīng)點為O',則圖中陰影部分的面積是.

答案π2-解析設(shè)AB'與AB交于點D,連接O'D、B'D∵∠B'AB=30°,∴∠AO'D=120°,∵B'A是半圓O'的直徑,∴∠ADB'=90°,又∵∠B'AB=30°,∴B'D=12AB'=1由勾股定理得,AD=B'A2∴圖中陰影部分的面積=30π×22360-60π×12360-12×1×3三、解答題(共24分)8.(2021江西南昌一模,20)如圖1,在△OAB中,AB=2cm,OB=4cm,點A在半徑為23cm的☉O上.(1)求證:直線AB與☉O相切;(2)如圖2,CD切☉O于點C,CD=2cm,連接BD,交☉O于點E,F.①求證:DE=BF;②若E,F兩點重合,如圖3,求陰影部分的面積.解析(1)證明:∵AB=2cm,OB=4cm,OA=23cm.∴AB2+OA2=OB2.∴∠OAB=90°.又∵點A在圓上,∴直線AB與☉O相切.(2)①證明:連接OC、OD.作OH⊥EF于H,如圖,易知EH=FH.∵AB=2cm,CD=2cm.∴AB=CD.∵CD切☉O于點C.∴∠OCD=90°.在△OAB與△OCD中,AB∴△OAB≌△OCD(SAS).∴OB=OD.∵OH⊥EF.∴BH=DH.∴BH-FH=DH-EH.∴DE=BF.②如圖,∵OB=OD,DE=BF.∴OE⊥BD.∴BD與☉O相切.∴AB=BE=2cm,∠ABO=∠EBO.∴∠AOB=∠EOB.∵sin∠AOB=ABOB=1∴∠AOB=30°.∴∠EOB=30°.∴S陰影=12×2×23-30π×(23)23609.(2021云南曲靖質(zhì)檢,21)如圖,BE是☉O的直徑,點A、D是☉O上的兩點,連接AE、AD、DE、AB,過點A作射線交BE的延長線于點C,使∠EAC=∠EDA.(1)求證:AC是☉O的切線;(2)若CE=AE=3,求陰影部分的面積.解析(1)證明:連接OA,過O作OF⊥AE于F,則∠AFO=90°,∴∠EAO+∠AOF=90°,又∵OA=OE,∴∠EOF=∠AOF=12∠AOE∵∠EDA=12∠AOE∴∠EDA=∠AOF,又∵∠EAC=∠EDA,∴∠EAC=∠AOF,∴∠EAO+∠EAC=90°,∴∠CAO=90°,∴OA⊥AC,∴AC是☉O的切線.(2)∵CE=AE=3,∴∠C=∠EAC,∵∠EAC+∠C=∠AEO,∴∠AEO=2∠EAC,∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAO,∴∠EAO=2∠EAC,又∵∠EAO+∠EAC=90°,∴∠EAC=30°,∠EAO=60°,∴△OAE是等邊三角形,∴OA=AE,∠EOA=60°,∴OA=3,∴S扇形AOE=60π×在Rt△OAF中,OF=OA·sin∠EAO=3×32=3∴S△AOE=12AE·OF=12×3×332=∴陰影部分的面積=32π-910.(2019四川宜賓翠屏一診,23)如圖,AB是☉O的直徑,∠BAC=90°,四邊形EBOC是平行四邊形,EB交☉O于點D,連接CD并延長交AB的延長線于點F.(1)求證:CF是☉O的切線;(2)若∠F=30°,EB=8,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號和π)解析(1)證明:連接OD,如圖.∵四邊形EBOC是平行四邊形,∴OC∥BE,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵OB=OD,∴∠3=∠4,∴∠1=∠2.在△ODC和△OAC中,OD∴△ODC≌△OAC,∴∠ODC=∠OAC=90°,∴OD⊥CD,又OD為☉O的半徑,∴CF是☉O的切線.(2)∵∠F=30°,OD⊥CF,∴∠FOD=60°,∴∠1=∠2=60°.∵四邊形EBOC是平行四邊形,∴OC=BE=8.在Rt△AOC中,∠AOC=60°,∴OA=12OC=4,AC=3OA=43∴S陰影=S四邊形AODC-S扇形AOD=2×12×4×43-=163-163π一年創(chuàng)新一、填空題1.(新背景)(2021浙江寧波,14,5分)抖空竹在我國有著悠久的歷史,是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如示意圖,AC,BD分別與☉O相切于點C,D,延長AC,BD交于點P.若∠P=120°,☉O的半徑為6cm,則圖中CD的長為cm.(結(jié)果保留π)

答案2π解析連接OC,OD.∵AC,BD分別與☉O相切于點C,D,∴∠OCP=∠ODP=90°.在四邊形OCPD中,∠P=120°,∴∠COD=360°-90°-90°-120°=60°.又∵☉O的半徑為6cm,∴CD的長為60·π·6180思路分析要求CD的長,先確定CD所對的圓心角度數(shù),再由弧長公式l=nπr2.(新考法)(2021河南,14,3分)如圖所示的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點A,B,D均在小正方形的頂點上,且點B,C在AD上,∠BAC=22.5°,則BC的長為.

答案5解析如圖,連接AD,取AD的中點E,易知點B為AD的中點,則圓心在射線BE上,記圓心為點O,連接OD,OC,則OE⊥AD,DE=12AD=4,BE=2設(shè)☉O的半徑為r,在Rt△ODE中,OD2=OE2+DE2,∴r2=(r-2)2+42,∴r=5,∵∠BOC=2∠BAC,∠BAC=22.5°,∴∠BOC=45°,∴l(xiāng)

BC=45π×5一題多解根據(jù)點A,B,D所在格點的位置,作出線段AD,AB的垂直平分線,它們的交點即為圓心O,可得圓的半徑r=5,又∠BOC=2∠BAC=45°,代入弧長公式求得BC的長為45π×51803.(新背景)(2020廣東,17,4分)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑,一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠,等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點,模型如圖,∠ABC=90°,點M,N分別在射線BA,BC上,MN的長度始終保持不變,MN=4,E為MN的中點,點D到BA,BC的距離分別為4和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為.

答案25-2解析連接BE,在此滑動過程中,MN的長度始終保持不變,∠ABC=90°,∴BE=12MN,長度也始終保持不變.顯然點E在以點B為圓心,12MN的長為半徑的圓弧上.如圖,當(dāng)B、D、E三點共線時,DE∵∠ABC=90°,MN=4,E為MN的中點,∴BE=2.∵點D到BA,BC的距離分別為4和2,∴BD=42+2∴DE最小值=BD-BE=25-2.解題關(guān)鍵確定貓與老鼠的距離DE的最小值需判斷點E的運動軌跡,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半確定點E在以點B為圓心,12MN的長為半徑的圓弧上是解題的關(guān)鍵4.(新角度)(2020山東濰坊,18,3分)如圖,四邊形ABCD是正方形,曲線DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧組成的.其中:DA1的圓心為點A,半徑為A1B1的圓心為點B,半徑為B1C1的圓心為點C,半徑為C1D1的圓心為點D,半徑為DCDA1,A1B1,B1C1,C1D1,…的圓心依次按點A,B,C,D循環(huán)答案4039π解析l

A1B1=90×π×2180=π,l

B1C1=32π,l

C1D1=2π,l

D1A2=52π,l

A2B2=3π,……,類似地,l

A3B3=5π,l5.(數(shù)學(xué)文化)(2020湖南株洲,18,4分)據(jù)《漢書律歷志》記載:“量者,龠(yuè)、合、升、斗、斛(hú)也”.斛是中國古代的一種量器,“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉”.意思是說:“斛的底面為:正方形外接一個圓,此圓外是一個同心圓”,如圖所示.問題:現(xiàn)有一斛,其底面的外圓直徑為兩尺五寸(即2.5尺),“庣旁”為兩寸五分(即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺),則此斛底面的正方形的周長為尺.(結(jié)果用最簡根式表示)

答案42解析如圖,∵四邊形CDEF為正方形,∴∠D=90°,CD=DE,∴CE為直徑,∠ECD=45°,由題意得AB=2.5,∴CE=2.5-0.25×2=2,∴CD=CE·cos∠ECD=2×22=2∴正方形CDEF的周長為42尺.6.(新背景)(2021湖北宜昌,15,3分)“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時廣泛使用的一種圖形.如圖,以邊長為2厘米的等邊三角形ABC的三個頂點為圓心,以邊長為半徑畫弧,三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”,該“萊洛三角形”的面積為平方厘米.(圓周率用π表示)

答案(2π-23)解析如圖,在等邊△ABC中,過A作AD⊥BC于D.∵AB=AC=BC=2厘米,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∴BD=CD=1厘米,AD=3BD=3厘米,∴S△ABC=12BC·AD=3(平方厘米),S扇形BCA=60×π×22360=23π(平方厘米),∴“萊洛三角形”的面積=3×23π-2×二、解答題7.(新背景)(2021河南,20,9分)