一、引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值與值域）是研究函數(shù)行為的“工具包”。從導(dǎo)數(shù)求極值到三角函數(shù)化簡，從數(shù)列增減性判斷到不等式求解，函數(shù)性質(zhì)貫穿高中數(shù)學(xué)始終。本文將系統(tǒng)解析人教版教材中函數(shù)的核心性質(zhì)，結(jié)合定義、判定方法與實例，構(gòu)建完整的知識體系，助力讀者深化理解與靈活應(yīng)用。二、函數(shù)基本概念回顧在研究函數(shù)性質(zhì)前，需明確以下基礎(chǔ)概念：1.函數(shù)定義設(shè)\(A,B\)為非空實數(shù)集，若對\(A\)中任意\(x\)，通過對應(yīng)關(guān)系\(f\)都有唯一\(y\inB\)與之對應(yīng)，則稱\(f:A\toB\)為函數(shù)，記作\(y=f(x)\)。其中：\(A\)為定義域（自變量取值范圍）；\(B\)為陪域（函數(shù)值可能的范圍）；\(\{f(x)|x\inA\}\)為值域（函數(shù)值實際范圍，值域?陪域）。2.核心要素函數(shù)的三要素為定義域、對應(yīng)法則、值域。判斷兩函數(shù)相等，需同時滿足定義域相同且對應(yīng)法則一致（值域自然一致）。3.定義域的重要性定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的前提。例如：求單調(diào)性時，需明確“在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)”；判斷奇偶性時，定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱（否則非奇非偶）。三、函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性描述函數(shù)值隨自變量增大的變化趨勢，是函數(shù)的“增減性”。1.定義（符號語言）設(shè)函數(shù)\(f(x)\)定義域為\(D\)，區(qū)間\(I\subseteqD\)：增函數(shù)：對任意\(x_1<x_2\inI\)，有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)；減函數(shù)：對任意\(x_1<x_2\inI\)，有\(zhòng)(f(x_1)>f(x_2)\)。2.判定方法（1）定義法（基本步驟）①取值：任取\(x_1<x_2\inI\)；②作差：計算\(f(x_1)-f(x_2)\)；③變形：因式分解、配方或有理化，轉(zhuǎn)化為易判斷符號的形式；④定號：判斷差的符號；⑤結(jié)論：差負(fù)則增，差正則減。例：證明\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上遞增。證明：任取\(x_1<x_2\)，\[f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2).\]因\(x_1<x_2\)，故\(x_1-x_2<0\)；又\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+\frac{x_2}{2})^2+\frac{3x_2^2}{4}>0\)（僅當(dāng)\(x_1=x_2=0\)時取等，而\(x_1\neqx_2\)），故差為負(fù)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)，故\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上遞增。（2）導(dǎo)數(shù)法（高效方法）若\(f(x)\)在\(I\)內(nèi)可導(dǎo)：\(f'(x)>0\)恒成立?\(f(x)\)在\(I\)上遞增；\(f'(x)<0\)恒成立?\(f(x)\)在\(I\)上遞減。例：求\(f(x)=x^2-2x+3\)的單調(diào)區(qū)間。解：\(f'(x)=2x-2\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)。\(x<1\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)遞減；\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)遞增。故遞減區(qū)間為\((-\infty,1)\)，遞增區(qū)間為\((1,+\infty)\)。（3）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（同增異減）設(shè)\(y=f(g(x))\)，其中\(zhòng)(u=g(x)\)，\(y=f(u)\)：若\(u=g(x)\)遞增，\(y=f(u)\)遞增，則\(y=f(g(x))\)遞增；若\(u=g(x)\)遞增，\(y=f(u)\)遞減，則\(y=f(g(x))\)遞減；反之亦然（同增異減）。例：求\(f(x)=\log_2(x^2-2x)\)的遞增區(qū)間。解：定義域\(x^2-2x>0\)?\(x<0\)或\(x>2\)。令\(u=x^2-2x\)，則\(f(x)=\log_2u\)。\(u=x^2-2x\)的遞增區(qū)間為\((1,+\infty)\)，\(\log_2u\)遞增。結(jié)合定義域，\(f(x)\)的遞增區(qū)間為\((2,+\infty)\)。3.單調(diào)性的性質(zhì)單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)仍單調(diào)，且單調(diào)性一致；兩遞增函數(shù)之和仍遞增，兩遞減函數(shù)之和仍遞減；遞增函數(shù)與遞減函數(shù)之差：遞增-遞減=遞增，遞減-遞增=遞減；若\(f(x)\)遞增且\(f(x)>0\)，則\(1/f(x)\)遞減。四、函數(shù)的奇偶性奇偶性描述函數(shù)圖像的對稱特征，是“對稱性”的特殊情況（關(guān)于原點(diǎn)或y軸對稱）。1.定義（對稱性）設(shè)函數(shù)\(f(x)\)定義域\(D\)關(guān)于原點(diǎn)對稱（\(x\inD\Rightarrow-x\inD\)）：奇函數(shù)：對任意\(x\inD\)，有\(zhòng)(f(-x)=-f(x)\)（圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱）；偶函數(shù)：對任意\(x\inD\)，有\(zhòng)(f(-x)=f(x)\)（圖像關(guān)于y軸對稱）。2.判定方法（1）定義法（兩步走）①檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱（若否，非奇非偶）；②計算\(f(-x)\)，比較與\(f(x)\)、\(-f(x)\)的關(guān)系：\(f(-x)=-f(x)\)?奇函數(shù)；\(f(-x)=f(x)\)?偶函數(shù)；均不滿足?非奇非偶。例1：判斷\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性。解：定義域\(\mathbb{R}\)關(guān)于原點(diǎn)對稱。\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，故為奇函數(shù)。例2：判斷\(f(x)=x^2+2x+1\)的奇偶性。解：定義域\(\mathbb{R}\)關(guān)于原點(diǎn)對稱。\(f(-x)=x^2-2x+1\)，既不等于\(f(x)\)也不等于\(-f(x)\)，故非奇非偶。（2）圖像法（直觀判斷）奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱（旋轉(zhuǎn)180°重合）；偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱（折疊重合）。3.奇偶性的性質(zhì)奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；奇函數(shù)在\(x=0\)處有定義，則\(f(0)=0\)（因\(f(0)=-f(0)\)）；偶函數(shù)在對稱區(qū)間\([-a,a]\)上的積分：\(\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx\)；奇函數(shù)的積分：\(\int_{-a}^af(x)dx=0\)。五、函數(shù)的周期性周期性描述函數(shù)值的“重復(fù)性”，即函數(shù)圖像每隔一定區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)。1.定義（重復(fù)性）設(shè)函數(shù)\(f(x)\)定義域為\(D\)，若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對任意\(x\inD\)，有\(zhòng)(x+T\inD\)且\(f(x+T)=f(x)\)，則稱\(f(x)\)為周期函數(shù)，\(T\)為其一個周期。若周期中存在最小正數(shù)，則稱其為最小正周期。2.常見周期函數(shù)三角函數(shù)：\(\sinx\)、\(\cosx\)的最小正周期為\(2\pi\)；\(\tanx\)、\(\cotx\)的最小正周期為\(\pi\)；常數(shù)函數(shù)：\(f(x)=C\)（任意非零常數(shù)都是周期，無最小正周期）。3.判定方法（1）定義法尋找非零常數(shù)\(T\)，驗證\(f(x+T)=f(x)\)對任意\(x\inD\)成立。例：證明\(f(x)=\sin2x\)的最小正周期為\(\pi\)。證明：\(f(x+\pi)=\sin2(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin2x=f(x)\)，故\(\pi\)是周期。若存在\(0<T<\pi\)為周期，則\(\sin2(x+T)=\sin2x\)?\(2T=2k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），與\(0<T<\pi\)矛盾，故最小正周期為\(\pi\)。（2）公式法（三角函數(shù)專用）\(y=A\sin(\omegax+\phi)\)、\(y=A\cos(\omegax+\phi)\)的最小正周期：\(T=\frac{2\pi}{|\omega|}\)；\(y=A\tan(\omegax+\phi)\)、\(y=A\cot(\omegax+\phi)\)的最小正周期：\(T=\frac{\pi}{|\omega|}\)。例：求\(f(x)=\cos(3x+\frac{\pi}{4})\)的最小正周期。解：\(\omega=3\)，故\(T=\frac{2\pi}{3}\)。4.周期性的性質(zhì)若\(T\)是周期，則\(kT\)（\(k\in\mathbb{Z},k\neq0\)）也是周期；周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為周期函數(shù)，且周期與原函數(shù)相同；若\(f(x)\)周期為\(T\)，則\(f(ax+b)\)（\(a\neq0\)）的周期為\(\frac{T}{|a|}\)。六、函數(shù)的對稱性對稱性描述函數(shù)圖像的“對稱關(guān)系”，包括關(guān)于直線對稱、關(guān)于點(diǎn)對稱等。1.常見對稱類型（1）關(guān)于直線對稱y軸對稱：\(f(-x)=f(x)\)（偶函數(shù)）；直線\(x=a\)對稱：對任意\(x\)，有\(zhòng)(f(a+x)=f(a-x)\)（圖像關(guān)于\(x=a\)對稱）。例：\(f(x)=(x-1)^2\)關(guān)于\(x=1\)對稱，因\(f(1+x)=(1+x-1)^2=x^2\)，\(f(1-x)=(1-x-1)^2=x^2\)，故\(f(1+x)=f(1-x)\)。（2）關(guān)于點(diǎn)對稱原點(diǎn)對稱：\(f(-x)=-f(x)\)（奇函數(shù)）；點(diǎn)\((a,b)\)對稱：對任意\(x\)，有\(zhòng)(f(a+x)+f(a-x)=2b\)（圖像關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)對稱）。例：\(f(x)=2x+1\)關(guān)于點(diǎn)\((0,1)\)對稱，因\(f(0+x)+f(0-x)=2x+1+(-2x+1)=2=2\times1\)。2.對稱性與奇偶性的關(guān)系若\(f(x)\)關(guān)于\(x=a\)對稱，則\(g(x)=f(x+a)\)是偶函數(shù)（令\(x=a+t\)，則\(g(-t)=f(a-t)=f(a+t)=g(t)\)）；若\(f(x)\)關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)對稱，則\(g(x)=f(x+a)-b\)是奇函數(shù)（令\(x=a+t\)，則\(g(-t)=f(a-t)-b=2b-f(a+t)-b=-g(t)\)）。3.對稱性與周期性的關(guān)系若\(f(x)\)同時關(guān)于直線\(x=a\)和\(x=b\)（\(a\neqb\)）對稱，則\(f(x)\)是周期函數(shù)，周期為\(2|a-b|\)；若\(f(x)\)同時關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)和點(diǎn)\((c,d)\)（\(a\neqc\)）對稱，則\(f(x)\)是周期函數(shù)，周期為\(2|a-c|\)；若\(f(x)\)關(guān)于直線\(x=a\)和點(diǎn)\((b,c)\)（\(a\neqb\)）對稱，則\(f(x)\)是周期函數(shù)，周期為\(4|a-b|\)。七、函數(shù)的最值與值域最值是函數(shù)值的極端值，值域是函數(shù)值的全體范圍，二者是函數(shù)性質(zhì)的“綜合體現(xiàn)”。1.定義最大值：存在\(x_0\inD\)，對任意\(x\inD\)，有\(zhòng)(f(x)\leqf(x_0)\)，記為\(\max\{f(x)\}=f(x_0)\)；最小值：存在\(x_0\inD\)，對任意\(x\inD\)，有\(zhòng)(f(x)\geqf(x_0)\)，記為\(\min\{f(x)\}=f(x_0)\)；值域：\(\{f(x)|x\inD\}\)，記為\(R_f\)。2.求值域的常用方法（1）單調(diào)性法（最常用）若函數(shù)在區(qū)間\(I\)上單調(diào)，則值域為端點(diǎn)函數(shù)值組成的區(qū)間（遞增為\([f(a),f(b)]\)，遞減為\([f(b),f(a)]\)）。例：求\(f(x)=x-\lnx\)（\(x>0\)）的值域。解：\(f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)。\(0<x<1\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)遞減；\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)遞增。故\(x=1\)是最小值點(diǎn)，\(f(1)=1-\ln1=1\)。當(dāng)\(x\to0^+\)時，\(\lnx\to-\infty\)，故\(f(x)\to+\infty\)；當(dāng)\(x\to+\infty\)時，\(x\)增長比\(\lnx\)快，故\(f(x)\to+\infty\)。值域為\([1,+\infty)\)。（2）配方法（二次函數(shù)專用）將函數(shù)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的最值求值域。例：求\(f(x)=x^2-4x+5\)的值域。解：\(f(x)=(x-2)^2+1\)，因\((x-2)^2\geq0\)，故\(f(x)\geq1\)，值域為\([1,+\infty)\)。（3）換元法（含根號、三角函數(shù)）代數(shù)換元：如\(t=\sqrt{x-1}\)（\(t\geq0\)），將函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項式；三角換元：如\(\sqrt{a^2-x^2}\)，令\(x=a\sin\theta\)（\(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)），轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)。例：求\(f(x)=x+\sqrt{x-1}\)的值域。解：令\(t=\sqrt{x-1}\)（\(t\geq0\)），則\(x=t^2+1\)，\(f(x)=t^2+1+t=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)。因\(t\geq0\)，故\((t+\frac{1}{2})^2\geq\frac{1}{4}\)，故\(f(x)\geq1\)，值域為\([1,+\infty)\)。（4）判別式法（分式函數(shù)）將函數(shù)化為關(guān)于\(x\)的二次方程，利用判別式\(\Delta\geq0\)求值域（需注意分母不為零）。例：求\(f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}\)的值域。解：令\(y=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}\)，則\(y(x^2+1)=x^2+x+1\)?\((y-1)x^2-x+(y-1)=0\)。當(dāng)\(y=1\)時，方程變?yōu)閈(-x=0\)?\(x=0\)，有解，故\(y=1\)是值域中的值；當(dāng)\(y\neq1\)時，\(\Delta=(-1)^2-4(y-1)^2\geq0\)?\(4(y-1)^2\leq1\)?\(\frac{1}{2}\leqy\leq\frac{3}{2}\)。綜上，值域為\([\frac{1}{2},\frac{3}{2}]\)。八、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)并非孤立存在，而是相互關(guān)聯(lián)、協(xié)同作用的。以下通過實例說明其綜合應(yīng)用：1.利用單調(diào)性與奇偶性解不等式例：已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，\(f(1)=0\)，求不等式\(f(x-1)>0\)的解集。分析：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上也遞增；\(f(1)=0\)?\(f(-1)=-f(1)=0\)。解：當(dāng)\(x-1>0\)時，\(f(x-1)>f(1)\)?\(x-1>1\)?\(x>2\)；當(dāng)\(x-1<0\)時，\(f(x-1)>f(-1)\)?\(x-1>-1\)?\(x>0\)，結(jié)合\(x-1<0\)得\(0<x<1\)；當(dāng)\(x-1=0\)時，\(f(0)=0\)，不滿足\(f(0)>0\)。綜上，解集為\((0,1)\cup(2,+\infty)\)。2.利用周期性與對稱性求函數(shù)值例：已知\(f(x)\)是周期為2的函數(shù)，且關(guān)于\(x=1\)對稱，\(f(0)=1\)，求\(f(3)\)的值。分析：周期為2?\(f(x+2)=f(x)\)；關(guān)于\(x=1\)對稱?\(f(1+x)=f(1-x)\)。解：\(f(3)=f(1+2)=f(1)\)（周期為2）；\(f(1)=f(1+0)=f(1-0)=f(0)=1\)（關(guān)于\(x=1\)對稱）；故\(f(3)=1\)。3.利用對稱性與周期性求函數(shù)表達(dá)式例：已知\(f(x)\)是周期為2的函數(shù)，且在\([-1,1]\)上\(f(x)=x^2\)，求\(f(x)\)在\([1,3]\)上的表達(dá)式