2/31專題04數(shù)列考點三年考情（2023-2025）命題趨勢考點1數(shù)列的通項公式與前n項和等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念依舊是是?？純?nèi)容，常給出數(shù)列為等差（等比）數(shù)列，或通過構(gòu)造為等差（等比）數(shù)列，來求通項公式及前n項和。如2023年全國乙卷、2023年全國新Ⅰ卷、2023年天津卷等都有涉及。數(shù)列求和方法：裂項相消求和、錯位相減求和、分組及并項求和等是常考內(nèi)容，常結(jié)合不等式、最值及范圍進行考查。題型上依然涵蓋選擇題、填空題和解答題，但出現(xiàn)了一些變化。一方面，數(shù)列在解答題中的位置有所變動，不再固定為簡單大題，如2024年有數(shù)列考壓軸的情況。另一方面，可能會出現(xiàn)一些創(chuàng)新題型，如2024年新高考Ⅰ卷考查了數(shù)列的新定義問題1。背景情境化：數(shù)列題目更注重聯(lián)系實際生活，以實際問題為背景，要求考生從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)列模型，如2023年新高考Ⅱ卷數(shù)列題以環(huán)保項目為背景2。這體現(xiàn)了數(shù)學在實際生活中的應(yīng)用，也考查了考生的數(shù)學建模能力。難度兩極化：整體難度呈現(xiàn)兩極化趨勢?；A(chǔ)題主要考查數(shù)列的基本概念，難度較低，如2024年高考新高考Ⅱ卷填空題中考查等差數(shù)列基本量的計算，難度較易1。但部分綜合題或創(chuàng)新題難度較大，對考生的邏輯推理、運算求解、知識遷移等能力要求較高，如2024年高考新高考Ⅱ卷大題中結(jié)合雙曲線考查等比數(shù)列的證明，難度較難。考點2數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列常與函數(shù)、方程、不等式、概率等知識綜合考查。如2023年新高考一卷數(shù)列和概率結(jié)合；數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點，考查不等式的恒成立問題、與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題等，常通過構(gòu)造函數(shù)證明，或者直接利用放縮法證明。等差、等比數(shù)列的綜合：重點考查等差、等比數(shù)列的基本運算、性質(zhì)以及通項公式、前n項和公式的應(yīng)用。如2024年全國甲卷理科真題中，通過等差數(shù)列的性質(zhì)來解題。數(shù)列求和及應(yīng)用：考查數(shù)列求和方法，如裂項相消法、錯位相減法、分組及并項求和法等，并且求和后常與不等式、函數(shù)最值等問題相互交織。2025年新高考一卷第16題，就采用錯位相減法求差比數(shù)列的和?？键c01數(shù)列的通項公式與前n項和一、單選題1．（2025·北京·高考真題）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a1=?2，若a3,A．?20 B．?18 C．16 D．18【答案】C【分析】由等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因為a3,a所以a42=a3a6所以a10故選：C.2．（2025·全國二卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S3=6,SA．?20 B．?15 C．?10 D．?5【答案】B【分析】由等差數(shù)列前n項和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項a1和公差d的方程求出首項a1和公差d，再由等差數(shù)列前【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由題可得3所以S6故選：B.3．（2025·天津·高考真題）Sn=?n2+8n，則數(shù)列aA．112 B．48 C．80 D．64【答案】C【分析】先由題設(shè)結(jié)合an=Sn?【詳解】因為Sn所以當n=1時，a1當n≥2時，an經(jīng)檢驗，a1所以an=?2n+9n∈N?設(shè)數(shù)列an的前n項和為T則數(shù)列an的前4項和為數(shù)列an的前12T=2S故選：C4．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S9=1，則A．?2 B．73 C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成a1和d【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由S9=1，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，又a3故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a1+aS9=9(故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差d=0，則S9=1=9a故選：D5．（2024·全國甲卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知S5=S10，A．72 B．73 C．?1【答案】B【分析】由S5=S10結(jié)合等差中項的性質(zhì)可得【詳解】由S10?S則等差數(shù)列an的公差d=a8故選：B.6．（2023·全國甲卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若a2+aA．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列an的公差和首項，再根據(jù)前n方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列an的公差，再根據(jù)前n【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項為aa2+a又a4a8所以S5故選：C.方法二：a2+a6=2a4從而d=a8?所以S5故選：C.7．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，前n項和Sn，若a1=1，S5A．158 B．658 C．15【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于q的方程,計算出q,即可求出S4【詳解】由題知1+q+q即q3+q4=4q+4由題知q>0,所以q=2.所以S4故選:C.8．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1=2,aA．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得a4【詳解】當n≥2,n∈N?時，an=2S當n=1時，a2所以數(shù)列an則a4故選：C.9．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若S4=?5，S6A．120 B．85 C．?85 D．?120【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)S4方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，首項為a若q=?1，則S4=0≠?5，與題意不符，所以若q=1，則S6=6a由S4=?5，S6=21S2由①可得，1+q2+所以S8=故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因為S4=?5，S6=21S從而，S2所以有，?5?S22=S當S2=?1時，S2易知，S8+21=?64，即當S2=5與S4故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握S4二、多選題10．（2025·全國二卷·高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，q為an的公比，q>0，若A．q=12 C．S5=8 【答案】AD【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前n項和公式得到方程組，解出a1,q，再利用其通項公式和前【詳解】對A，由題意得a1q2=1a1+對B，則a5對C，S5對D，an=4×1則an故選：AD.三、填空題11．（2025·全國一卷·高考真題）若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為.【答案】2【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項公式與前n項和的定義，得到關(guān)于q的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前n項和性質(zhì)得到關(guān)于q的方程，解之即可得解.【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為an，Sn是其前n項和，則設(shè)an的公比為q當q=1時，S4=4a1=4當q≠1時，則S4兩式相除得1?q81?則1+q4=17所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.法二：設(shè)該等比數(shù)列為an，Sn是其前n項和，則設(shè)an的公比為q所以S4S==a所以41+q4=68，則所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.法三：設(shè)該等比數(shù)列為an，Sn是其前n項和，則設(shè)an的公比為q因為S8又S4所以S8?S所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.12．（2025·上?！じ呖颊骖}）己知等差數(shù)列an的首項a1=?3，公差d=2【答案】12【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S6故答案為：1213．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm,325mm,325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為mm，升量器的高為mm．【答案】2357.5/115【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.【詳解】設(shè)升量器的高為?1，斗量器的高為?2（單位都是mm），則故?2=23mm故答案為：23mm,11514．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3+【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出a1【詳解】因為數(shù)列an為等差數(shù)列，則由題意得a1+2d+則S10故答案為：95.15．（2023·全國甲卷·高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和．若8S6=7【答案】?【分析】先分析q≠1，再由等比數(shù)列的前n項和公式和平方差公式化簡即可求出公比q.【詳解】若q=1，則由8S6=7S3所以q≠1.當q≠1時，因為8S所以8?a即8?1?q6=7?1?解得q=?1故答案為：?16．（2023·全國乙卷·高考真題）已知an為等比數(shù)列，a2a4a5【答案】?2【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對a2a4a5=a3a【詳解】設(shè)an的公比為qq≠0，則a2則a4=q2，即a1q3則q15=q53故答案為：?2.考點02數(shù)列的綜合應(yīng)用2025年6月21日高中數(shù)學作業(yè)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列an的公差為2π3，集合S=cosann∈NA．－1 B．?12 C．0 【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列{an}顯然函數(shù)y=cos[2π3n+(a則在cosa1,cosa2于是有cosθ=cos(θ+即有θ+(θ+2π3或者θ+(θ+4π3)=2k所以k∈Z，ab=cos(k故選：B2．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列an滿足an+1=A．當a1=3時，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M≤0B．當a1=5時，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M≤6C．當a1=7時，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>6D．當a1=9時，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造fx=14x?63+6?x，利用導數(shù)求得fx的正負情況，再利用數(shù)學歸納法判斷得各選項an所在區(qū)間，從而判斷an的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造?x=14x3?92x2+26x?47x≤3【詳解】法1：因為an+1=1對于A，若a1=3，可用數(shù)學歸納法證明：an證明：當n=1時，a1?6=?3≤?3，此時不等關(guān)系設(shè)當n=k時，ak則ak+1?6=1由數(shù)學歸納法可得an而an+114an?62?1≥9故an為減數(shù)列，注意故an+1?6=1所以6?an+1≥94若存在常數(shù)M≤0，使得an>M恒成立，則故6?M3>94n?1，故n<故A不成立.對于B，若a1=5,可用數(shù)學歸納法證明：?1≤a證明：當n=1時，?1≤a1?6=?1≤0設(shè)當n=k時，5≤a則ak+1?6=1由數(shù)學歸納法可得5≤a而an+114an?62?1<0，an若M=6，則an對于C，當a1=7時，可用數(shù)學歸納法證明：0<a證明：當n=1時，0<a設(shè)當n=k時，6<a則ak+1?6=14由數(shù)學歸納法可得6<a而an+1?an=又an+1?6=an?6×1若an+1≤6+14n則M?6<14n?1恒成立，故n<對于D，當a1=9時，可用數(shù)學歸納法證明：an證明：當n=1時，a1設(shè)當n=k時，ak則ak+1?6=1由數(shù)學歸納法可得an而an+1?an=又an+1?6=an?6×1若存在常數(shù)M>0，使得an<M恒成立，則故M>6+394n?1，故n<故選：B.法2：因為an+1令fx=1令f'x>0，得0<x<6?令f'x<0所以fx在?∞,6?23令fx=0，則14x3?92x注意到4<6?233所以結(jié)合fx的單調(diào)性可知在?∞,4和6,8上fx<0，在4,6對于A，因為an+1=1當n=1時，a1=3，a2假設(shè)當n=k時，ak當n=k+1時，ak+1?6=1綜上：an≤3，即因為在?∞,4上fx<0，所以因為an+1令?x=1因為?'x開口向上，對稱軸為所以?'x在?∞所以?x在?∞,3故an+1?a假設(shè)存在常數(shù)M≤0，使得an取m1=?M+4，其中因為an+1<a上式相加得，a?則am1=對于B，因為a1當n=1時，a1=5<6，假設(shè)當n=k時，ak當n=k+1時，因為ak<6，所以ak所以ak+1又當n=1時，a2?5=1假設(shè)當n=k時，ak當n=k+1時，因為ak≥5，所以ak所以ak+1綜上：5≤a因為在4,6上fx>0，所以an+1此時，取M=6，滿足題意，故B正確；對于C，因為an+1=1注意到當a1=7時，a2=猜想當n≥2時，ak當n=2與n=3時，a2=14+6假設(shè)當n=k時，ak當n=k+1時，所以ak+1綜上：an易知3n?1>0，則0<1所以an因為在6,8上fx<0，所以an+1假設(shè)存在常數(shù)M>6，使得an記m0=log32則3m故123m?1>所以am<M，故對于D，因為a1當n=1時，a2?6=1假設(shè)當n=k時，ak當n=k+1時，ak+1?6=1綜上：an因為在8,+∞上fx>0，所以a因為an+1令gx=1因為g'x開口向上，對稱軸為所以g'x在9,+∞所以gx故an+1?a假設(shè)存在常數(shù)M>0，使得an取m2=M+1，其中因為an+1>a上式相加得，aM則am2=故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項給出與通項性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.3．（2025·上海·高考真題）已知數(shù)列an、bn、cn的通項公式分別為an=10n?9，bn=2n、，cn=λanA．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個【答案】B【分析】由cn=λan+(1?λ)【詳解】由題意an,b三點均在第一象限內(nèi)，由cn=λa故點C恒在線段AB上，則有mina即對任意的λ∈0,1，c令10x?9=2x，構(gòu)造函數(shù)則f'(x)=2又f'(3)<0,f'(4)>0即當0<x<x0時，f'當x>x0時，f'故f(x)至多2個零點，又由f(1)>0,f(2)<0,f(5)<0,f(6)>0，可知f(x)存在2個零點，不妨設(shè)x1,x2①若an≤bn，即10n?9≤2則an≤c要使an、bn、所以an+c所以有10n?9≤2n2②若an≥bn，即則an≥c要使an、bn、所以bn+c所以有10n?9≥2n10n?9<2n+1綜上可知，正整數(shù)n的個數(shù)有3個.故選：B.二、填空題4．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列an，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且a1=1,a5=12,a9【答案】48384【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解d,q，進而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項求a7【詳解】方法一：設(shè)前3項的公差為d，后7項公比為q>0，則q4=a9a則a3=1+2d=a5q空1：可得a3空2：a方法二：空1：因為an,3≤n≤7為等比數(shù)列，則且an>0，所以又因為a52=空2：設(shè)后7項公比為q>0，則q2=a可得a1+a故答案為：48；384.5．（2024·北京·高考真題）設(shè)an與bn是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合①若an與bn均為等差數(shù)列，則②若an與bn均為等比數(shù)列，則③若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則④若an為遞增數(shù)列，bn為遞減數(shù)列，則其中正確結(jié)論的序號是.【答案】①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，因為an而兩條直線至多有一個公共點，故M中至多一個元素，故①正確.對于②，取an=2但當n為偶數(shù)時，有an=2n?1=對于③，設(shè)bn=Aq若M中至少四個元素，則關(guān)于n的方程Aq若q>0,q≠1，則由y=Aqn和y=kn+b的散點圖可得關(guān)于n的方程若q<0,q≠±1，考慮關(guān)于n的方程Aq當Aqn=kn+b方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時Akln否則Aklnq<0方程Aq當Aqn=kn+b方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時?Aklnq否則Aklnq>0方程?Aq因為Aklnq>0故Aqn=kn+b取q=?2,a1=?2,d=6,b1對于④，因為an為遞增數(shù)列，b后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故答案為：①③④.【點睛】思路點睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時，等比數(shù)列的公比可能為負，此時要注意合理轉(zhuǎn)化.三、解答題6．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求an(2)求數(shù)列Sn的前n【答案】(1)a(2)15【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；（2）利用分組求和法即可求Sn【詳解】（1）因為2Sn=3所以2an=3an+1故2a1=3a2（2）由等比數(shù)列求和公式得Sn所以數(shù)列Sn的前nT=37．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列an滿足a1(1)證明：na(2)設(shè)f(x)=a1x+【答案】(1)證明見解析；(2)f【分析】（1）根據(jù)題目所給條件an+1（2）先求出an的通項公式，代入函數(shù)并求導，函數(shù)兩邊同乘以x，作差并利用等比數(shù)列前n【詳解】（1）由題意證明如下，n∈N在數(shù)列an中，a1=3∴n+1an+1=n∴nan是以（2）由題意及（1）得，n∈N在數(shù)列na∴nan=3+1×在fxfx=3x+2∴f'當x≠1且x≠0時，∴1?xf∴f∴f=1+=1?=78．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an(2)求數(shù)列an+12n的前n【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據(jù)an（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為2S當n=1時，2a1=當n=3時，21+a3當n≥2時，2Sn?1=化簡得：n?2an=n?1an?1，當當n=1,2時都滿足上式，所以an（2）因為an+12n12兩式相減得，12=1?1+n2129．（2023·全國乙卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an(2)求數(shù)列an的前n項和T【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據(jù)題意列式求解a1（2）先求Sn，討論an的符號去絕對值，結(jié)合【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得a2=a1+d=11所以an（2）因為Sn令an=15?2n>0，解得n<15當n≤7時，則an>0，可得當n≥8時，則an<0=S綜上所述：Tn10．（2024·全國甲卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an(2)設(shè)bn=(?1)n?1nan【答案】(1)a(2)T【分析】（1）利用退位法可求an（2）利用錯位相減法可求Tn【詳解】（1）當n=1時，4S1=4當n≥2時，4Sn?1=3an?1而a1=4≠0，故an∴數(shù)列an是以4為首項，?3所以an（2）bn所以Tn=故3所以?2=4+4?31?=(2?4n)?3∴T11．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C:x2?y2=mm>0，點P15,4在C上，k為常數(shù)，0<k<1．按照如下方式依次構(gòu)造點Pnn=2,3,...：過Pn?1作斜率為k的直線與C(1)若k=12，求(2)證明：數(shù)列xn?y(3)設(shè)Sn為△PnPn+1【答案】(1)x2=3(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計算出P2（2）思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗證結(jié)論；思路二：利用點差法和合比性質(zhì)即可證明；（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明Sn的取值為與n無關(guān)的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明Sn的取值為與n無關(guān)的定值即可.思路三：利用點差法得到kPnPn+1=【詳解】（1）由已知有m=52?42當k=12時，過P15,4且斜率為12的直線為y=解得x=?3或x=5，所以該直線與C的不同于P1的交點為Q1?3,0故P23,0，從而x2（2）方法一：由于過Pnxn,yn且斜率為k的直線為展開即得1?k2x2?2kyn?kx從而根據(jù)韋達定理，另一根x=2kyn所以該直線與C的不同于Pn的交點為Qn2kyn?xn?所以Pn+1這就得到xn+1=x所以x=x再由x12?y12=9方法二：因為Pnxn,yn，由于xn+12?xn+1?y因此xn?y（3）方法一：先證明一個結(jié)論：對平面上三個點U,V,W，若UV=a,b，UW=c,d，則S△UVW證明：S====1證畢，回到原題.由于上一小問已經(jīng)得到xn+1=x故xn+1再由x12?y12=9所以對任意的正整數(shù)m，都有x=====9而又有Pn+1Pn故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得S===1這就表明Sn的取值是與n無關(guān)的定值，所以S方法二：由于上一小問已經(jīng)得到xn+1=x故xn+1再由x12?y12=9所以對任意的正整數(shù)m，都有x=====9這就得到xn+2以及xn+1兩式相減，即得xn+2移項得到xn+2故yn+3而PnPn+3所以PnPn+3和Pn+1P方法三：由于xn+12?變形得kPn同理可得kP由（2）知xn?yn是公比為1+k1?k的等比數(shù)列，令同時xn+yn是公比為1將②③代入①，y即kPnPn+1=【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識的結(jié)合，需要綜合運用多方面知識方可得解.12．（2024·天津·高考真題）已知an為公比大于0的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且(1)求an的通項公式及S(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=（?。┣笞C：當n=ak+1k∈（ⅱ）求i=1S【答案】(1)a(2)①證明見詳解；②i=1【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q>0，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項公式求q（2）①根據(jù)題意分析可知ak=2k?1,bn【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q>0因為a1=1,S可得1+q=q2?1，整理得q2?q?2=0所以an（2）（i）由（1）可知an=2當n=ak+1=2可知akbn?1可得bn?1當且僅當k=2時，等號成立，所以bn?1（ii）由（1）可知：Sn若n=1，則S1若n≥2，則ak+1當2k?1<i≤2k?1可得i=2所以i=1S且n=1，符合上式，綜上所述：i=1S【點睛】關(guān)鍵點點睛：1.分析可知當2k?1<i≤2k?12.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得i=213．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列an,bn的項數(shù)均為m(m>2)，且an,bn∈{1,2,?,m},an,bn的前n項和分別為(1)若a1=2,a(2)若a1≥b1，且(3)證明：存在p,q,s,t∈0,1,2,?,m，滿足p>q,s>t,使得A【答案】(1)r0=0，r1=1(2)r(3)證明見詳解【分析】（1）先求A0（2）根據(jù)題意題意分析可得ri+1?r（3）討論Am【詳解】（1）由題意可知：A0當k=0時，則B0=A當k=1時，則B0<A當k=2時，則Bi<A當k=3時，則Bi<A綜上所述：r0=0，r1=1，（2）由題意可知：rn≤m，且因為an≥1,bn≥1，且a所以r0又因為2ri≤ri?1可得ri+1反證：假設(shè)滿足rn+1?r當i≥j時，則ri+1?ri≥2則rm=r又因為1≤j≤m?1，則rm假設(shè)不成立，故rn+1即數(shù)列rn是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以r（3）因為an,b（ⅰ）若Am=Bm，則可取t=q=0，滿足（ⅱ）若Am<B構(gòu)建Sn=Brn反證，假設(shè)存在正整數(shù)K，使得SK則BrK?這與brK+1∈1,2,???,m①若存在正整數(shù)N，使得SN=B可取t=q=0,p=N,s=r滿足p>q,s>t，使得Ap②若不存在正整數(shù)N，使得SN因為Sn∈?1,?2,???,?所以必存在1≤X<Y≤m，使得SX即BrX?可取p=Y,s=r滿足p>q,s>t，使得Ap（ⅲ）若Am定義Rk=max構(gòu)建Sn=ARn反證，假設(shè)存在正整數(shù)K,1≤K≤m，使得SK則ARK?這與aRK+1∈1,2,???,m①若存在正整數(shù)N，使得SN=A可取q=t=0,s=N,p=R即滿足p>q,s>t，使得Ap②若不存在正整數(shù)N，使得SN因為Sn∈?1,?2,???,?所以必存在1≤X<Y≤m，使得SX即ARX?可取p=R滿足p>q,s>t，使得Ap綜上所述：存在0≤q<p≤m,0≤t<s≤m使得Ap14．（2024·北京·高考真題）已知集合M=i,j,k,wi∈1,2,j∈3,4,k∈5,6,w∈7,8,且i+j+k+w為偶數(shù)．給定數(shù)列A:a1,a2,?,a8，和序列Ω(1)給定數(shù)列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7,(2)是否存在序列Ω，使得ΩA為a1+2,(3)若數(shù)列A的各項均為正整數(shù)，且a1+a3+a5【答案】(1)Ω(2)不存在符合條件的Ω，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接按照ΩA的定義寫出Ω（2）解法一：利用反證法，假設(shè)存在符合條件的Ω，由此列出方程組，進一步說明方程組無解即可；解法二：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，可知序列Ω共有8項，可知：b2n?1（3）解法一：分充分性和必要性兩方面論證；解法二：若a1+a2=a3【詳解】（1）因為數(shù)列A:1,3,2,4,6,3,1,9，由序列T11,3,5,7可得由序列T22,4,6,8可得由序列T31,3,5,7可得所以ΩA（2）解法一：假設(shè)存在符合條件的Ω，可知ΩA的第1,2項之和為a1+a2則a1故不存在符合條件的Ω；解法二：由題意可知：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設(shè)存在符合條件的Ω，且ΩA因為2+6+4+2+8+2+4+44=8，即序列由題意可知：b2n?1檢驗可知：當n=2,3時，上式不成立，即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的Ω.（3）解法一：我們設(shè)序列Ts...T2T必要性：若存在序列Ω:T1則as,1=a根據(jù)Ts...T2T1A所以不斷使用該式就得到a1充分性：若a1由已知，a1+a3+我們設(shè)Ts...T2T1A上面已經(jīng)說明as,2j?1+as,2j=從而由a1+a同時，由于it+jt+kt+w下面證明不存在j=1,2,3,4使得as,2j?1假設(shè)存在，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)j=1，as,2j?1?a情況1：若as,3?as,4+as,5對該數(shù)列連續(xù)作四次變換2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7后，新的as+4,1情況2：若as,3?a情況2-1：如果as,3?as,4≥1，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換2,4,5,7,2,4,6,8后，新的a情況2-2：如果as,4?as,3≥1，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換2,3,5,8,2,3,6,7后，新的a這就說明無論如何都會導致矛盾，所以對任意的j=1,2,3,4都有as,2j?1假設(shè)存在j=1,2,3,4使得as,2j?1?as,2j=1，則a則此時對任意j=1,2,3,4，由as,2j?1?a而as,1+as,3+as,5+as,7和as,2+a綜上，只可能as,2j?1?as,2j=0解法二：由題意可知：Ω中序列的順序不影響ΩA且a1（ⅰ）若a1不妨設(shè)a1≤a①當a1=a分別執(zhí)行a1個序列2,4,6,8、a2個序列可得a1②當a1,a3,即a1分別執(zhí)行a2個序列1,3,5,7、a7可得a1即a1因為a1+a可知a1,a分別執(zhí)行a7?a12個序列1,3,5,7，1,3,6,8可得3a為常數(shù)列，符合題意；③若a1=a3<分別執(zhí)行a5個1,3,6,8、a1個可得a1因為a1可得a1即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；④當a1,a3,即a1分別執(zhí)行a1個2,4,5,7、a5個可得a1且a1+a因為a1+a則a1且a1+a⑤若a1<a3<分別執(zhí)行a1個2,3,5,8、a3個可得a1且a1+a因為a1則a1且a1+a綜上所述：若a1+a2=（ⅱ）若存在序列Ω，使得ΩA因為對任意ΩA均有b1+b若ΩA為常數(shù)列，則b所以a1綜上所述：“存在序列Ω，使得ΩA為常數(shù)列”的充要條件為“a【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵在于對新定義的理解，以及對其本質(zhì)的分析.15．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1,a2,...,a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項ai和(1)寫出所有的i,j，1≤i<j≤6，使數(shù)列a1,a(2)當m≥3時，證明：數(shù)列a1,a(3)從1,2,...,4m+2中任取兩個數(shù)i和ji<j，記數(shù)列a1,a2【答案】(1)1,2(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)i,j?（2）根據(jù)i,j?（3）證