長方體與正方體表面積及體積專項練習(xí)：概念、題型與解題技巧一、引言長方體與正方體是小學(xué)幾何的核心內(nèi)容，其表面積與體積的計算不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)柱體、錐體的基礎(chǔ)，更在實(shí)際生活中有著廣泛應(yīng)用（如計算容器用料、空間容量、物體體積等）。本文從基礎(chǔ)概念出發(fā)，拆解表面積與體積的常見題型，結(jié)合解題技巧與易錯點(diǎn)提示，幫助學(xué)習(xí)者系統(tǒng)掌握這一知識點(diǎn)。二、基礎(chǔ)概念回顧在進(jìn)入練習(xí)前，需先明確長方體與正方體的核心定義及公式推導(dǎo)邏輯（避免死記硬背）：1.基本定義長方體：由6個長方形（或正方形）圍成的立體圖形，有8個頂點(diǎn)、12條棱（分為長\(a\)、寬\(b\)、高\(yùn)(c\)，每組相對棱長度相等）、6個面（相對面面積相等）。正方體：特殊的長方體，12條棱長度均相等（記為\(a\)），6個面均為全等的正方形。2.表面積公式推導(dǎo)表面積是所有面的面積之和：長方體：相對面面積相等，故表面積\(S=2(ab+bc+ac)\)（前后面\(2ab\)、左右面\(2bc\)、上下面\(2ac\)）。正方體：6個面完全相同，故表面積\(S=6a^2\)。3.體積公式推導(dǎo)體積是物體所占空間的大小，柱體（包括長方體、正方體）的體積通用公式為：體積=底面積×高（\(V=Sh\)）。長方體：底面為長方形，底面積\(S=ab\)，故體積\(V=abc\)。正方體：底面為正方形，底面積\(S=a^2\)，故體積\(V=a^3\)。三、表面積專項練習(xí)：題型與技巧表面積計算的核心是明確“有多少個面需要計算”，常見題型包括以下幾類：1.基本公式應(yīng)用：完整幾何體的表面積例1：一個長方體長5厘米，寬3厘米，高2厘米，求其表面積。解題思路：直接代入長方體表面積公式\(S=2(ab+bc+ac)\)。計算過程：\(2×(5×3+3×2+5×2)=2×(15+6+10)=2×31=62\)（平方厘米）。易錯點(diǎn)：漏乘2（忘記相對面面積相等）。2.缺面問題：實(shí)際物體的表面積（如無蓋容器、通風(fēng)管）例2：做一個無蓋長方體魚缸，長8分米，寬5分米，高6分米，需要多少平方分米的玻璃？解題思路：無蓋意味著少一個頂面（長×寬），故表面積=完整表面積-頂面面積，或直接計算5個面的面積之和（前+后+左+右+底）。計算過程：方法一：\(2×(8×5+5×6+8×6)-8×5=2×(40+30+48)-40=2×118-40=236-40=196\)（平方分米）。方法二：\(8×5+2×(5×6+8×6)=40+2×(30+48)=40+156=196\)（平方分米）。易錯點(diǎn)：誤算成6個面（多算頂面），或漏算側(cè)面（如只算前后左右四個面，忘記底面）。3.切割與拼接：表面積的變化規(guī)律例3：將一個棱長為4厘米的正方體切成兩個完全相同的長方體，每個長方體的表面積是多少？解題思路：切割后，正方體的表面積會增加兩個切面的面積（切面為正方形，面積\(4×4=16\)平方厘米）。原正方體表面積為\(6×4^2=96\)平方厘米，切割后總表面積為\(96+2×16=128\)平方厘米，每個長方體的表面積為\(128÷2=64\)平方厘米。另一種思路：直接計算切割后的長方體尺寸（長4厘米，寬4厘米，高2厘米），表面積\(2×(4×4+4×2+4×2)=2×(16+8+8)=2×32=64\)（平方厘米）。規(guī)律總結(jié)：切割1次：增加2個切面的面積（如沿平行于底面切割，增加2個底面面積）；拼接1次：減少2個拼接面的面積（如兩個正方體拼接成一個長方體，減少2個正方形面的面積）。4.展開圖問題：由展開圖求表面積例4：下圖是一個長方體的展開圖（單位：厘米），求其表面積。（注：展開圖中，長、寬、高分別為a、b、c，需先確定對應(yīng)尺寸）解題思路：展開圖中，相對的面在展開后不相鄰，需先找出長、寬、高的數(shù)值。例如，若展開圖中最長的邊為長\(a=5\)厘米，相鄰的邊為寬\(b=3\)厘米，最短的邊為高\(yùn)(c=2\)厘米，則表面積仍用\(2(ab+bc+ac)\)計算。易錯點(diǎn)：混淆展開圖中各邊對應(yīng)的長、寬、高（可通過標(biāo)記“上、下、前、后、左、右”面來驗(yàn)證）。四、體積專項練習(xí)：題型與技巧體積計算的核心是底面積×高，需注意體積與表面積的區(qū)別（體積是空間大小，表面積是表面面積之和）。1.基本公式應(yīng)用：完整幾何體的體積例5：一個正方體棱長為3分米，求其體積。解題思路：代入正方體體積公式\(V=a^3\)。計算過程：\(3×3×3=27\)（立方分米）。2.體積與表面積的關(guān)系：避免混淆例6：兩個長方體，表面積相等，體積一定相等嗎？請舉例說明。解題思路：表面積相等的長方體，體積不一定相等。例如：長方體1：長4厘米，寬3厘米，高2厘米，表面積\(2×(4×3+3×2+4×2)=52\)平方厘米，體積\(4×3×2=24\)立方厘米；長方體2：長5厘米，寬3厘米，高1厘米，表面積\(2×(5×3+3×1+5×1)=52\)平方厘米，體積\(5×3×1=15\)立方厘米。結(jié)論：表面積相等的長方體，體積可能不同（因?yàn)殚L、寬、高的組合不同，乘積不一定相等）。3.切割與拼接：體積的變化規(guī)律例7：將一個長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體切成兩個小長方體，每個小長方體的體積是多少？解題思路：切割不改變總體積（只是將空間分成兩部分），故每個小長方體體積=原體積÷2。計算過程：原體積\(6×4×3=72\)立方厘米，每個小長方體體積\(72÷2=36\)立方厘米。規(guī)律總結(jié)：切割：總體積不變（分成幾個部分，體積之和等于原體積）；拼接：總體積=各部分體積之和（如兩個正方體拼接成一個長方體，體積=2×正方體體積）。4.排水法：求不規(guī)則物體體積例8：一個長方體水箱長50厘米，寬40厘米，水深20厘米。放入一個鐵塊后，水深上升到22厘米（鐵塊完全浸沒），求鐵塊體積。解題思路：鐵塊體積=排開的水的體積=水箱底面積×水面上升的高度。計算過程：底面積\(50×40=2000\)平方厘米，水面上升高度\(22-20=2\)厘米，鐵塊體積\(2000×2=4000\)立方厘米（或4立方分米）。易錯點(diǎn)：誤算成“水深×底面積”（應(yīng)算“上升的高度×底面積”）；單位不統(tǒng)一（如厘米與分米混淆）。五、綜合練習(xí)1.一個無蓋長方體盒子，長6分米，寬4分米，高3分米，求：（1）制作這個盒子需要多少平方分米的硬紙板？（2）這個盒子的容積是多少升？（1立方分米=1升）2.將一個棱長為5厘米的正方體切成兩個完全相同的長方體，求：（1）每個長方體的表面積；（2）每個長方體的體積。3.一個長方體容器長30厘米，寬20厘米，高15厘米，裝滿水后倒入一個棱長為20厘米的正方體容器中，求正方體容器中水面的高度。六、答案解析1.無蓋長方體盒子（1）表面積（無蓋，少頂面）：方法一：\(2×(6×4+4×3+6×3)-6×4=2×(24+12+18)-24=2×54-24=108-24=84\)（平方分米）；方法二：\(6×4+2×(4×3+6×3)=24+2×(12+18)=24+60=84\)（平方分米）。（2）容積（體積）：\(6×4×3=72\)立方分米=72升。2.正方體切割（1）每個長方體的表面積：原正方體表面積\(6×5^2=150\)平方厘米，切割后增加2個面（每個面面積\(5×5=25\)平方厘米），總表面積\(150+50=200\)平方厘米，每個長方體表面積\(200÷2=100\)平方厘米；或直接計算長方體尺寸（長5厘米，寬5厘米，高2.5厘米）：\(2×(5×5+5×2.5+5×2.5)=2×(25+12.5+12.5)=2×50=100\)平方厘米。（2）每個長方體的體積：原正方體體積\(5^3=125\)立方厘米，每個長方體體積\(125÷2=62.5\)立方厘米。3.水的體積轉(zhuǎn)換長方體容器中水的體積：\(30×20×15=9000\)立方厘米；正方體容器的底面積：