任意角三角函數(shù)習(xí)題集與解析一、基礎(chǔ)概念：任意角與三角函數(shù)定義（一）知識(shí)點(diǎn)回顧1.任意角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正角，順時(shí)針為負(fù)角，未旋轉(zhuǎn)為零角；終邊相同的角可表示為\(\alpha+k\cdot360^\circ\)（\(k\in\mathbb{Z}\)，角度制）或\(\alpha+2k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)，弧度制）。2.弧度制：\(1\text{弧度}=\frac{180^\circ}{\pi}\)，\(\pi\text{弧度}=180^\circ\)；弧長(zhǎng)公式\(l=|\alpha|r\)，扇形面積公式\(S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha|r^2\)。3.三角函數(shù)定義：?jiǎn)挝粓A法：設(shè)角\(\alpha\)終邊與單位圓交于點(diǎn)\(P(x,y)\)，則\(\sin\alpha=y\)，\(\cos\alpha=x\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)（\(x\neq0\)）。終邊坐標(biāo)法：若角\(\alpha\)終邊上有一點(diǎn)\(Q(a,b)\)（\(a\neq0\)），則\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}\)，\(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)，\(\tan\alpha=\frac{a}\)。（二）例題解析例1：將\(-120^\circ\)化為弧度制，并寫(xiě)出與它終邊相同的角的集合。解析：角度轉(zhuǎn)弧度：\(-120^\circ=-120\times\frac{\pi}{180}=-\frac{2\pi}{3}\)。終邊相同的角集合：\(\{\beta|\beta=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\)（或角度制：\(\{\beta|\beta=-120^\circ+k\cdot360^\circ,k\in\mathbb{Z}\}\)）。例2：已知角\(\alpha\)終邊過(guò)點(diǎn)\(P(-3,4)\)，求\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\tan\alpha\)的值。解析：計(jì)算點(diǎn)\(P\)到原點(diǎn)的距離：\(r=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)。根據(jù)三角函數(shù)定義：\(\sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{4}{5}\)（終邊在第二象限，\(\sin\alpha>0\)），\(\cos\alpha=\frac{x}{r}=-\frac{3}{5}\)（第二象限，\(\cos\alpha<0\)），\(\tan\alpha=\frac{y}{x}=-\frac{4}{3}\)（第二象限，\(\tan\alpha<0\)）。例3：判斷\(\sin(-\frac{7\pi}{6})\)、\(\cos(\frac{5\pi}{4})\)、\(\tan(\frac{2\pi}{3})\)的符號(hào)。解析：\(-\frac{7\pi}{6}=-2\pi+\frac{5\pi}{6}\)，終邊在第二象限，\(\sin\alpha>0\)，故\(\sin(-\frac{7\pi}{6})>0\)。\(\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}\)，終邊在第三象限，\(\cos\alpha<0\)，故\(\cos(\frac{5\pi}{4})<0\)。\(\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3}\)，終邊在第二象限，\(\tan\alpha<0\)，故\(\tan(\frac{2\pi}{3})<0\)。二、誘導(dǎo)公式：化簡(jiǎn)與求值（一）知識(shí)點(diǎn)回顧誘導(dǎo)公式的核心是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”：奇變偶不變：若角為\(\frac{\pi}{2}\timesk+\alpha\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），則\(k\)為奇數(shù)時(shí)，三角函數(shù)名改變（\(\sin\leftrightarrow\cos\)，\(\tan\leftrightarrow\cot\)）；\(k\)為偶數(shù)時(shí)，三角函數(shù)名不變。符號(hào)看象限：將\(\alpha\)視為銳角，判斷原角所在象限的三角函數(shù)符號(hào)，即為結(jié)果的符號(hào)。（二）例題解析例4：計(jì)算\(\sin(-\frac{11\pi}{6})\)的值。解析：第一步：利用奇偶性化簡(jiǎn)負(fù)角：\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)，故\(\sin(-\frac{11\pi}{6})=-\sin(\frac{11\pi}{6})\)。第二步：將\(\frac{11\pi}{6}\)化為\(2\pi-\frac{\pi}{6}\)，利用終邊相同角公式：\(\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha\)，故\(\sin(\frac{11\pi}{6})=\sin(2\pi-\frac{\pi}{6})=-\sin(\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}\)。第三步：代入第一步結(jié)果：\(-\sin(\frac{11\pi}{6})=-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\)。例5：化簡(jiǎn)\(\cos(\pi+\alpha)\cdot\tan(\alpha-2\pi)\cdot\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\)。解析：逐個(gè)化簡(jiǎn)三角函數(shù)：\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)（\(\pi+\alpha\)為第三象限角，\(\cos\)為負(fù)），\(\tan(\alpha-2\pi)=\tan\alpha\)（\(\tan\)周期為\(\pi\)，\(-2\pi\)不改變終邊），\(\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\)（\(\frac{\pi}{2}-\alpha\)為第一象限角，\(\sin\)變\(\cos\)，符號(hào)為正）。代入原式：\((-\cos\alpha)\cdot\tan\alpha\cdot\cos\alpha=-\cos\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=-\sin\alpha\cos\alpha\)。例6：已知\(\sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=\frac{1}{3}\)，求\(\cos(\pi-\alpha)\)的值。解析：先化簡(jiǎn)已知條件：\(\sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=-\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，故\(\cos\alpha=-\frac{1}{3}\)。計(jì)算目標(biāo)表達(dá)式：\(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha=-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}\)。三、同角三角函數(shù)基本關(guān)系：聯(lián)立與應(yīng)用（一）知識(shí)點(diǎn)回顧1.平方關(guān)系：\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)；2.商數(shù)關(guān)系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)（\(\cos\alpha\neq0\)）；3.倒數(shù)關(guān)系：\(\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\)（\(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2}\)）。（二）例題解析例7：已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)在第二象限，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。解析：由平方關(guān)系得：\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-(\frac{3}{5})^2=\frac{16}{25}\)。因\(\alpha\)在第二象限，\(\cos\alpha<0\)，故\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)。由商數(shù)關(guān)系得：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。例8：已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}{3\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。解析：方法一（齊次式化簡(jiǎn)）：分子分母同除以\(\cos\alpha\)（\(\cos\alpha\neq0\)），得\(\frac{\tan\alpha+2}{3\tan\alpha-1}=\frac{2+2}{3\times2-1}=\frac{4}{5}\)。方法二（聯(lián)立方程）：設(shè)\(\sin\alpha=2\cos\alpha\)，代入平方關(guān)系得\(4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，故\(\cos^2\alpha=\frac{1}{5}\)，\(\sin^2\alpha=\frac{4}{5}\)。代入原式得\(\frac{2\cos\alpha+2\cos\alpha}{3\times2\cos\alpha-\cos\alpha}=\frac{4\cos\alpha}{5\cos\alpha}=\frac{4}{5}\)（注意：若\(\cos\alpha=0\)，則\(\tan\alpha\)無(wú)意義，故無(wú)需考慮）。例9：證明恒等式\(\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}=(\sec\alpha-\tan\alpha)^2\)。解析：左邊：分子分母同乘以\(1-\sin\alpha\)，得\(\frac{(1-\sin\alpha)^2}{1-\sin^2\alpha}=\frac{(1-\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}=(\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha})^2\)。右邊：\((\sec\alpha-\tan\alpha)^2=(\frac{1}{\cos\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2=(\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha})^2\)。左邊=右邊，恒等式成立。四、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)：變換與應(yīng)用（一）知識(shí)點(diǎn)回顧1.基本函數(shù)性質(zhì)：\(y=\sinx\)：定義域\(\mathbb{R}\)，值域\([-1,1]\)，周期\(2\pi\)，奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間\([2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}]\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。\(y=\cosx\)：定義域\(\mathbb{R}\)，值域\([-1,1]\)，周期\(2\pi\)，偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間\([2k\pi,2k\pi+\pi]\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。\(y=\tanx\)：定義域\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\}\)，值域\(\mathbb{R}\)，周期\(\pi\)，奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間\((k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2})\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。2.圖像變換：平移變換：\(y=\sin(x+\varphi)\)（左加右減），\(y=\sinx+b\)（上加下減）；伸縮變換：\(y=\sin(\omegax)\)（橫坐標(biāo)伸縮\(1/\omega\)倍），\(y=A\sinx\)（縱坐標(biāo)伸縮\(A\)倍）。（二）例題解析例10：求函數(shù)\(y=2\cos(3x-\frac{\pi}{6})+1\)的周期、振幅、初相及單調(diào)遞減區(qū)間。解析：標(biāo)準(zhǔn)形式：\(y=A\cos(\omegax+\varphi)+b\)，其中\(zhòng)(A=2\)（振幅），\(\omega=3\)（角頻率），\(\varphi=-\frac{\pi}{6}\)（初相），\(b=1\)（縱向平移量）。周期：\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3}\)。單調(diào)遞減區(qū)間：解不等式\(2k\pi\leq3x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），得\(\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{18}\leqx\leq\frac{2k\pi}{3}+\frac{7\pi}{18}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。例11：將函數(shù)\(y=\sinx\)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)的圖像？解析：方法一（先平移后伸縮）：1.向左平移\(\frac{\pi}{4}\)個(gè)單位：\(y=\sin(x+\frac{\pi}{4})\)；2.橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)（縱坐標(biāo)不變）：\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)；3.縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變）：\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)。方法二（先伸縮后平移）：1.橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)：\(y=\sin(2x)\)；2.向左平移\(\frac{\pi}{8}\)個(gè)單位（因\(2(x+\frac{\pi}{8})=2x+\frac{\pi}{4}\)）：\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)；3.縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍：\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)。例12：求函數(shù)\(y=\sqrt{\sinx-\frac{1}{2}}\)的定義域。解析：根號(hào)內(nèi)非負(fù)：\(\sinx-\frac{1}{2}\geq0\)，即\(\sinx\geq\frac{1}{2}\)。解三角不等式：\(2k\pi+\frac{\pi}{6}\leqx\leq2k\pi+\frac{5\pi}{6}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。五、綜合應(yīng)用：化簡(jiǎn)與實(shí)際問(wèn)題（一）例題解析例13：化簡(jiǎn)\(\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\tan(-\alpha+\pi)}{-\tan(-\alpha-\pi)\sin(-\alpha-\pi)}\)。解析：逐個(gè)化簡(jiǎn)三角函數(shù)：\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(-\alpha+\pi)=\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\)，\(-\tan(-\alpha-\pi)=-\tan(-(\alpha+\pi))=\tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha\)，\(\sin(-\alpha-\pi)=\sin(-(\alpha+\pi))=-\sin(\alpha+\pi)=\sin\alpha\)。代入原式：\(\frac{\sin\alpha\cdot\cos\alpha\cdot(-\tan\alpha)}{\tan\alpha\cdot\sin\alpha}=\frac{-\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\tan\alpha\sin\alpha}=\frac{-\sin^2\alpha}{\tan\alpha\sin\alpha}=\frac{-\sin\alpha}{\tan\alpha}=-\cos\alpha\)。例14：某鐘表的時(shí)針長(zhǎng)5cm，分針長(zhǎng)8cm，求從12點(diǎn)到1點(diǎn)，時(shí)針和分針掃過(guò)的扇形面積之差（結(jié)果保留\(\pi\)）。解析：時(shí)針從12點(diǎn)到1點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為\(30^\circ=\frac{\pi}{6}\)弧度，掃過(guò)面積：\(S_1=\frac{1}{2}r_1^2\alpha=\frac{1}{2}\times5^2\times\frac{\pi}{6}=\frac{25\pi}{12}\)\(\text{cm}^2\)。分針從12點(diǎn)到1點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為\(360^\circ=2\pi\)弧度，掃過(guò)面積：\(S_2=\frac{1}{2}r_2^2\beta=\frac{1}{2}\times8^2\times2\pi=64\pi\)\(\text{cm}^2\)。面積之差：\(|S_1-S_2|=64\pi-\frac{25\pi}{12}=\frac{768\pi-25\pi}