九年級數(shù)學旋轉幾何專題測試題一、測試說明測試范圍：旋轉的定義與性質、中心對稱圖形、坐標變換、旋轉構造全等三角形、旋轉的應用（求角度、線段長度、面積、最值）。測試目的：鞏固旋轉幾何核心知識點，提升幾何綜合應用能力，適應中考題型要求。建議時間：60分鐘。二、測試題（一）選擇題（每題3分，共15分）1.下列圖形中，不能通過旋轉一個基本圖形得到的是（）A.正六邊形B.平行四邊形C.圓D.等腰梯形2.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.矩形C.平行四邊形D.等腰梯形3.點\(A(1,-2)\)繞原點順時針旋轉\(90^\circ\)后的坐標是（）A.\((-2,-1)\)B.\((2,1)\)C.\((-1,2)\)D.\((-2,1)\)4.如圖，\(\triangleABC\)繞點\(O\)旋轉得到\(\triangleA'B'C'\)，若\(\angleAOA'=30^\circ\)，則旋轉角的大小是（）A.\(30^\circ\)B.\(60^\circ\)C.\(90^\circ\)D.\(120^\circ\)5.如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(AC=BC=2\)，將\(\triangleABC\)繞點\(C\)順時針旋轉\(60^\circ\)得到\(\triangleDEC\)，連接\(AE\)，則\(AE\)的長為（）A.\(2\)B.\(2\sqrt{2}\)C.\(2\sqrt{3}\)D.\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)（二）填空題（每題3分，共15分）6.正五邊形的最小旋轉角是______度。7.點\(P(-2,3)\)關于點\(O(1,-1)\)對稱的點的坐標是______。8.如圖，\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=60^\circ\)，將\(\triangleABC\)繞點\(A\)逆時針旋轉\(60^\circ\)得到\(\triangleADE\)，連接\(BD\)，則\(\triangleABD\)的形狀是______。9.如圖，正方形\(ABCD\)的邊長為1，將正方形\(AEFG\)繞點\(A\)順時針旋轉，使得點\(F\)落在\(BC\)邊上，點\(G\)落在\(CD\)邊上，則正方形\(AEFG\)的邊長為______。10.如圖，在平面直角坐標系中，點\(A(2,0)\)，點\(B(0,2)\)，將線段\(AB\)繞點\(A\)順時針旋轉\(90^\circ\)得到線段\(AC\)，則點\(C\)的坐標是______。（三）解答題（共70分）11.（12分）如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，點\(D\)是\(BC\)邊上的任意一點，將\(\triangleABD\)繞點\(A\)逆時針旋轉\(90^\circ\)得到\(\triangleACE\)，連接\(DE\)。（1）求證：\(\triangleADE\)是等腰直角三角形；（2）若\(BD=1\)，\(DC=3\)，求\(DE\)的長。12.（14分）如圖，在平面直角坐標系中，\(\triangleABC\)的頂點坐標為\(A(0,0)\)，\(B(3,0)\)，\(C(1,2)\)，將\(\triangleABC\)繞點\(B\)順時針旋轉\(90^\circ\)得到\(\triangleA'B'C'\)，求點\(A'\)和點\(C'\)的坐標。13.（14分）如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，點\(P\)是\(AB\)邊上的動點，將\(\triangleACP\)繞點\(C\)順時針旋轉\(90^\circ\)得到\(\triangleBCQ\)，連接\(PQ\)，求\(PQ\)的最小值。14.（20分）如圖，在四邊形\(ABCD\)中，\(AB=AD\)，\(\angleBAD=60^\circ\)，\(\angleBCD=120^\circ\)，求證：\(BC+CD=AC\)。三、答案與解析（一）選擇題1.答案：D解析：等腰梯形只能通過平移或軸對稱得到，無法通過旋轉一個基本圖形得到。正六邊形（旋轉\(60^\circ\)）、平行四邊形（旋轉\(180^\circ\)）、圓（旋轉任意角度）均可通過旋轉得到。2.答案：B解析：矩形既是中心對稱圖形（繞對角線交點旋轉\(180^\circ\)重合），又是軸對稱圖形（有兩條對稱軸）；等邊三角形是軸對稱，不是中心對稱；平行四邊形是中心對稱，不是軸對稱；等腰梯形是軸對稱，不是中心對稱。3.答案：A解析：點\((x,y)\)繞原點順時針旋轉\(90^\circ\)的坐標變換可通過“平移-旋轉-平移”驗證：將點\((1,-2)\)平移到原點得\((1,-2)\)，繞原點順時針旋轉\(90^\circ\)后向量方向變?yōu)榈谌笙?，坐標為\((-2,-1)\)，再平移回原位置即得結果。4.答案：A解析：旋轉角是對應點與旋轉中心連線的夾角（如\(\angleAOA'\)、\(\angleBOB'\)），故\(\angleAOA'=30^\circ\)即為旋轉角。5.答案：D解析：繞點\(C\)旋轉\(60^\circ\)后，\(CD=AC=2\)，\(CE=BC=2\)，\(\angleDCE=60^\circ\)，\(\triangleCDE\)為等邊三角形；\(\angleACE=90^\circ+60^\circ=150^\circ\)，在\(\triangleACE\)中用余弦定理：\(AE^2=2^2+2^2-2\times2\times2\times\cos150^\circ=8+4\sqrt{3}\)，故\(AE=\sqrt{6}+\sqrt{2}\)。（二）填空題6.答案：72解析：正\(n\)邊形的最小旋轉角為\(360^\circ/n\)，故正五邊形為\(360^\circ/5=72^\circ\)。7.答案：(4,-5)解析：點\((x,y)\)關于點\((a,b)\)對稱的坐標公式為\((2a-x,2b-y)\)，代入得\((2\times1-(-2),2\times(-1)-3)=(4,-5)\)。8.答案：等邊三角形解析：旋轉后\(AD=AB\)，\(\angleBAD=60^\circ\)（旋轉角等于\(\angleBAC\)），故\(\triangleABD\)為等邊三角形。9.答案：\(\sqrt{2}-1\)解析：設正方形\(AEFG\)邊長為\(x\)，則\(AF=\sqrt{2}x\)（對角線）。在\(Rt\triangleABF\)中，\(AB=1\)，\(BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{2x^2-1}\)；點\(G\)在\(CD\)邊上，故\(CG=1-\sqrt{2x^2-1}\)。在矩形\(FCGD\)中，\(FG=x=\sqrt{(1-\sqrt{2x^2-1})^2+(1-\sqrt{2x^2-1})^2}\)，解得\(x=\sqrt{2}-1\)。10.答案：(4,2)解析：線段\(AB\)繞點\(A\)順時針旋轉\(90^\circ\)，向量\(AB=(-2,2)\)順時針旋轉\(90^\circ\)后為\((2,2)\)（垂直且長度相等），故點\(C=A+\)旋轉后向量\(=(2+2,0+2)=(4,2)\)。（三）解答題11.解析：（1）證明：旋轉后\(AD=AE\)（對應邊相等），\(\angleDAE=\angleBAC=90^\circ\)（旋轉角等于原角），故\(\triangleADE\)為等腰直角三角形。（2）解：旋轉得\(CE=BD=1\)，\(\angleACE=\angleABD=45^\circ\)（等腰直角三角形底角），故\(\angleDCE=90^\circ\)。在\(Rt\triangleDCE\)中，\(DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)。12.解析：繞點\(B(3,0)\)順時針旋轉\(90^\circ\)的坐標變換公式為\((3+y,3-x)\)（平移-旋轉-平移推導）。點\(A(0,0)\)：\(3+0=3\)，\(3-0=3\)，故\(A'(3,3)\)；點\(C(1,2)\)：\(3+2=5\)，\(3-1=2\)，故\(C'(5,2)\)。驗證：向量\(BA=(-3,0)\)旋轉后為\((0,3)\)（\(A'\)坐標），向量\(BC=(-2,2)\)旋轉后為\((2,2)\)（\(C'\)坐標），均滿足垂直且長度相等。13.解析：旋轉后\(CP=CQ\)，\(\anglePCQ=90^\circ\)，故\(PQ=\sqrt{2}CP\)（等腰直角三角形斜邊）。\(CP\)的最小值為點\(C\)到\(AB\)的距離，\(AB=10\)，距離\(h=(6\times8)/10=24/5\)，故\(PQ\)最小值為\(\sqrt{2}\times24/5=24\sqrt{2}/5\)。14.解析：證明：將\(\triangleADC\)繞點\(A\)逆時針旋轉\(60^\circ\)得到\(\triangleABE\)（\(AB=AD\)為旋轉軸）。旋轉后\(BE=CD\)，\(AE=AC\)，\(\angleDAE=60^\circ\)，故\(\triangleACE\)為等邊三角形（\(AC=CE\)）；由\(\angleBAD=60^\circ\)、\(\angleBCD=120^\circ\)，得\(\angleABC+\angleADC=180^\circ\)，故\(\angleABC+\angleABE=180^\circ\)（\(\angleABE=\angleADC\)），即\(E\)、\(B\)、\(C\)共線