五年級數(shù)學(xué)分數(shù)專題復(fù)習(xí)講義一、分數(shù)的基本概念：從“分”到“數(shù)”的本質(zhì)理解（一）分數(shù)的產(chǎn)生：解決“不能整除”的問題在整數(shù)除法中，當(dāng)無法得到整數(shù)商時，分數(shù)應(yīng)運而生。例如：把1個蛋糕平均分給2人，每人得$\frac{1}{2}$個；把3個蘋果平均分給4人，每人得$\frac{3}{4}$個。（二）單位“1”：分數(shù)的“參照系”定義：一個物體、一個計量單位或一群物體，都可以看作一個整體，用“1”表示，稱為單位“1”（注意：單位“1”必須是“平均”分的前提）。舉例：把“全班同學(xué)”看作單位“1”，平均分成5組，每組是全班的$\frac{1}{5}$；把“1米”看作單位“1”，平均分成10段，每段是1米的$\frac{1}{10}$（即$\frac{1}{10}$米）。（三）分數(shù)的意義：“份數(shù)”與“整體”的關(guān)系定義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份的數(shù)，叫做分數(shù)。分子：表示取了其中的幾份（如$\frac{3}{5}$中的“3”表示取了3份）；分母：表示把單位“1”平均分成的份數(shù)（如$\frac{3}{5}$中的“5”表示分成5份）；分數(shù)線：表示“平均分”。（四）分數(shù)單位：分數(shù)的“最小單元”定義：把單位“1”平均分成若干份，其中的1份就是這個分數(shù)的分數(shù)單位。舉例：$\frac{5}{7}$的分數(shù)單位是$\frac{1}{7}$，它有5個這樣的分數(shù)單位；注意：分數(shù)單位的大小由分母決定，分母越大，分數(shù)單位越?。ㄈ?\frac{1}{5}>\frac{1}{8}$）。（五）分數(shù)與除法的關(guān)系：數(shù)與運算的統(tǒng)一分數(shù)是除法的另一種表示形式，二者的關(guān)系為：$$a\divb=\frac{a}\quad(b\neq0)$$被除數(shù)$a$→分子，除數(shù)$b$→分母，商→分數(shù)值；舉例：$4\div5=\frac{4}{5}$（表示4個物體平均分成5份，每份是$\frac{4}{5}$）；強調(diào)：分母$b$不能為0（0不能作除數(shù)）。小練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固）：1.把單位“1”平均分成8份，取其中的5份，用分數(shù)表示為（$\frac{5}{8}$），它的分數(shù)單位是（$\frac{1}{8}$）。2.3÷7=（$\frac{3}{7}$），$\frac{5}{9}$表示（5）÷（9）。3.1里面有（5）個$\frac{1}{5}$，（7）個$\frac{1}{7}$是1。二、分數(shù)的基本性質(zhì)：“變與不變”的規(guī)律（一）性質(zhì)內(nèi)容：分子分母的“同乘同除”分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。字母表示：$\frac{a}=\frac{a\timesc}{b\timesc}=\frac{a\divc}{b\divc}$（$b\neq0,c\neq0$）；舉例：$\frac{2}{3}=\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}$，$\frac{6}{8}=\frac{6\div2}{8\div2}=\frac{3}{4}$。（二）性質(zhì)的核心應(yīng)用：約分與通分1.約分：化簡分數(shù)到“最簡”定義：把一個分數(shù)的分子、分母同時除以它們的最大公因數(shù)，化成分子、分母互質(zhì)的分數(shù)（最簡分數(shù)）。步驟：（1）找出分子、分母的最大公因數(shù)（如$\frac{12}{18}$，12和18的最大公因數(shù)是6）；（2）分子分母同時除以最大公因數(shù)（$12\div6=2$，$18\div6=3$）；（3）得到最簡分數(shù)（$\frac{2}{3}$）。注意：最簡分數(shù)的分子和分母只有公因數(shù)1。2.通分：統(tǒng)一分數(shù)的“分母”定義：把幾個異分母分數(shù)化成與原分數(shù)大小相等的同分母分數(shù)（公分母）。步驟：（1）找出異分母的最小公倍數(shù)（如$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{3}$，最小公倍數(shù)是6）；（2）將每個分數(shù)的分子分母同時乘適當(dāng)?shù)臄?shù)，使分母變?yōu)樽钚」稊?shù)（$\frac{1}{2}=\frac{1\times3}{2\times3}=\frac{3}{6}$，$\frac{1}{3}=\frac{1\times2}{3\times2}=\frac{2}{6}$）；（3）得到同分母分數(shù)（$\frac{3}{6}$和$\frac{2}{6}$）。注意：公分母通常取最小公倍數(shù)，使計算更簡便。小練習(xí)（能力提升）：1.約分：$\frac{15}{25}$=（$\frac{3}{5}$），$\frac{18}{24}$=（$\frac{3}{4}$）。2.通分：$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{5}$的公分母是（20），通分后為（$\frac{5}{20}$）和（$\frac{4}{20}$）。三、分數(shù)的加減法：“相同單位”才能相加減（一）同分母分數(shù)加減法：分母不變，分子相加減規(guī)則：分母相同（分數(shù)單位相同），直接把分子相加或相減，分母保持不變，結(jié)果化為最簡分數(shù)。舉例：$\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3+1}{5}=\frac{4}{5}$（4個$\frac{1}{5}$）；$\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{7-3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$（化簡為最簡分數(shù)）。（二）異分母分數(shù)加減法：先通分，再計算規(guī)則：異分母分數(shù)的分數(shù)單位不同，必須先通分轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)，再按同分母分數(shù)加減法計算。舉例：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$（通分，公分母6）→$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$；$\frac{3}{4}-\frac{1}{5}$（通分，公分母20）→$\frac{15}{20}-\frac{4}{20}=\frac{11}{20}$。（三）帶分數(shù)加減法：兩種方法任選帶分數(shù)由“整數(shù)部分+分數(shù)部分”組成，計算時可采用兩種方法：1.分開計算：整數(shù)部分與整數(shù)部分相加，分數(shù)部分與分數(shù)部分相加（分數(shù)部分需通分），結(jié)果合并。舉例：$2\frac{1}{3}+1\frac{1}{2}=(2+1)+(\frac{1}{3}+\frac{1}{2})=3+\frac{5}{6}=3\frac{5}{6}$；2.化成假分數(shù)：帶分數(shù)轉(zhuǎn)化為假分數(shù)后，按異分母分數(shù)加減法計算。舉例：$3\frac{1}{4}-1\frac{1}{2}=\frac{13}{4}-\frac{3}{2}=\frac{13}{4}-\frac{6}{4}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$。小練習(xí)（綜合應(yīng)用）：1.同分母計算：$\frac{5}{7}+\frac{2}{7}$=（1），$\frac{9}{10}-\frac{3}{10}$=（$\frac{3}{5}$）。2.異分母計算：$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$=（$\frac{1}{2}$），$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$=（$\frac{5}{12}$）。3.帶分數(shù)計算：$1\frac{1}{2}+2\frac{1}{3}$=（$3\frac{5}{6}$），$4\frac{1}{5}-2\frac{1}{2}$=（$1\frac{7}{10}$）。四、分數(shù)與小數(shù)的互化：“數(shù)的兩種形式”的轉(zhuǎn)換（一）分數(shù)化小數(shù)：分子÷分母方法：用分數(shù)的分子除以分母，得到小數(shù)（除不盡時保留兩位或三位小數(shù)）。舉例：$\frac{3}{4}=3\div4=0.75$（有限小數(shù)）；$\frac{1}{3}\approx0.333$（無限循環(huán)小數(shù)）；$\frac{5}{8}=5\div8=0.625$（有限小數(shù)）。（二）小數(shù)化分數(shù)：“幾位小數(shù)”對應(yīng)“幾分之幾”方法：1.一位小數(shù)→十分之幾（如$0.5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$）；2.兩位小數(shù)→百分之幾（如$0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$）；3.三位小數(shù)→千分之幾（如$0.125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}$）；注意：結(jié)果必須化為最簡分數(shù)。小練習(xí)（快速轉(zhuǎn)換）：1.分數(shù)化小數(shù)：$\frac{2}{5}$=（0.4），$\frac{7}{10}$=（0.7）。2.小數(shù)化分數(shù)：$0.6$=（$\frac{3}{5}$），$0.375$=（$\frac{3}{8}$）。五、分數(shù)的實際應(yīng)用：用“分數(shù)思維”解決生活問題（一）分數(shù)加減法的應(yīng)用：求“增減后的量”例1：一根繩子長$\frac{3}{4}$米，用去$\frac{1}{3}$米，還剩多少米？解答：$\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{9}{12}-\frac{4}{12}=\frac{5}{12}$（米）。結(jié)論：求剩余量用減法，異分母分數(shù)需通分。（二）分數(shù)意義的應(yīng)用：求“占比”或“份數(shù)”例2：把5個梨平均分給8個小朋友，每個小朋友分得這些梨的幾分之幾？每個小朋友分得多少個梨？解答：每個小朋友分得這些梨的$\frac{1}{8}$（單位“1”是5個梨，平均分成8份，每份占$\frac{1}{8}$）；每個小朋友分得$\frac{5}{8}$個梨（5÷8=$\frac{5}{8}$）。結(jié)論：“占比”看單位“1”的份數(shù)，“具體數(shù)量”看總數(shù)量÷份數(shù)。（三）綜合應(yīng)用：“多步分數(shù)問題”例3：小明第一天看了一本書的$\frac{1}{3}$，第二天看了$\frac{1}{4}$，兩天一共看了這本書的幾分之幾？還剩幾分之幾沒看？解答：兩天共看：$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$；剩余：$1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$（把整本書看作單位“1”）。小練習(xí)（生活場景）：1.小紅買了$\frac{2}{3}$千克蘋果，又買了$\frac{1}{2}$千克香蕉，一共買了多少千克水果？（$\frac{7}{6}$千克）2.一塊蛋糕，爸爸吃了$\frac{1}{4}$，媽媽吃了$\frac{1}{3}$，剩下的給小明，小明吃了這塊蛋糕的幾分之幾？（$\frac{5}{12}$）六、易錯點與注意事項：規(guī)避“分數(shù)陷阱”1.單位“1”的判斷：“甲是乙的$\frac{1}{3}$”→單位“1”是“乙”；“甲比乙多$\frac{1}{3}$”→單位“1”是“乙”（甲=乙×$(1+\frac{1}{3})$）；易錯：把“部分量”當(dāng)作單位“1”（如“小明吃了$\frac{1}{2}$個蘋果，占總數(shù)的$\frac{1}{3}$”，單位“1”是“蘋果總數(shù)”）。2.分母不能為0：分數(shù)的分母表示“平均分成的份數(shù)”，0不能表示“份數(shù)”，因此分母$b\neq0$；分數(shù)與除法的關(guān)系中，除數(shù)$b\neq0$。3.結(jié)果必須最簡：分數(shù)加減法、約分、通分的結(jié)果都要化為最簡分數(shù)（分子分母互質(zhì)）。4.異分母分數(shù)加減必須通分：不能直接把分子、分母分別相加（如$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\neq\frac{2}{5}$），必須先通分。七、復(fù)習(xí)方法建議：高效鞏固分數(shù)知識1.構(gòu)建知識框架：用思維導(dǎo)圖整理分數(shù)的“概念→性質(zhì)→運算→應(yīng)用”，理清邏輯關(guān)系（如“分數(shù)單位”是“同分母加減”的基礎(chǔ)，“基本性質(zhì)”是“約分通分”的依據(jù)）。2.整理錯題本：收集平時練習(xí)中的錯題（如單位“1”判斷錯誤、通分錯誤、結(jié)果未最簡），分析錯誤原因，針對性練習(xí)（如每天做5道單位“1”判斷題）。3.聯(lián)系生活實際：用分數(shù)解決身邊的問題（如“家里的水