第2講整除問題進階第2講整除問題進階知識點知識點整除問題進階（五上）課堂例題課堂例題兩位截斷與三位截斷1、在1234，1144，17456789，35442，153153中，（1）哪些是7的倍數(shù)？（2）哪些是13的倍數(shù)？（3）哪些是99的倍數(shù)？【答案】

（1）17456789、153153（2）1144、153153（3）35442、153153【解析】

能被7、13整除的數(shù)的特征：從個位開始，每三位一截，奇數(shù)段之和與偶數(shù)段之和的差能被7或13整除．（1）經(jīng)檢驗，能被7整除的數(shù)有17456789、153153；（2）能被13整除的數(shù)有1144、153153；（3）能被99整除的數(shù)兩位截斷和能被99整除，這樣的數(shù)有35442、153153．2、六位數(shù)能同時被9和11整除．這個六位數(shù)是多少？【答案】

120087【解析】

用兩位截斷法，把分成三段就是、00、，它們的和要能被99整除，只能是，所以原來的六位數(shù)是120087．3、已知九位數(shù)能被99整除，這個九位數(shù)是__________．【答案】

123483789【解析】

設這個九位數(shù)為，兩位截斷后求和是99的倍數(shù)，只能是198．所以，．即這個九位數(shù)是123483789．4、卡莉婭寫了一個兩位數(shù)59，墨莫寫了一個兩位數(shù)89，他們讓小高寫一個一位數(shù)放在59與89之間拼成一個五位數(shù)，使得這個五位數(shù)能被7整除．請問：小高寫的數(shù)是多少？【答案】

6【解析】

能被7整除，則也能被7整除．能被7整除，也就是能被7整除，所以．5、已知六位數(shù)是13的倍數(shù)，中的數(shù)字是（ ）．A．1B．5C．7D．9【答案】

A

【解析】

由三位截斷可知，是13的倍數(shù)，可得．6、小高寫了一個五位數(shù)，用方格蓋住了兩個數(shù)字后變成，并告訴墨莫說這個五位數(shù)既是7的倍數(shù)，又是125的倍數(shù)．那么小高寫的五位數(shù)可能是__________．【答案】

30625或37625【解析】

這個五位數(shù)是125的倍數(shù)，則末三位是125的倍數(shù)，所以方框中填入2．又因為五位數(shù)是7的倍數(shù)，則的差能被7整除，所以方框中可以填入0或7．即小高寫的五位數(shù)可能是30625或37625．7、用數(shù)字6，7，8各兩個，要組成能同時被6，7，8整除的六位數(shù)．請寫出一個滿足要求的六位數(shù)．【答案】

768768【解析】

要使這個數(shù)能被6整除，只需能被2和3整除．這個六位數(shù)的數(shù)字和為42，能被3整除，因此這個六位數(shù)必定能被3整除；而能被8整除的數(shù)必定能被2整除；因此接下來的討論，只需使這個數(shù)滿足能被7、8整除的條件．這個數(shù)有6，7，8各兩個，容易想到形如的數(shù)能被7整除，因此只需找到一個能被8整除即可，不難發(fā)現(xiàn)768符合條件．

因此768768是滿足條件的一個六位數(shù)．綜合應用8、已知51位數(shù)能被13整除，中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？【答案】

5【解析】

在本題中，能被13整除．這個數(shù)的位數(shù)太多，可以想辦法使它變得簡短一些．利用13的整除特征，末三位999與前面的之差必須能被13整除，即能被13整除，于是應該能被13整除．觀察上述過程，實際上是從原數(shù)中去掉了末尾的999999．從另一個角度來看，由13的整除特征，知道999999能被13整除．所以原數(shù)與999999的差就能被13整除，也就是能被13整除，即能被13整除．繼續(xù)下去，每次去掉999999，得到能被13整除．同樣考慮首位．555555能被13整除，所以能被13整除．把減去相當于從首位去掉555555，所得到的仍然能被13整除．于是還是每次從首位去掉555555，于是最后得到的應該能被13整除．

對枚舉可知，559能被13整除，所以方格內(nèi)所填數(shù)字是5．9、已知52位數(shù)能被13整除，中間方格內(nèi)的數(shù)字是__________．【答案】

26、39、52、65、78、91【解析】

因為1001是13的倍數(shù)，則的積555555也是13的倍數(shù)．所以這個多位數(shù)可以去掉前面的24個5和后面的24個5，剩下的數(shù)能被13整除，即能被13整除．利用除法豎式，除以13的商可能是，經(jīng)檢驗、、、、、，即中間方格中的數(shù)字可能是26、39、52、65、78、91．10、（2011年四中入學）一個五位數(shù)（相同字母表示相同數(shù)字）是7的倍數(shù)．若將它的十位和個位互換，新數(shù)是11的倍數(shù)，若將它的十位和百位互換，新數(shù)是13的倍數(shù)．那么原五位數(shù)是________．【答案】

92029【解析】

十位和個位互換后是，其為11的倍數(shù)，故，即．由于，故，；是7的倍數(shù)，故．由于，，故，即a與b之差為7；十位和百位互換后是，故．由于，，故．與a與b之差為7綜合考慮得，，那么原五位數(shù)是92029．11、萱萱的爸爸買回來兩箱杯子．兩個箱子上各貼有一張價簽，分別寫著“總價117.□△元”、“總價127.○

元”（□、△、○、

四個數(shù)字已辨認不清，但是它們互不相同）．爸爸告訴萱萱，其中一箱裝了99只A型杯子，另一箱裝了75只B型杯子，每只杯子的價格都是整數(shù)分．但是爸爸記不清每個價簽具體是多少錢，也不記得哪個箱子裝的是A型杯子，哪個箱子裝的是B型杯子了．爸爸知道萱萱的數(shù)學水平很厲害，于是他想考考萱萱．萱萱看了看，說：“這可難不倒我，我剛好學了一些復雜的整除性質(zhì)，這下可以派上用場了．”

同學們，你能像萱萱一樣把價簽上的數(shù)分辨出來嗎？【答案】

，【解析】

依題意知，與一個能被99整除，另一個能被75整除；以下分兩種情況討論：(1)能被99整除，則能被99整除，；能被75整除，即能被25和3整除，則可能是25、50或75，其中只有12750能被3整除，因此，但與有數(shù)字重復，因此情況①不合條件．(2)能被99整除，則能被99整除，；能被75整除，則可能是25、50或75，其中只有12750能被3整除，因此；，符合條件．12、能同時被7、9、11整除的最小三位數(shù)是，最大四位數(shù)是？【答案】

最小693，最大9702【解析】

最小693，最大9702．13、一個整數(shù)能被15整除，這個整數(shù)的最后三位是215，那么這樣的整數(shù)中最小是多少？【答案】

1215【解析】

三位的不行，四位最小的1215．所以所求最小就是1215．14、一個五位數(shù)，它的末三位為999．如果這個數(shù)能被23整除，那么這個五位數(shù)最小是多少？【答案】

20999【解析】

列豎式法．

隨堂練習隨堂練習1、四位數(shù)能同時被9和11整除，這個四位數(shù)是__________．【答案】

6237【解析】

兩位截斷后的和是，所以這個四位數(shù)是6237．2、已知八位數(shù)能被99整除，這個八位數(shù)是__________．【答案】

12327678【解析】

兩位截斷后，所以，則這個八位數(shù)是12327678．3、四位數(shù)能被7整除，那么這個四位數(shù)可能是__________．【答案】

5712或5782【解析】

利用7的整除特性，與5的差是7的倍數(shù)，方框內(nèi)可以填1或8．即這個四位數(shù)是5712或5782．4、已知多位數(shù)能被13整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？【答案】

0【解析】

將三位重復的六位數(shù)去掉后，前后都沒有了只剩方框，所以方框只能填0．課后作業(yè)課后作業(yè)1、有一個六位數(shù)，前四位是2857，即，這六位數(shù)能被143整除，則這個數(shù)的后組成的兩位數(shù)為（ ）．A．12B．14C．21D．41【答案】

B

【解析】

，所以能被11和13整除．設兩個□的數(shù)從左向右分別為A和B．則根據(jù)奇偶位差可得，為11的倍數(shù)，可得．根據(jù)三位截斷可得，為13的倍數(shù)，，所以，當時，滿足題意．2、是77的倍數(shù)，則最大為（ ）．A．16B．93C．98D．99【答案】

D

【解析】

，所以能被7和11整除．根據(jù)三位截斷可得，為7和11的倍數(shù)，即一定為77的倍數(shù)，a和b可為任意值，所以最大為99．3、在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍數(shù)有__________個．【答案】

3【解析】

能被7整除的數(shù)的特征：從個位開始，每三位一截，奇數(shù)段之和與偶數(shù)段之和的差能被7整除．經(jīng)檢驗735、58674、360360能被7整除，所以7的倍數(shù)有3個．4、四位數(shù)能同時被9和11整除，這個四位數(shù)是__________．【答案】

6336【解析】

這個四位數(shù)兩位截斷的和是99的倍數(shù)，即，所以方框中分別填入6、6，即這個四位數(shù)是6336．5、四位數(shù)能被7整除，那么這個四位數(shù)是__________．【答案】

2758【解析】

利用除法豎式可得，只有．所以這個四位數(shù)是2758．6、（龍校五年級春季）（1）一個六位數(shù)是88的倍數(shù)，這個數(shù)除以88所得的商是________或________．（2）在□內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)字，使五位數(shù)既能被3整除又能被5整除．【答案】

（1）2620；2711（2）共6組解，分別為1、0；4、0；7、0；2、5；5、5；8、5【解析】

（1）．，由此易知兩方框內(nèi)所填數(shù)字相同．，故個位可能為0或8，進而原數(shù)為230560或238568，這個數(shù)除以88所得的商是2620或2711．（2）由該數(shù)是5的倍數(shù)易知個位為0或5，進而再根據(jù)數(shù)字和能被3整除可得到百位．原數(shù)可能為23160、23460、23760、23265、23565或23865．7、（2011希望杯五年級初賽）如果六位數(shù)能被90整除，那么它的最后兩位數(shù)是_________．【答案】

50【解析】

能被90整除，則這個數(shù)的末位一定是0．又根據(jù)9的整除特性，知道六位數(shù)的數(shù)字和一定是9的倍數(shù)，故而十位數(shù)字是．所以它的最后兩位數(shù)是50．8、已知多位數(shù)能同時被7和13整除，方格內(nèi)的數(shù)字是__________．【答案】

9【解析】

1001能被7和13整除，，所以每2個258都能