2/11專題02平面向量考點三年考情（2023-2025）命題趨勢考點1平面向量通常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，分值一般為5分左右。向量的線性運算，如加法、減法、數(shù)乘運算等是基礎(chǔ)內(nèi)容，常與平面向量基本定理結(jié)合考查。例如，通過已知向量表示未知向量，判斷向量之間的關(guān)系等。向量的數(shù)量積運算及其應(yīng)用是重點，包括數(shù)量積的定義、坐標運算、幾何意義等，常涉及求向量的模、夾角，判斷向量的垂直關(guān)系等。如2024年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查了平面向量的垂直運算，Ⅱ卷還結(jié)合了數(shù)量積的綜合運算1。向量常與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等知識相結(jié)合。如2023年全國甲卷理科第12題，考查了向量與圓的綜合問題命題主要集中在平面向量基本定理、坐標運算、數(shù)量積運算及其應(yīng)用等方面，如證明垂直、求距離、夾角、模長等。例如，2023年全國甲卷考查了向量夾角，2024年新課標全國Ⅱ卷考查了向量模長。整體難度一般不高，以基礎(chǔ)題和中檔題為主，注重對基本知識點和運算能力的考查1。常與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等知識相結(jié)合，作為解題工具出現(xiàn)。如2023年全國甲卷理科第12題，考查了向量與圓的綜合問題考點01平面向量一、單選題1．（2025·全國一卷·高考真題）帆船比賽中，運動員可借助風(fēng)力計測定風(fēng)速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級、名稱與風(fēng)速大小的對應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運動員在某時刻測得的視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風(fēng)為（

）等級風(fēng)速大小m/s名稱21.1~3.3輕風(fēng)33.4~5.4微風(fēng)45.5~7.9和風(fēng)58.0~10.1勁風(fēng)A．輕風(fēng) B．微風(fēng) C．和風(fēng) D．勁風(fēng)【答案】A【分析】結(jié)合題目條件和圖2寫出視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，得出真風(fēng)風(fēng)速的大小，即可由圖1得出結(jié)論.【詳解】由題意及圖得，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為：n=視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為n1，船行風(fēng)速對應(yīng)的向量為n∴n=n1∴n1n1∴由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，故選：A.2．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．λ+μ=?1C．λμ=1 D．λμ=?1【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出a+λb，【詳解】因為a=1,1,b=由a+λb⊥即1+λ1+μ+1?λ故選：D．3．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量a=3,1,b=A．117 B．1717 C．55【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得a+【詳解】因為a=(3,1),b=(2,2)則a+b=所以cosa故選：B.4．（2023·全國乙卷·高考真題）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC?ED=A．5 B．3 C．25 【答案】B【分析】方法一：以AB,AD為基底向量表示EC,【詳解】方法一：以AB,AD為基底向量，可知則EC=所以EC?方法二：如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，則E1,0,C2,2所以EC?方法三：由題意可得：ED=EC=5在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC=所以EC?故選：B.5．（2023·北京·高考真題）已知向量a，b滿足a+b=(2,3),A．?2 B．?1 C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.【詳解】向量a,b滿足所以|a故選：B6．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量a,b滿足a=1,a+2b=2A．12 B．22 C．3【答案】B【分析】由b?2a⊥b得b2【詳解】因為b?2a⊥b，所以又因為a=1,所以1+4a從而b=故選：B.7．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量a=(0,1),b=(2,x)，若b⊥(bA．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求x的值.【詳解】因為b⊥b?4所以b2?4a?b故選：D.8．（2023·全國乙卷·高考真題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若PO=2，則PA?A．1+22 C．1+2 D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得PA?PD=12?22【詳解】如圖所示，OA=1,OP=由勾股定理可得PA

當點A,D位于直線PO異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)∠OPC=則：PA?PD=1×====0≤α<π4∴當2α?π4=?π4

當點A,D位于直線PO同側(cè)時，設(shè)∠OPCα,0<α<π則：PA?PD=1×====10≤α<π4∴當2α+π4=π2綜上可得，PA?PD的最大值為故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.9．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量a,b,c滿足a=b=1,A．?45 B．?25 C．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為a+b+即a2+b2+2如圖,設(shè)OA=由題知,OA=OB=1,OC=2AB邊上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2×3故選:D.10．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)向量a=x+1,x,A．“x=?3”是“a⊥b”的必要條件 B．“x=1+3C．“x=0”是“a⊥b”的充分條件 D．“x=?1+3【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當a⊥b時，則所以x?(x+1)+2x=0，解得x=0或?3，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當x=0時，a=1,0,所以a⊥對B，當a//b時，則2(x+1)=x對D，當x=?1+3時，不滿足2(x+1)=x2故選：C.11．（2024·北京·高考真題）設(shè)a，b是向量，則“a+b·a?b=0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知a+b?【詳解】因為a+b?a?可知a+b?若a=b或a=?b，可得若a+b?a?b=0例如a=1,0,b=0,1，滿足綜上所述，“a+b?a?故選：B.12．（2025·北京·高考真題）在平面直角坐標系xOy中，|OA|=|OB|=2，|AB|=2A．[6,14] B．[6,12] C．[8,14] D．[8,12]【答案】D【分析】先根據(jù)AB=OB?OA，求出?OA【詳解】因為|OA|=|OB|=2，|由AB=OB?OA平方可得，2CA+AB所以，2=2+2+4×25?4OA又OA+OB?所以2CA+AB故選：D.二、填空題13．（2025·全國二卷·高考真題）已知平面向量a=(x,1),b=(x?1,2x),若a【答案】2【分析】根據(jù)向量坐標化運算得a?【詳解】a?b=(1,1?2x)，因為a則x+1?2x=0，解得x=1.則a=(1,1)，則|故答案為：2.14．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量a，b滿足a?b=3，a【答案】3【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令c=【詳解】法一：因為a+b=則a2+2a又因為a?b=則a2?2a法二：設(shè)c=a?由題意可得：c+2b2整理得：c2=b故答案為：3.15．（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=12【答案】14a【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合E為CD的中點進行求解；空2：用a,b表示出AF，結(jié)合上一空答案，于是AE?【詳解】空1：因為E為CD的中點，則ED+EC=兩式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因為BF=13BC，則得到AF+即3AF=2a于是AE?記AB=x,AC=y，則AE?在△ABC中，根據(jù)余弦定理：BC于是AE?由x2+y故xy≤1，當且僅當x=y=1取得等號，則x=y=1時，AE?AF有最大值故答案為：14a+

16．（2024·天津·高考真題）已知正方形ABCD的邊長為1，DE→=2EC→,若BE?=λBA?+μBC?，其中λ,μ為實數(shù)，則λ+μ=；設(shè)【答案】43【分析】解法一：以BA,BC為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求BE，即可得λ+μ，設(shè)BF=kBE，求AF,DG，結(jié)合數(shù)量積的運算律求AF?DG的最小值；解法二：建系標點，根據(jù)向量的坐標運算求BE，即可得【詳解】解法一：因為CE=12DE，即CE可得λ=13,μ=1由題意可知：BC=因為F為線段BE上的動點，設(shè)BF=k則AF=又因為G為AF中點，則DG=可得AF=1又因為k∈0,1，可知：當k=1時，AF?DG解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，則A?1,0可得BA=因為BE=λBA+μBC=因為點F在線段BE:y=?3x,x∈?13且G為AF中點，則Ga?1可得AF=則A