培養(yǎng)學(xué)生數(shù)量關(guān)系思維能力的策略——基于認(rèn)知發(fā)展與問(wèn)題解決的視角引言數(shù)量關(guān)系思維能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的底層邏輯，它貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，涵蓋感知數(shù)量聯(lián)系、分析關(guān)系結(jié)構(gòu)、建立模型框架、解決實(shí)際問(wèn)題等關(guān)鍵環(huán)節(jié)。皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論指出，學(xué)生的思維從“直觀動(dòng)作”向“抽象邏輯”逐步過(guò)渡；建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，數(shù)量關(guān)系的理解需通過(guò)“情境體驗(yàn)—主動(dòng)建構(gòu)—反思內(nèi)化”實(shí)現(xiàn)。本文結(jié)合認(rèn)知科學(xué)與教學(xué)實(shí)踐，提出五大協(xié)同策略，旨在系統(tǒng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)量關(guān)系思維能力，為其終身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。一、情境化感知：從生活經(jīng)驗(yàn)到數(shù)量抽象核心邏輯：生活是數(shù)量關(guān)系的“源頭活水”，學(xué)生對(duì)數(shù)量的理解需以熟悉的情境為載體，在“做中學(xué)”中感知數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系。（一）理論依據(jù)：生活經(jīng)驗(yàn)是抽象的基礎(chǔ)皮亞杰認(rèn)為，前運(yùn)算階段（2-7歲）與具體運(yùn)算階段（7-11歲）的學(xué)生，思維依賴于具體事物與生活場(chǎng)景。數(shù)量關(guān)系的抽象需從“生活問(wèn)題”出發(fā)，讓學(xué)生在“真實(shí)情境”中發(fā)現(xiàn)“數(shù)量關(guān)聯(lián)”。例如，“分蛋糕”“購(gòu)物”“借書(shū)”等場(chǎng)景，能自然引發(fā)學(xué)生對(duì)“總數(shù)、份數(shù)、每份數(shù)”“總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量”等關(guān)系的感知。（二）教學(xué)策略：設(shè)計(jì)“真實(shí)且有問(wèn)題導(dǎo)向”的情境1.聯(lián)結(jié)生活的“真實(shí)情境”：選取學(xué)生日常接觸的場(chǎng)景，如“班級(jí)圖書(shū)角借了10本書(shū)，還剩5本，原來(lái)有多少本？”“媽媽買(mǎi)了3斤蘋(píng)果，每斤4元，一共花了多少錢(qián)？”這些情境貼近學(xué)生生活，易引發(fā)情感共鳴，讓學(xué)生在“解決實(shí)際問(wèn)題”中感知數(shù)量關(guān)系。2.激發(fā)思考的“問(wèn)題情境”：在情境中嵌入“沖突性問(wèn)題”，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)量之間的關(guān)系。例如，“小明帶了10元錢(qián)，買(mǎi)了2支鉛筆（每支3元），還想買(mǎi)一個(gè)5元的筆記本，夠嗎？”學(xué)生需通過(guò)“計(jì)算鉛筆總價(jià)—比較剩余錢(qián)數(shù)與筆記本價(jià)格”的過(guò)程，主動(dòng)梳理“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“剩余錢(qián)數(shù)=總錢(qián)數(shù)-花費(fèi)”等關(guān)系。（三）案例：“超市購(gòu)物”中的數(shù)量感知教師設(shè)置“小小售貨員”模擬活動(dòng)：學(xué)生分組：一組扮演“售貨員”，負(fù)責(zé)記錄商品單價(jià)（鉛筆2元/支、筆記本5元/本）；另一組扮演“顧客”，選擇商品（如3支鉛筆、1本筆記本）并計(jì)算總價(jià)。活動(dòng)后引導(dǎo)討論：“你買(mǎi)了什么？花了多少錢(qián)？怎么算的？”學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，自然抽象出“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“總花費(fèi)=各商品總價(jià)之和”的數(shù)量關(guān)系。二、結(jié)構(gòu)化表征：用多元符號(hào)構(gòu)建關(guān)系網(wǎng)絡(luò)核心邏輯：表征是數(shù)量關(guān)系的“外化工具”，不同的表征方式（圖形、列表、符號(hào)）能從不同角度反映關(guān)系的本質(zhì)，表征轉(zhuǎn)換能深化對(duì)關(guān)系的理解。（一）理論依據(jù)：表征是思維的“可視化載體”表征理論（Bruner）指出，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解需通過(guò)“動(dòng)作表征—形象表征—符號(hào)表征”逐步升級(jí)。數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)化表征，能幫助學(xué)生將“隱性思維”轉(zhuǎn)化為“顯性符號(hào)”，清晰呈現(xiàn)關(guān)系結(jié)構(gòu)。例如，線段圖能直觀展示“部分與整體”的關(guān)系，列表能整理“條件與問(wèn)題”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，符號(hào)表達(dá)式能抽象“數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)”。（二）教學(xué)策略：教給“表征方法”，促進(jìn)“轉(zhuǎn)換訓(xùn)練”1.多元表征教學(xué)：系統(tǒng)教學(xué)生用“線段圖、列表、符號(hào)”三種方式表征數(shù)量關(guān)系。線段圖：用于“部分與整體”“比較關(guān)系”問(wèn)題，如“一根繩子長(zhǎng)12米，用去1/3，用去了多少米？”（畫(huà)線段表示12米，平均分成3份，標(biāo)出1份）；列表：用于“條件較多”的問(wèn)題，如“小明每分鐘走50米，走了10分鐘；小紅每分鐘走60米，走了8分鐘，誰(shuí)走的路程遠(yuǎn)？”（列表整理“速度、時(shí)間、路程”）；符號(hào)表達(dá)式：用于“抽象關(guān)系”問(wèn)題，如“路程=速度×?xí)r間”“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”。2.表征轉(zhuǎn)換訓(xùn)練：引導(dǎo)學(xué)生在不同表征之間轉(zhuǎn)換，深化對(duì)關(guān)系的理解。例如，“小紅有5個(gè)蘋(píng)果，小明比小紅多3個(gè)，小明有多少個(gè)？”讓學(xué)生先畫(huà)“小紅的5個(gè)蘋(píng)果”，再畫(huà)“小明比小紅多3個(gè)”（形象表征），然后列表（小紅：5個(gè)，小明：5+3=8個(gè)），最后寫(xiě)算式（5+3=8）。轉(zhuǎn)換過(guò)程中，學(xué)生能更清晰地理解“比多比少”的關(guān)系結(jié)構(gòu)。（三）案例：“線段圖”在分?jǐn)?shù)問(wèn)題中的應(yīng)用解決“果園有100棵樹(shù)，蘋(píng)果樹(shù)占3/5，蘋(píng)果樹(shù)有多少棵？”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖：先畫(huà)一條線段表示“100棵樹(shù)”（整體）；將線段平均分成5份（對(duì)應(yīng)“3/5”的分母）；標(biāo)出其中3份（對(duì)應(yīng)“3/5”的分子），即蘋(píng)果樹(shù)的數(shù)量。通過(guò)線段圖，學(xué)生直觀看到“蘋(píng)果樹(shù)數(shù)量=總棵樹(shù)×分率”，從而將文字問(wèn)題轉(zhuǎn)化為符號(hào)表達(dá)式（100×3/5=60）。三、階梯式推理：從直觀操作到邏輯演繹核心邏輯：推理能力的發(fā)展需符合學(xué)生的認(rèn)知水平，從“直觀動(dòng)作”到“具體形象”再到“抽象邏輯”，逐步提升難度，避免“拔苗助長(zhǎng)”。（一）理論依據(jù)：認(rèn)知發(fā)展的“階梯性”皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論指出：感知運(yùn)動(dòng)階段（0-2歲）：通過(guò)動(dòng)作感知數(shù)量；前運(yùn)算階段（2-7歲）：通過(guò)形象（如玩具、圖片）理解數(shù)量；具體運(yùn)算階段（7-11歲）：通過(guò)具體事物（如小棒、圖形）進(jìn)行推理；形式運(yùn)算階段（11歲以上）：通過(guò)符號(hào)（如字母、方程）進(jìn)行邏輯演繹。階梯式推理需貼合學(xué)生的認(rèn)知階段，設(shè)計(jì)“分層任務(wù)”，讓學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)逐步提升。（二）教學(xué)策略：設(shè)計(jì)“分層任務(wù)”，引導(dǎo)“推理進(jìn)階”1.直觀操作層（低年級(jí)）：用實(shí)物或?qū)W具支持推理。例如，“3+2=？”用小棒擺3根加2根，數(shù)總數(shù)；“6÷2=？”用蘋(píng)果分2份，每份3個(gè)。操作過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)“動(dòng)作”感知數(shù)量的變化。2.具體形象層（中年級(jí)）：用圖形或圖像引導(dǎo)推理。例如，“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2”，用長(zhǎng)方形紙折一折、量一量，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“周長(zhǎng)是2個(gè)長(zhǎng)加2個(gè)寬”；“乘法分配律（a+b）×c=ac+bc”，用“大長(zhǎng)方形分成兩個(gè)小長(zhǎng)方形”的面積模型表示。3.抽象邏輯層（高年級(jí)）：用符號(hào)或文字深化推理。例如，“解方程2x+3=7”，引導(dǎo)學(xué)生用“等式的性質(zhì)”推理：2x=7-3→2x=4→x=2；“比例問(wèn)題”中，用“內(nèi)項(xiàng)積=外項(xiàng)積”推理解決“3:5=6:x”（3x=5×6→x=10）。（三）案例：“乘法意義”的階梯式推理低年級(jí)：用小棒擺“3個(gè)2”，說(shuō)“3個(gè)2相加是6”，寫(xiě)“2+2+2=6”；中年級(jí)：畫(huà)“3個(gè)圓圈，每個(gè)圓圈2個(gè)星星”，說(shuō)“3個(gè)2是6”，寫(xiě)“3×2=6”；高年級(jí)：用字母表示“a個(gè)b相加是ab”，寫(xiě)“b+b+…+b（a個(gè)）=ab”。通過(guò)階梯式推理，學(xué)生從“直觀動(dòng)作”到“抽象符號(hào)”，逐步理解乘法的本質(zhì)——“求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”。四、模型化應(yīng)用：從具體問(wèn)題到通用框架核心邏輯：模型是數(shù)量關(guān)系的“通用框架”，能將“具體問(wèn)題”抽象為“一類問(wèn)題”，幫助學(xué)生遷移解決同類問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的效率。（一）理論依據(jù)：模型是數(shù)學(xué)的“核心思想”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確將“模型思想”列為核心素養(yǎng)之一。數(shù)量關(guān)系模型是對(duì)“一類問(wèn)題”的抽象概括，例如，“總量=效率×?xí)r間”模型可應(yīng)用于“路程問(wèn)題”（路程=速度×?xí)r間）、“工程問(wèn)題”（工作量=工作效率×工作時(shí)間）、“生產(chǎn)問(wèn)題”（產(chǎn)量=生產(chǎn)效率×?xí)r間）等多個(gè)領(lǐng)域。（二）教學(xué)策略：“識(shí)別模型結(jié)構(gòu)”+“遷移應(yīng)用”1.模型識(shí)別訓(xùn)練：引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題的“數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)”，識(shí)別模型。例如：“小明每分鐘走50米，走了10分鐘，走了多少米？”（路程=速度×?xí)r間）；“工人每小時(shí)做20個(gè)零件，做了5小時(shí)，做了多少個(gè)零件？”（工作量=工作效率×工作時(shí)間）；讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者的“結(jié)構(gòu)相同”，均為“總量=效率×?xí)r間”。2.模型遷移練習(xí)：用模型解決“新問(wèn)題”，促進(jìn)遷移。例如，學(xué)了“路程=速度×?xí)r間”后，讓學(xué)生解決：“聲音在空氣中的傳播速度是340米/秒，傳播1700米需要多少時(shí)間？”（時(shí)間=路程÷速度）；“一輛汽車3小時(shí)走了180千米，平均每小時(shí)走多少千米？”（速度=路程÷時(shí)間）。通過(guò)遷移，學(xué)生能靈活應(yīng)用模型，解決“變式問(wèn)題”。（三）案例：“分?jǐn)?shù)乘法”模型的應(yīng)用模型：部分量=整體量×分率應(yīng)用場(chǎng)景：“一根繩子長(zhǎng)12米，用去1/3，用去了多少米？”（12×1/3=4）；“小明有20元錢(qián)，花了1/4買(mǎi)文具，花了多少錢(qián)？”（20×1/4=5）；“果園有100棵樹(shù)，蘋(píng)果樹(shù)占3/5，蘋(píng)果樹(shù)有多少棵？”（100×3/5=60）。學(xué)生通過(guò)“識(shí)別模型結(jié)構(gòu)”，能快速解決“同類分?jǐn)?shù)問(wèn)題”，提高解決問(wèn)題的效率。五、元認(rèn)知監(jiān)控：從自發(fā)思考到自覺(jué)反思核心邏輯：元認(rèn)知是思維的“監(jiān)控器”，能幫助學(xué)生“反思思考過(guò)程”，發(fā)現(xiàn)“思維漏洞”，提高思維的“準(zhǔn)確性與有效性”。（一）理論依據(jù)：元認(rèn)知是“思維的思維”弗拉維爾（Flavell）的元認(rèn)知理論指出，元認(rèn)知包括“元認(rèn)知知識(shí)”（關(guān)于思維的知識(shí)）、“元認(rèn)知體驗(yàn)”（思維中的感受）、“元認(rèn)知監(jiān)控”（對(duì)思維的調(diào)節(jié)）。元認(rèn)知監(jiān)控能讓學(xué)生從“自發(fā)思考”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白杂X(jué)思考”，例如，“我是怎么找到數(shù)量關(guān)系的？”“有沒(méi)有其他方法？”“哪里出錯(cuò)了？”（二）教學(xué)策略：“反思工具”+“自我提問(wèn)”1.設(shè)計(jì)反思工具：用“checklist（檢查清單）”引導(dǎo)學(xué)生反思。例如，“問(wèn)題解決checklist”：我理解問(wèn)題了嗎？（圈出已知條件，下劃線未知條件）；我找到數(shù)量關(guān)系了嗎？（寫(xiě)出數(shù)量關(guān)系式）；我用了什么方法解決？（算式、方程、畫(huà)圖）；我檢查了嗎？（計(jì)算是否正確，單位是否統(tǒng)一）。2.培養(yǎng)自我提問(wèn)能力：教學(xué)生用“問(wèn)題”引導(dǎo)反思，例如：“我有沒(méi)有漏掉條件？”；“這個(gè)數(shù)量關(guān)系對(duì)嗎？”；“有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的方法？”；“下次怎么避免這個(gè)錯(cuò)誤？”。（三）案例：“反思日志”的應(yīng)用讓學(xué)生每天寫(xiě)“數(shù)學(xué)反思日志”，記錄“解決問(wèn)題的過(guò)程”與“反思”。例如，某學(xué)生在日志中寫(xiě)：>“今天解決‘分蛋糕’問(wèn)題時(shí)，我一開(kāi)始把‘總數(shù)6塊’當(dāng)成了‘份數(shù)3個(gè)小朋友’，算成了6×3=18，后來(lái)老師提醒我，我才發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了，應(yīng)該是6÷3=2。下次解決問(wèn)題時(shí)，我要先分清‘總數(shù)’‘份數(shù)’‘每份數(shù)’?！蓖ㄟ^(guò)“反思日志”，學(xué)生能主動(dòng)“監(jiān)控”自己的思維過(guò)程，減少“低級(jí)錯(cuò)誤”，提高思維的“嚴(yán)謹(jǐn)性”。六、案例整合：“購(gòu)物問(wèn)題”的教學(xué)實(shí)踐以“小明買(mǎi)了3支鉛筆，每支2元，還買(mǎi)了一個(gè)筆記本5元，一共花了多少錢(qián)？”為例，整合上述五大策略：1.情境化感知：模擬“超市購(gòu)物”，讓學(xué)生扮演“小明”，拿3支鉛筆和1本筆記本，計(jì)算總價(jià)；2.結(jié)構(gòu)化表征：列表整理（鉛筆：3支×2元；筆記本：1本×5元）、畫(huà)線段圖（3段2元+1段5元）、寫(xiě)算式（3×2+5）；3.階梯式推理：低年級(jí)用“小棒擺3個(gè)2加5”，中年級(jí)用“線段圖數(shù)長(zhǎng)度”，高年級(jí)直接“計(jì)算”；4.模型化應(yīng)用：總結(jié)“總花費(fèi)=數(shù)量×單價(jià)+數(shù)量×單價(jià)”，遷移到“買(mǎi)水果”問(wèn)題（2斤蘋(píng)果×3元+1斤香蕉×4元=？）；5.元認(rèn)知監(jiān)控：用“checklist”檢查（已知條件、數(shù)量關(guān)系、方法、計(jì)算），寫(xiě)“反思日志”（“我有沒(méi)有漏掉條件？”“計(jì)算對(duì)嗎？”）。通過(guò)“整合策略”，學(xué)生不僅“解決了問(wèn)題”，更“理解了數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)”，提高了“思維能力”。結(jié)論培養(yǎng)學(xué)生數(shù)量關(guān)系思維能力是一個(gè)“系統(tǒng)工程”，需結(jié)合“情境化感知、結(jié)構(gòu)化表征、階梯式推理、模型化應(yīng)用、元認(rèn)知監(jiān)控”五大策略。這些