20232024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考選擇題壓軸題十四大題型專(zhuān)練【人教A版（2019）】題型1題型1求在曲線上一點(diǎn)的切線方程、過(guò)一點(diǎn)的切線方程1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2?x)+f(x)=0，且當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)=x?1，則曲線y=f(x)在點(diǎn)?9A．4x?4y+11=0 B．4x+4y+11=0C．4x?4y+7=0 D．4x+4y+7=0【解題思路】利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性即可.【解答過(guò)程】f(2?x)+f(x)=0可以得f(x)關(guān)于1,0中心對(duì)稱(chēng)且f(x)偶函數(shù)，所以f(x)的周期為4.∴ff∵f(2?x)+f(x)=0∴f′(x)=f′(2?x)∴所以切線方程：y?即：4x?4y+11=0故選：A.2．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中校考期末）已知函數(shù)f(x)=(x?3)ex，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,a)且與曲線y=f(x)相切的直線有三條，則（A．?3<a<?e B．a(chǎn)>?e C．a(chǎn)<?3 D．a(chǎn)<?3【解題思路】設(shè)切點(diǎn)為x0,x0?3ex【解答過(guò)程】f′x=x?2ex，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,a)且與曲線y=f(x)相切的切點(diǎn)為x0化簡(jiǎn)有a=x0?3設(shè)gx=?x2+3x?3ex，則g′x=?x2+xex，令g′x=0有x=0或又g0=?3，g1=?e，且g?1=?故選：A.3．（2023下·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+alnx有兩條與直線y=2x平行的切線，且切點(diǎn)坐標(biāo)分別為PA．0,22 B．0,4 C．22,+【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出fx=x2+alnx在P,Q【解答過(guò)程】根據(jù)題意可知fx=x2+a易得f′由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)為Px1,f同理可得，Q點(diǎn)處切線斜率為2x又因?yàn)閮蓷l切線與直線y=2x平行，可得2x1所以x1,x所以Δ=(?2)2?4×2a>0可得0<a<1所以1x1+1即1x1+1x故選：D.4．（2023下·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xex，過(guò)點(diǎn)a,bA．當(dāng)a=0，b=0時(shí)，有且僅有一條切線B．當(dāng)a=0時(shí)，可作三條切線，則0<b≤C．當(dāng)a=2，b>0時(shí)，可作兩條切線D．當(dāng)0<a<2時(shí)，可作兩條切線，則b的取值范圍為4?ae2【解題思路】分點(diǎn)0,0為切點(diǎn)、不為切點(diǎn)兩種情況，求出切線方程可判斷A；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x0,y0，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程為y?x0ex0=1?x0ex0x?x0，當(dāng)a=0時(shí)，b=x02e【解答過(guò)程】A：當(dāng)a=0,b=0時(shí)，點(diǎn)0,0在f(x)=xex若0,0為切點(diǎn)，則切線斜率為k=f′(0)=1若0,0不為切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x0,y切線斜率為y0x0=1?x0B：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x0,y0，所以則切線的斜率為k=1?x0當(dāng)a=0時(shí)，b?x0e設(shè)gx=x當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，g當(dāng)x∈2,+∞時(shí)，g′當(dāng)x∈0,2時(shí)，g′x所以x=0時(shí)gx有極小值，為g0=0，x=2時(shí)gx>0時(shí)fx=x當(dāng)a=0時(shí)，若有三條切線，則y=b與f(x)=xexC：當(dāng)a=2時(shí)，由切線方程得b?x0e設(shè)?x=x所以?x單調(diào)遞減，且?如圖，所以當(dāng)a=2，b>0時(shí)，y=b與?xD：當(dāng)0<a<2時(shí)，由切線方程為y?x0ex0設(shè)tx=x因?yàn)?<a<2，所以當(dāng)x∈a,2時(shí)t′x所以當(dāng)x∈?∞,a時(shí)t所以當(dāng)x∈2,+∞時(shí)t′x=a時(shí)，tx有極小值為tx=2時(shí)，tx有極大值為ttx若有兩條切線，則b的取值為4?ae2或故選：AD.題型2題型2兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問(wèn)題5．（2023下·遼寧阜新·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條不同的直線與曲線fx=lnx,gxA．－2 B．－1 C．1 D．2【解題思路】設(shè)曲線f(x)=lnx上切點(diǎn)為(x1,y1)，曲線g(x)=ex上切點(diǎn)為(x【解答過(guò)程】設(shè)曲線f(x)=lnx上切點(diǎn)為(x1,f′(x)=1因此有1x1=lnx設(shè)g(x)=xlng′(x)=lnx+1?1?1g′(1)=?1<0，因此g′(x)在(1,3)也即在(0,+∞)上有唯一解x0，0<x<x0時(shí)，g′(x)<0lnx0?g(x0)=g(1因此g(x)=0在(0,x0)設(shè)g(x)=0的解分別為a,b，即g(a)=alna?a?lna?1=0，又g(1a）=1所以方程x1lnx1?于是切線方程為y?lnp=1p(x?p)，在y軸上截距為ln兩截距和為lnp?1+故選：A．6．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線f(x)=ax(a>1)與曲線g(x)=logaA．e B．e2 C．e1e【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出其公切線，計(jì)算即可.【解答過(guò)程】易得f′(x)=ln則由題意可得ax0且ln?令lnx0記?t=2lnt+t?1t，則?′t=t+12t2故選：C.7．（2023下·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)對(duì)于曲線y=f(x)=?ex?x上任一點(diǎn)處的切線l1，總存在曲線y=g(x)=3ax+2cosx上一點(diǎn)處的切線l2A．[?13,2] B．[?13,【解題思路】由題設(shè)兩曲線任意一點(diǎn)切線斜率分別為f′(m)=?em?1、g【解答過(guò)程】由f′(x)=?ex?1由g′(x)=3a?2sinx，則而兩曲線上總存在切線l1、l2有l(wèi)1而sinn∈[?1,1]，即3a?2sinn∈[3a?2,3a+2]所以{3a?2≤03a+2≥1，解得故選：B.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于三次函數(shù)fx，若y=fx在0,0處的切線與gx=xfxA．f′x=2 B．f′1=0 C．fx【解題思路】根據(jù)題意設(shè)出三次函數(shù)的解析式f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，由題意0,0在fx上得d=0，切線經(jīng)過(guò)0,0c=2，再求出函數(shù)gx，由g(1)與g'(1)得a與b，即可得到三次函數(shù)f【解答過(guò)程】設(shè)三次函數(shù)f(x)=a∵0,0在f∴f(0)=d=0∵切線經(jīng)過(guò)0,0與1,2，故切線斜率為k=2?0f'f'gx=xfxg'(x)=4axa+b+2=2f(x)=?2xf'故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；f′fxf(2f(x)+f(故fx圖象關(guān)于1故選：BD.題型3題型3與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的新定義問(wèn)題9．（2023上·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）曲率是刻畫(huà)曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，曲線的曲率定義如下：記f′x是fx的導(dǎo)函數(shù)，f″x是f′x的導(dǎo)函數(shù)，那么曲線y=fx在點(diǎn)x0A．0 B．69 C．22 【解題思路】根據(jù)曲線的曲率定義，對(duì)函數(shù)fx=sinx+cosx求導(dǎo)得出f′x，再對(duì)【解答過(guò)程】對(duì)函數(shù)fx=sin對(duì)f′x求導(dǎo)，得f″所以曲線fx=sinx+cos故選：D.10．（2023下·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）給出新定義：設(shè)f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，f″x是f′x的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″x=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱(chēng)點(diǎn)x0,fA．1?π24 B．?π24 C．【解題思路】二次求導(dǎo)，根據(jù)拐點(diǎn)定義求得x0，然后代入函數(shù)f(x)【解答過(guò)程】由題可知f′x=2結(jié)合題意知?4sin2x又?π4<x0故選：B.11．（2023下·四川綿陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）定義:若函數(shù)fx在a,b上存在x1,x2(a<x1<x2<b)滿(mǎn)足f′xA．函數(shù)fx=xB．函數(shù)fx=1C．函數(shù)fx=x+sinD．若函數(shù)fx為a,b上的“對(duì)望函數(shù)”，則fx在【解題思路】A選項(xiàng)，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而判斷函數(shù)fx=x2+mx+n在任意區(qū)間a,b上都不可能是“對(duì)望函數(shù)”；B選項(xiàng)，由題意求導(dǎo)后得到方程，求出x1=3?33,【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，f′故在區(qū)間a,b上不可能存在x1,x2，故函數(shù)fx=xB選項(xiàng)，f′x=令f′x=又0<x1<x2C選項(xiàng)，f′x=1+令f′x=1+因?yàn)閥=cosx在x∈π畫(huà)出函數(shù)圖象如下：

可知存在x1,x所以函數(shù)fx=x+sinD選項(xiàng)，函數(shù)fx為a,b上的“對(duì)望函數(shù)”，則f′x則函數(shù)fx在a,b故選：D.12．（2023上·山西太原·高二山西大附中?？计谀┙o出定義：若函數(shù)fx在D上可導(dǎo)，即f′x存在，且導(dǎo)函數(shù)f′x在D上也可導(dǎo)，則稱(chēng)fx在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″x=f′x′A．fx=sinC．fx=?x【解題思路】求出每個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)fx的二階導(dǎo)函數(shù)f″x，并驗(yàn)證f【解答過(guò)程】對(duì)于A，f′x=當(dāng)x∈0,π4時(shí)，?π4對(duì)于B，f′x=1x對(duì)于C，f′x=?3x2+2，對(duì)任意的對(duì)于D，f′x=x+1ex，對(duì)任意的故選：AD．題型4題型4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性13．（2023上·陜西榆林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=13x3+16A．?∞,12 B．?∞,433【解題思路】根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】由題意知f′x=，即a≤x2+令gx=x2+所以當(dāng)1<x<2時(shí)，g′x<0，當(dāng)2<x<3所以gx在1,2上單調(diào)遞減，在2,3所以gx所以a≤12，即a的取值范圍是?∞故選：C.14．（2023上·山東·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足520a+1220a=1320a，b=e0.1?1，A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．b>c>a D．b>a>c【解題思路】構(gòu)造fx=513x+1213x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到a=【解答過(guò)程】設(shè)fx=5520a+1220a=1320a，即5設(shè)gx=e取?x?′x∈0,π4，cosx?sin?0=0，?xy=cosx>0在故gx在0,π4上單調(diào)遞增，g當(dāng)x∈0,π2時(shí)，tan綜上所述：e0.1?1>tan故選：C.15．（2023上·江西上饒·高三?？茧A段練習(xí)）已知f′x是函數(shù)fxx∈R的導(dǎo)數(shù)，且?x∈R，f′x<1A．?∞,0 B．0,+∞ C．?【解題思路】利用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】gx=fx?x，因?yàn)閷?duì)函數(shù)gx求導(dǎo)，得g因?yàn)閒′x<1所以函數(shù)gx因此由fx故選：C.16．（2023下·江西撫州·高二?？计谀┮阎x在(0,+∞)的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿(mǎn)足xf′(x)?f(x)=xlnxA．f(x)>0B．若f(x)+x>2e，則C．f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增D．任意x1，x2【解題思路】由xf′(x)?f(x)=xlnx，得(f(x)x)′=(12ln2x)′，推出f(x)x=12ln2【解答過(guò)程】解：由xf′(x)?f(x)=xlnx從而得f(x)x=12ln由f(e)=e2+Ce=e，得C=12又f′(x)=12(lnx+1)令g(x)=f(x)+x，則g(x)在(0,+∞)上遞增，不等式f(x)+x>2e?g(x)>g（e），得x∈(e,+∞)，故B正確；由f″(x)=lnx+1x得，當(dāng)x∈(0,??1所以f(x)的圖象在(0,??1e)部分上凸，在故選：ABC．題型5題型5利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值17．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=13x3?aA．1,54 B．1,54 C．【解題思路】根據(jù)f′x的零點(diǎn)、fx【解答過(guò)程】fx=1f′x=x2?2ax+1的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為當(dāng)a≤0時(shí)，在區(qū)間0,+∞上，f′x沒(méi)有極值點(diǎn)，所以a>0，要使fx在區(qū)間0,2上存在極小值點(diǎn)，則f'x則需a>0Δ=4a所以a的取值范圍是1,5故選：A.18．（2023下·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=1exA．fx在1,+∞上有最小值 B．若a=1C．f?e+fe=1 【解題思路】對(duì)于AB，求導(dǎo)后根據(jù)a的取值范圍或者取特殊值，分別分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷最值情況；對(duì)與C，D，計(jì)算f?x+fx【解答過(guò)程】對(duì)于A，f′x=?ex故fx在R上單調(diào)遞減，則fx在當(dāng)a≥12時(shí)，故fx在R上單調(diào)遞增，則fx在對(duì)于B，當(dāng)a=14時(shí)，fx對(duì)于C，D，f?x故fx關(guān)于點(diǎn)0,12故選：C.19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx滿(mǎn)足f′x?fxtanA．fx的定義域?yàn)閤∈Rx≠kπ C．fx在x=7π6處取極小值 D．【解題思路】根據(jù)已知等式有意義可構(gòu)造不等式求得函數(shù)定義域，知A錯(cuò)誤；由已知等式變形可得fxsinx′=2cosx，由此得到fx=2sin2【解答過(guò)程】對(duì)于A，∵f′x∴sinx≠0且cosx≠0∴fx的定義域?yàn)閤∈R對(duì)于B，∵f∴sinxf∴fx=2sin∵fx在x=?π6處取極值，∴∴fx∴f?x=2sin對(duì)于C，由B知：f′令f′x=0，解得：x=?則當(dāng)x∈π,7π6時(shí)，f′∴fx在π,7π∴fx在x=對(duì)于D，令t=sinx，則∵gt=2t即fx故選：C.20．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx=x2+xA．函數(shù)fx在14,1上的最大值為3 B．C．函數(shù)gx的極值點(diǎn)有2個(gè) D．函數(shù)gx【解題思路】根據(jù)f′(x)研究f(x)在14,1上的單調(diào)性，求出f(x)最大值即可判斷A；求出f(x)的最小值，根據(jù)最小值的范圍即可判斷B；通過(guò)分析g′(x)的零點(diǎn)情況即可判斷gx【解答過(guò)程】f′x=2x+對(duì)于A：令?(x)=f′(x)=2x+所以f′(x)在14所以f(x)在14,1上單調(diào)遞增，則對(duì)于B：由選項(xiàng)A得?(x)=2x+lnx+1(x>0)，則所以?(x)在(0,+∞又因?yàn)?(14)>0所以?x0∈(1e當(dāng)x0∈(1e2,x0)當(dāng)x0∈(x0,14)時(shí)，所以當(dāng)x=x0時(shí)，f(x0)=所以f(x對(duì)于C：若函數(shù)gx有2個(gè)極值點(diǎn)，則g設(shè)m(x)=g則m′因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，m′所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，即g′所以g′(x)=0在對(duì)于D：由選項(xiàng)C可知，g′(x)在因?yàn)間′所以g(x)在(3,4)上單調(diào)遞增，又因?yàn)間(3)=11+3ln所以當(dāng)x∈(3,4)時(shí)，g(x)>0，所以函數(shù)g(x)在(3,4)上沒(méi)有零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：AB．題型6題型6利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示21．（2023上·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=1?kx?x+2x≤0A．1,e B．C．?12,【解題思路】分別討論x<?2，?2≤x≤0，x>0時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍即可.【解答過(guò)程】fx①當(dāng)x<?2時(shí)，令fx=0，解得若fx在?∞,?2內(nèi)有零點(diǎn)，則3即當(dāng)?12<k<1時(shí)，f②當(dāng)?2≤x≤0時(shí)，令fx=0，解得若fx在?2,0內(nèi)有零點(diǎn)，則?2≤?1k+1即當(dāng)k≥?12時(shí)，fx③當(dāng)x>0時(shí)，令fx=e令gx=e令g′x=0∴當(dāng)x∈0,1時(shí)，g′x<0，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，g′x>0∴gx∴當(dāng)k=e時(shí)，方程k=exx有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)當(dāng)k>e時(shí)，方程k=exx有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)綜上所述，當(dāng)k<?12時(shí)，函數(shù)當(dāng)k=?12時(shí)，函數(shù)fx當(dāng)?12<k<1時(shí)，函數(shù)fx在?∞當(dāng)1≤k<e時(shí)，函數(shù)fx在當(dāng)k=e時(shí)，函數(shù)fx在?2,0和0,+∞當(dāng)k>e時(shí)，函數(shù)fx在?2,0內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，在0,+∞∵函數(shù)fx∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是?1故選：D.22．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=lnx?2x+2?m（0<m<3）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2（①x2x1<e2m

②xA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】函數(shù)fx=lnx?2x+2【解答過(guò)程】由函數(shù)fx=ln轉(zhuǎn)化為lnx?2x構(gòu)造函數(shù)gx=lnx?2x+2，?x=lnx?2x故?x在0,1單調(diào)遞減，在1,+所以0<x對(duì)于①，m=?ln所以2m=?ln所以x2對(duì)于②，由①可知m=?lnx1因此x1對(duì)于③，因?yàn)?<m<3，所以0<m3<1所以g3則g3構(gòu)造函數(shù)Qx則Q′x=所以g3所以x2因?yàn)間em3令m3=t0<t<1，構(gòu)造It=t?所以m=g所以em對(duì)于④，由①可知，lnx所以lnx令x1x2=n，Wn所以x1故選：D.23．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xlnxA．若a∈?4,4B．若a=?4，則該方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．若a∈?2?D．若a∈?【解題思路】先畫(huà)出f(x)的圖象，令f(x)=t后方程f2x?afx+4=0【解答過(guò)程】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??∞當(dāng)x∈(0,1)∪(1,+∞)時(shí)f(x)=xx∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，且此時(shí)當(dāng)x趨近于0時(shí)，f(x)趨近于?2?e，故f(x)<?2?x∈(1,e)時(shí)，f′x∈(e,+∞)時(shí)，f′則x∈(1,+∞)時(shí)，而x∈(?∞,0]時(shí)，故可得f(x)的圖象如圖所示：

令f(x)=t，則方程f2x?af對(duì)于A，a∈?4,4時(shí)，Δ=a故f(x)=t無(wú)實(shí)根，從而方程f2對(duì)于B，a=?4時(shí)，方程t2?at+4=0即為即(t+2)2=0，所以t=?2，則f(x)=t=?2，由此方程只有一個(gè)實(shí)根為e，故B正確；對(duì)于C，由t2?at+4=0得a=t+4a在t∈(?∞,?2),(2,+∞圖象如圖所示：

a=?2?e?42+e時(shí)t=?2?當(dāng)a∈?2?e?42+不妨設(shè)t1<t2，則有則此時(shí)f(x)=t1沒(méi)有實(shí)根，對(duì)于D，a∈?∞,?2?e?不妨設(shè)t3<t4，則有則此時(shí)f(x)=t3有一個(gè)實(shí)根，故選：C.24．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x?1A．函數(shù)fx的值域?yàn)锽．函數(shù)fx的單調(diào)減區(qū)間為?∞C．若關(guān)于x的方程f2x?afxD．若關(guān)于x的方程f2x?af【解題思路】當(dāng)x≥1時(shí)，求得f′x=2?x(ex?2)【解答過(guò)程】由題意，當(dāng)x≥1時(shí)，fx=所以當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，f′x>0當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f′x<0所以fx當(dāng)x<1時(shí)，可得fx=2xx?1=2+2x?1作出函數(shù)fx

由此可得函數(shù)的值域?yàn)??∞,2)，單調(diào)遞減區(qū)間為由方程f2x?afx=0要使得方程f2因?yàn)閒x=0，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則即y=fx和y=a結(jié)合圖象，可得a<0或1<a<2，所以C錯(cuò)誤；由方程f2x?afx=0，即由fx=0，可得fx=0，可得要使得方程f2則fx=a有4個(gè)實(shí)數(shù)根，即y=f作出函數(shù)y=f結(jié)合圖象，可得0<a<1，所以D正確.故選：BD.題型7題型7利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立、存在性問(wèn)題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示25．（2023上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xex,x>0．若存在實(shí)數(shù)a∈0,1A．14,1 C．0,1 D．0,1【解題思路】構(gòu)造函數(shù)ga=a3?3a+【解答過(guò)程】令ga=a∴當(dāng)a∈0,1時(shí)，g′a≤0，函數(shù)ga在0,1若存在實(shí)數(shù)a∈0,1，使得不等式f等價(jià)于f1?m≤g(a)max=e?1成立，又∵∵fx=x當(dāng)x∈0,1時(shí)，f′x>0，函數(shù)當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f′x<0∵m為正實(shí)數(shù)，∴1?m<1，又∵函數(shù)fx在0,1∴0<1?m≤1m>0，解得∴正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,1．故選：C．26．（2023上·陜西商洛·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=eax?1?1aA．e,+∞ B．e,+∞ C．【解題思路】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為elna+ax?1+lna+ax?1≥elna+lnx+【解答過(guò)程】由題知eax?1≥1aln所以ae則eln令函數(shù)gx=e因?yàn)間′所以gx在R所以lna+ax?1≥lna+令函數(shù)?x=1+當(dāng)0<x<1時(shí)，?′x>0；當(dāng)x>1所以?x在0,1單調(diào)遞增，在1,+所以?(x)故a的取值范圍是1,+∞故選：C.27．（2023下·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？计谀┤舸嬖趯?shí)數(shù)a，b，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[0,2]，使得不等式x3?m≤ax+b≤x3+mA．233,+∞ B．839【解題思路】不等式x3?m≤ax+b≤x3+m等價(jià)于?x3+ax+b≤m，原命題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a，b，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[0,2]不等式?x3+ax+b≤m恒成立，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a，b，不等式?x【解答過(guò)程】不等式x3?m≤ax+b≤x3+m原命題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a，b，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[0,2]不等式?x等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a，b，不等式?x記f(x)=?x3+ax+b（1）當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意x∈[0,2]，f′(x)≤0恒成立，即f(x)在[0,2]①當(dāng)2a+b?8+b≥0，即b≥4?a時(shí)，f(x)max②當(dāng)2a+b?8+b<0，即b<4?a時(shí)，f(x)max從而當(dāng)a≤0時(shí)，g(b)=b則g(b)在(?∞,4?a)上單調(diào)遞減，在所以g(b)（2）當(dāng)0<a<12時(shí)，令f′(x)=0，解得x=f(x)在區(qū)間0,a3上單調(diào)遞增，在f(0)=b，fa3=①當(dāng)0<a≤4時(shí)2a+b?8≤b，此時(shí)2a+b?8≤f(x)≤2a3α)當(dāng)2a+b?8+2a3a3+b<0β)當(dāng)2a+b?8+2a3a3+b≥0從而當(dāng)0<a≤4時(shí)，g(b)=?2a?b+82a則g(b)在區(qū)間?∞,4?a?a3所以g(b)令t=a3，則0<t≤43，則?′當(dāng)0,43時(shí)，即?(t)在區(qū)間0,43上單調(diào)遞減，即即g(b)②當(dāng)4<a<12時(shí)2a+b?8>b，此時(shí)b≤f(x)≤2aα)當(dāng)b+2a3a3+b<0β)當(dāng)b+2a3a3+b≥0從而當(dāng)4<a<12時(shí)，g(b)=?b則g(b)在區(qū)間?∞,?a所以g(b)（3）當(dāng)a≥12時(shí)，對(duì)任意x∈[0,2]，f′(x)≥0恒成立，即f(x)在b≤f(x)≤2a+b?8①當(dāng)2a+b?8+b≥0，即b≥4?a時(shí)，f(x)max②當(dāng)2a+b?8+b<0，即b<4?a時(shí)，f(x)max從而當(dāng)a≥12時(shí)，g(b)=2a+b?8則g(b)在(?∞,4?a)上單調(diào)遞減，在所以g(b)綜上所述，g(b)所以m≥8故選：B.28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x+1ex,g(x)=xm?mlnx(m<0)，當(dāng)x∈(1,+A．?4 B．?103 C．?e【解題思路】構(gòu)造函數(shù)?(x)=x?ln【解答過(guò)程】f(x)≥g(x)即e?x?ln設(shè)?(x)=x?lnx，?′(x)=1?1x，當(dāng)0<x<1時(shí)則?(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+∞則x∈(1,+∞)時(shí)，?(e即mlnx≥?x，m≥?x令t(x)=?xlnx,x∈(1,+∞)，t′(x)=1?則t(x)在(1,e)單調(diào)遞增，在(e,+∞)則?4，?103不能取到，?e故選：CD.題型8題型8利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（2023下·福建福州·高二校考期中）已知函數(shù)fx=x?2ex，若fx1A．x1>12 B．x2<【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，設(shè)x1<x2、f(x0)=?2且x0≠0【解答過(guò)程】f(x)=(x?2)ex，則f′當(dāng)x∈(?∞,1)時(shí)f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1,+∞在x∈(?∞,2)上f(x)<0，且f(2)=0，f(0)=?2，f(x)綜上，f(x)的圖象如下：結(jié)合fx1=fx2如上圖，若f(x0)=(x0?2)e又f(32)=(32令g(x)=f(1+x)?f(1?x)=(x?1)e則g′當(dāng)x≥0時(shí)，x+1≥1?x，得ex+1≥e當(dāng)x<0時(shí)，x+1<1?x，得ex+1<e所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，且g(0)=0，所以f(1+x)>f(1?x)在R上恒成立，得f(x即f(x2)>f(2?x2由2?x2<1，且函數(shù)f(x)在x∈(?∞,1)又0<x1<1<x2<x故選：D.30．（2023下·四川眉山·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex+ax有兩個(gè)零點(diǎn)xA．a(chǎn)<?e B．C．x1x2>1【解題思路】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極小值，根據(jù)極小值小于0，判斷A；根據(jù)方程，指對(duì)互化，判斷B；根據(jù)極值點(diǎn)的位置，結(jié)合f0【解答過(guò)程】由題意，函數(shù)fx=e當(dāng)a≥0時(shí)，f′x=ex當(dāng)a<0時(shí)，令f′x=ex+a>0所以函數(shù)fx在(?∞,因?yàn)楹瘮?shù)fx=ex+ax對(duì)A，則f(ln?a)=所以1?ln?a<0對(duì)B，a<?e，且ex1+ax1=0所以x1對(duì)C，由f(0)=1>0，且由A可知，a<?e，ln?a>1，則0<所以C不正確；對(duì)D，由函數(shù)fx在(?∞,所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為x0故選：C.31．（2023下·河南信陽(yáng)·高二淮濱高中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=exx?aexA．0<a<13 C．?12<f【解題思路】據(jù)題意，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得出導(dǎo)數(shù)有兩不等變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有兩個(gè)不同變號(hào)交點(diǎn)的問(wèn)題，結(jié)合圖象即可得出a、x2、f0的取值范圍,可知A,B錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)x2+1x1+1=ex【解答過(guò)程】解：∵函數(shù)f(x)=e∴f′(x)=(x+1?2a·e由于函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x即x1，x2是方程f′(x)=0即方程當(dāng)a=0時(shí)，x=?1，不滿(mǎn)足兩個(gè)根，故當(dāng)a≠0時(shí)，x+12a設(shè)y1=x+1y1=x+1過(guò)點(diǎn)?1,0做y2=ex的切線則kl=ex0?0在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示：應(yīng)滿(mǎn)足12a解得0<a<1所以a的取值范圍是0,12，故結(jié)合圖象，易知?1<x1<0<f0=e0由x1，x2是方程f′(x)=0即方程x1+1=2a則f=====∵?1<∴當(dāng)x2∈0,1時(shí)，fx故選：C．32．（2023上·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex+x?2的零點(diǎn)為x1，函數(shù)A．x1+x2=2 B．2x【解題思路】注意到gx=在0,+∞單調(diào)遞增，則有x1=【解答過(guò)程】gx又函數(shù)gx=lnx+x?2的零點(diǎn)為x2f′x=ex+1>0，得fx又gx2=f注意到f0=?1<0，則f12=對(duì)于A，因gx2=則x1對(duì)于B，因x1=ln令?x=2x?ex，則?′x>?′則?x<?1對(duì)于C選項(xiàng)，因x1∈0,12，x則由基本不等式結(jié)合x(chóng)1+x對(duì)于D選項(xiàng)，因x1=lnx2則令px=xln得px在1,e12上單調(diào)遞增，故故選：ACD.題型9題型9兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預(yù)測(cè)）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類(lèi)元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國(guó)，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A．30 B．120 C．150 D．240【解題思路】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分別確定每個(gè)區(qū)域的涂色方法種數(shù)，結(jié)合分類(lèi)加法分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意可知，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），不妨設(shè)四種顏色分別為A、B、C、D，先填涂區(qū)域“火”，有4種選擇，不妨設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為A，接下來(lái)填涂區(qū)域“土”，有3種選擇，分別為B、C、D，若區(qū)域“土”填涂的顏色為B，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為A、C、D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為C，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為A、B、D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為D，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為A、B、C.綜上所述，區(qū)域“金”填涂A、B、C、D的方案種數(shù)分別為3、2、2、2種，接下來(lái)考慮區(qū)域“水”的填涂方案：若區(qū)域“金”填涂的顏色為A，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為B、C、D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為B，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A、C、D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為C，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A、B、D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為D，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A、B、C.則區(qū)域“水”填涂A的方案種數(shù)為2×3=6種，填涂B的方案種數(shù)為3+2×2=7種，填涂C的方案種數(shù)為3+2×2=7種，填涂D的方案種數(shù)為3+2×2=7種.從區(qū)域“火”、“土”、“金”填涂至區(qū)域“水”，填涂區(qū)域“水”的方案還和填涂區(qū)域“木”有關(guān)，當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為A時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、C、D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為B時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為C、D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為C時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為D時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、C.所以，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色A時(shí)，填涂方案種數(shù)為6×3+7×2×3=60種.因此，不同的涂色方法種數(shù)有4×60=240種.故選：D.34．（2023下·陜西榆林·高二?？计谥校┤鐖D所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之間建有A，B，C，D，E五個(gè)水閘，若上游有充足的水源但下游沒(méi)有水，則這五個(gè)水閘打開(kāi)或關(guān)閉的情況有（

）

A．24種 B．23種 C．15種 D．7種【解題思路】分A水閘關(guān)閉，A水閘打開(kāi)時(shí)，同時(shí)關(guān)閉B,C，A水閘打開(kāi)時(shí)，同時(shí)關(guān)閉D,E，三種情況，去掉重復(fù)的情況，得到答案.【解答過(guò)程】①A水閘關(guān)閉時(shí)，滿(mǎn)足要求，此時(shí)B,C,D,E打開(kāi)或關(guān)閉時(shí)均可，故此時(shí)有24②若A水閘打開(kāi)時(shí)，同時(shí)關(guān)閉B,C時(shí)，滿(mǎn)足要求，此時(shí)D,E打開(kāi)或關(guān)閉時(shí)均可，故此時(shí)有22③若A水閘打開(kāi)時(shí)，同時(shí)關(guān)閉D,E時(shí)，滿(mǎn)足要求，此時(shí)B,C打開(kāi)或關(guān)閉時(shí)均可，故此時(shí)有22上面②③兩種情況有重復(fù)的1種情況，就是A水閘打開(kāi)，B,C,D,E同時(shí)關(guān)閉的情況，故共有16+4+4?1=23種情況.故選：B.35．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（

）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對(duì)【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，先排E，F(xiàn)，G，然后根據(jù)A，B，C，D的情況討論．【解答過(guò)程】解：E，F(xiàn)，G分別有4，3，2種方法，①當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有2種，(1)C若與F相同有C有1種方法，同時(shí)D有3種方法，(2)若C與F不同，則此時(shí)D有2種方法，故此時(shí)共有：4×3×2×1×2×(1×3+1×2)=240種方法；②當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有3種方法，(1)若C與F相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法，(2)若C與F不同，則D有1種方法，故此時(shí)共有：4×3×2×1×3×(1×2+1×1)=216種方法；③當(dāng)A既不同于F又不同于G時(shí)，A有1種方法，(1)若B與F相同，則C必須與A相同，同時(shí)D有2種方法；(2)若B不同于F，則B有1種方法，(Ⅰ)若C與F相同則C有1種方法同時(shí)D有2種方法；(Ⅱ)若C與F不同則必與A相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法；故此時(shí)共有：4×3×2×1×[1×1×2+1×(1×2+1×2)]=144種方法；綜上共有240+216+144=600種方法．故選：C．36．（2023下·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．所有可能的方法有35B．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種【解題思路】根據(jù)分步乘法原理判斷A、C，根據(jù)間接法判斷B，根據(jù)分類(lèi)加法原理和乘法原理判斷D.【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A，安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，故有5×5×5=5對(duì)于選項(xiàng)B，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有53對(duì)于選項(xiàng)C：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有52對(duì)于選項(xiàng)D：如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有5+5×4=25（種），錯(cuò)誤.故選：BC.題型10題型10相鄰、不相鄰排列問(wèn)題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示37．（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）8名同學(xué)站成兩排參加文藝演出，要求兩排人數(shù)相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相鄰，則不同的排列方式共有（

）A．1152種 B．1728種 C．2304種 D．2880種【解題思路】由題意可知：D站在前排，A站在后排，分E和F站在前排或后排，利用捆綁法結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】由題意可知：D站在前排，A站在后排，若E和F站在前排，則不同的排列方式共有C4若E和F站在后排，則不同的排列方式共有C4所以不同的排列方式共有1152×2=2304種.故選：C.38．（2023下·湖南·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱(chēng)為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù)e≈2.71828.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)e的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個(gè)2不相鄰，兩個(gè)8相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為（

A．36 B．48 C．72 D．120【解題思路】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解．【解答過(guò)程】如果排列時(shí)要求兩個(gè)8相鄰，兩個(gè)2不相鄰，兩個(gè)8捆綁看作一個(gè)元素與7，1全排列，排好后有4個(gè)空位，兩個(gè)2插入其中的2個(gè)空位中，注意到兩個(gè)2，兩個(gè)8均為相同元素，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有A3故選：A．39．（2023下·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）陽(yáng)春三月，草長(zhǎng)鶯飛，三個(gè)家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見(jiàn)，他們排隊(duì)前進(jìn)，寶寶不排最前面也不排最后面，為了方便照顧孩子，每?jī)晌淮笕酥g至多排2位寶寶，由于男寶寶喜歡打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種數(shù)為（

）A．216 B．288C．432 D．512【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合插空法、捆綁法列式計(jì)算作答.【解答過(guò)程】求不同的排法種數(shù)這件事需要5步：先排3位媽媽?zhuān)蠥3把這位爸爸與2位男寶寶按爸爸在2位男寶寶之間，視為一個(gè)整體插入3位媽媽排列形成的中間2個(gè)間隙，有A2下面分為兩類(lèi)：①再任取2位女寶寶排在2位沒(méi)有寶寶的媽媽間，有A3然后把余下的女寶寶排在男寶寶與媽媽的2個(gè)間隙中，有A2最后排2位男寶寶，有A2由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：不同的排法種數(shù)為A3②再任取2位女寶寶排在男寶寶和媽媽間，有A3然后把余下的女寶寶排在沒(méi)有寶寶的媽媽中間，有1種方法；最后排2位男寶寶，有A2由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：不同的排法種數(shù)為A3所以不同的排法共有288+144=432種.故選：C.40．（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高二校考期末）某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會(huì)對(duì)他們的出場(chǎng)順序進(jìn)行安排，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若3個(gè)女生不相鄰，則有144種不同的出場(chǎng)順序B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場(chǎng)順序C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場(chǎng)順序D．若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個(gè)教師節(jié)目，共有72種不同的出場(chǎng)順序【解題思路】選項(xiàng)A采用“插空法”，先排4名男生，形成5個(gè)空檔，將3名女生插入其中，由此可得；選項(xiàng)B由女生甲在女生乙的前面與女生甲在女生乙的后面各占一半，結(jié)合4男3女的全排列求解即可；選項(xiàng)C先將4位男生捆綁作為一個(gè)整體進(jìn)行全排列，然后3位女生和這個(gè)整體全排列可得；選項(xiàng)D采用“插空法”，分兩次插入老師節(jié)目即可.【解答過(guò)程】若3個(gè)女生不相鄰，則有A4若女生甲在女生乙的前面，則有12若4位男生相鄰，則有A4若學(xué)生的節(jié)目順序確定，再增加兩個(gè)教師節(jié)目，可分為兩步，第一步，原7個(gè)學(xué)生節(jié)目形成8個(gè)空，插入1個(gè)教師節(jié)目，有8種情況；第二步，原7個(gè)學(xué)生節(jié)目和剛插入的1個(gè)教師節(jié)目形成9個(gè)空，再插入1個(gè)教師節(jié)目，有9種情況，所以這兩位教師共有8×9=72種不同的出場(chǎng)順序，D正確.故選：BCD.題型11題型11分組分配問(wèn)題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示41．（2023下·河北石家莊·高二?？计谥校┠呈姓疀Q定派遣8名干部（5男3女）分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少3人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有種A．240 B．320 C．180 D．120【解題思路】在所有兩組至少都是3人的分組中減去3名女干部單獨(dú)成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【解答過(guò)程】?jī)山M至少都是3人，則分組中兩組的人數(shù)分別為3、5或4、4，又因?yàn)?名女干部不能單獨(dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為C8故選：C.42．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）“五一”小長(zhǎng)假期間，某學(xué)生會(huì)組織看望留守老人活動(dòng)，現(xiàn)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H共8名學(xué)生的小組去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小組決定兩名學(xué)生看望一位老人，考慮到學(xué)生與老人住址距離問(wèn)題，學(xué)生A不安排看望老人甲，學(xué)生B不安排看望老人乙，則安排方法共有（

）A．1260種 B．2520種 C．1440種 D．1890種【解題思路】利用組合計(jì)數(shù)，結(jié)合乘法計(jì)數(shù)原理求得每?jī)晌粚W(xué)生看望一位老人的總安排方法數(shù)，以及A看望老人甲、B看望老人乙的情況和A看望老人甲同時(shí)B看望老人乙的方法種數(shù)，然后利用集合的元素個(gè)數(shù)的容斥原理計(jì)算可得所求.【解答過(guò)程】8名學(xué)生看望四位老人，每?jī)晌粚W(xué)生看望一位老人共有C8其中A看望老人甲的情況有C7B看望老人乙的情況有C7A看望老人甲，同時(shí)B看望老人乙的情況有C6∴符合題意的安排方法有2520?630?630+180=1440種，故選：C.43．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）淮北市第一次模擬考試?yán)砜乒部颊Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六科，安排在某兩日的四個(gè)半天考完，每個(gè)半天考一科或兩科.若語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理三科中任何兩科不能排在同一個(gè)半天，則此次考試不同安排方案的種數(shù)有（

）（同一半天如果有兩科考試不計(jì)順序）A．648 B．1728 C．864 D．324【解題思路】先考慮將六科分為四組，科目數(shù)分別為2、2、1、1進(jìn)行全排，減去語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理三科中有兩科放在同一個(gè)半天考的排法種數(shù)，即可得解.【解答過(guò)程】先考慮將六科分為四組，科目數(shù)分別為2、2、1、1進(jìn)行全排，排法種數(shù)為C6接下來(lái)考慮語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理三科中有兩科放在同一個(gè)半天考的排法，可在這三科中選兩科放一組，其余四科分為三組，科目數(shù)分別為2、1、1，排法種數(shù)為C3綜上所述，共有1080?432=648.故選：A.44．（2023下·河北石家莊·高二校考階段練習(xí)）為了提高教學(xué)質(zhì)量，省教育局派5位教研員去某地重點(diǎn)高中進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，現(xiàn)知該地有3所重點(diǎn)高中，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．每個(gè)教研員只能去1所學(xué)校調(diào)研，則不同的調(diào)研方案有243種B．若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則不同的調(diào)研安排方案有150種C．若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則不同的調(diào)研安排方案有300種D．若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，且甲?乙兩位教研員不去同一所高中則不同的調(diào)研安排方案有有114種【解題思路】利用乘法原理計(jì)算判定A；利用分組除序法計(jì)算判定BC；先利用捆綁法和分組除序法求得甲?乙兩位教研員去同一所高中的排法種數(shù)，然后根據(jù)B的正確結(jié)果從反面得到D的正確結(jié)果.【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，每位教研員有三所學(xué)?？梢赃x擇，故不同的調(diào)研安排有35對(duì)于B，C選項(xiàng)，若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則可先將五位教研員分組，再分配，五位教研員的分組形式有兩種：3，1，1；2，2，1，分別有C53C則不同的調(diào)研安排有10+15A對(duì)于D選項(xiàng)，將甲?乙兩位教研員看成一人，則每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，且甲?乙兩位教研員去同一所高中的排法有C4則甲?乙兩位教研員不去同一所高中的排法有150?36=114種，D正確.故選：ABD.題型12題型12排列、組合的綜合應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示45．（2023下·湖南永州·高二?？茧A段練習(xí)）要排出高三某班一天中，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各2節(jié)，自習(xí)課1節(jié)的功課表，其中上午5節(jié)，下午2節(jié)，若要求2節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（

）A．84 B．54 C．42 D．18【解題思路】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午；②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得答案．【解答過(guò)程】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午，要求2節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰，將2節(jié)語(yǔ)文課和2節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁，然后在剩余3節(jié)課中選1節(jié)到上午，由于2節(jié)英語(yǔ)課不加以區(qū)分，此時(shí)，排法種數(shù)為C3②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午.語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午，但2節(jié)語(yǔ)文課不加以區(qū)分，2節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分，2節(jié)英語(yǔ)課也不加以區(qū)分，此時(shí)，排法種數(shù)為C21綜上所述，共有18+24=42種不同的排法.故選：C．46．（2023下·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）回文聯(lián)是我國(guó)對(duì)聯(lián)中的一種．用回文形式寫(xiě)成的對(duì)聯(lián)，既可順讀，也可倒讀．不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過(guò)大佛寺，寺佛大過(guò)人．”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類(lèi)順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱(chēng)之為“回文數(shù)”．如44，585，2662等；那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．30 B．36 C．360 D．1296【解題思路】依據(jù)回文數(shù)對(duì)稱(chēng)的特征，可知有兩種情況：在6個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，在6個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)排列，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意知：組成4位“回文數(shù)”，由對(duì)稱(chēng)性可知，只需確定后兩位數(shù)字即可.可分為以下兩種情況：當(dāng)后兩位數(shù)字重復(fù)時(shí)，即由一個(gè)數(shù)組成回文數(shù)，在6個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，則有C6當(dāng)后兩位數(shù)字不同時(shí)，在6個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)，按不同順序排列，有A6綜上，用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為：A6故選：B.47．（2023下·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）杭州亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目，共設(shè)杭州賽區(qū)、寧波賽區(qū)、溫州賽區(qū)、金華賽區(qū)、紹興賽區(qū)、湖州賽區(qū)，現(xiàn)需從6名管理者中選取4人分別到溫州，金華、紹興、湖州四個(gè)賽區(qū)負(fù)責(zé)志愿者工作，要求四個(gè)賽區(qū)各有一名管理者，且6人中甲不去溫州賽區(qū)，乙不去金華賽區(qū)，則不同的選擇方案共有（

）A．108種 B．216種 C．240種 D．252種【解題思路】根據(jù)題意，分為：甲乙都未選中、甲選中且乙未選中、甲未選中且乙選中和甲乙都選中，四類(lèi)情況討論，結(jié)合分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，可分為四類(lèi)：①當(dāng)甲乙都未選中，則不同的選擇方案有A4②當(dāng)甲選中，乙未選中，則不同的選擇方案有C4③當(dāng)甲未選中，乙選中，則不同的選擇方案有C4④當(dāng)甲乙都選中，則由C4若甲去了金華賽區(qū)，則有A33=6則不同的安排方案有C4由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可得共有24+72+72+84=252種不同的安排方案.故選：D.48．（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）校園師生安全重于泰山，越來(lái)越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各