小學(xué)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練題及解析集錦一、計(jì)算能力培優(yōu)：巧算與速算計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，培優(yōu)訓(xùn)練的核心是掌握巧算方法，通過(guò)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程提高效率和準(zhǔn)確性。以下是兩類(lèi)典型題型：（一）裂項(xiàng)相消法：分?jǐn)?shù)加減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算題目1：計(jì)算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+...+\frac{1}{9×10}$解析：觀察分?jǐn)?shù)特點(diǎn)：分母是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積（如$n(n+1)$），分子為1。這類(lèi)分?jǐn)?shù)可裂項(xiàng)為兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差（通分驗(yàn)證：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$），即裂項(xiàng)公式：$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$應(yīng)用裂項(xiàng)公式，原式轉(zhuǎn)化為：$$(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})$$去括號(hào)后，中間項(xiàng)相互抵消：$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$$技巧總結(jié)：裂項(xiàng)公式：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（分母為連續(xù)自然數(shù)乘積，分子為1）；關(guān)鍵：通過(guò)裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)，簡(jiǎn)化計(jì)算；注意：裂項(xiàng)后的符號(hào)（如$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，分母相差2時(shí)需乘$\frac{1}{2}$）。舉一反三：計(jì)算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+...+\frac{1}{19×21}$（提示：用$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$裂項(xiàng)）。（二）湊整法：整數(shù)乘法的簡(jiǎn)便運(yùn)算題目2：計(jì)算$25×128×125$解析：$25$和$4$相乘得$100$，$125$和$8$相乘得$1000$，因此可將$128$拆分為$4×8×4$，湊整計(jì)算：$$25×128×125=25×(4×8×4)×125=(25×4)×(8×125)×4=100×1000×4=____$$技巧總結(jié)：常見(jiàn)湊整組合：$25×4=100$、$125×8=1000$、$5×2=10$；方法：將數(shù)拆分為湊整組合的乘積，再計(jì)算。舉一反三：計(jì)算$125×32×25$（提示：$32=8×4$）。二、幾何思維培優(yōu)：圖形面積與體積幾何培優(yōu)的核心是轉(zhuǎn)化思想，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如三角形、長(zhǎng)方形），通過(guò)割補(bǔ)、比例等方法計(jì)算面積。（一）割補(bǔ)法：不規(guī)則圖形面積計(jì)算題目3：正方形$ABCD$的邊長(zhǎng)為4厘米，$E$、$F$分別是$AB$、$BC$的中點(diǎn)，連接$CE$、$DF$交于點(diǎn)$G$，求$\triangleCGD$的面積。解析（坐標(biāo)系法）：1.設(shè)坐標(biāo)：$D(0,0)$、$C(4,0)$、$B(4,4)$、$A(0,4)$，則$E(2,4)$（$AB$中點(diǎn)）、$F(4,2)$（$BC$中點(diǎn)）；2.求直線(xiàn)方程：$CE$：過(guò)$C(4,0)$、$E(2,4)$，斜率為$-2$，方程為$y=-2x+8$；$DF$：過(guò)$D(0,0)$、$F(4,2)$，斜率為$\frac{1}{2}$，方程為$y=\frac{1}{2}x$；3.求交點(diǎn)$G$：聯(lián)立方程得$\frac{1}{2}x=-2x+8$，解得$x=\frac{16}{5}$，$y=\frac{8}{5}$；4.計(jì)算面積：$\triangleCGD$的底$DC=4$厘米，高為$G$點(diǎn)的$y$坐標(biāo)（$\frac{8}{5}$厘米），面積為$\frac{1}{2}×4×\frac{8}{5}=\frac{16}{5}$平方厘米（或$3.2$平方厘米）。技巧總結(jié)：割補(bǔ)法：將不規(guī)則圖形分割或補(bǔ)成規(guī)則圖形（如長(zhǎng)方形、三角形）；坐標(biāo)系法：通過(guò)坐標(biāo)計(jì)算交點(diǎn)，再用面積公式（如行列式法、底高法）計(jì)算；比例法：利用相似三角形或線(xiàn)段比例求面積。舉一反三：長(zhǎng)方形$ABCD$的長(zhǎng)$AB=6$厘米，寬$BC=4$厘米，$E$、$F$分別是$AD$、$BC$的中點(diǎn)，連接$BE$、$DF$交于點(diǎn)$G$，求$\triangleBGD$的面積（提示：用坐標(biāo)系法或比例法）。三、應(yīng)用題培優(yōu)：行程與工程問(wèn)題應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，培優(yōu)訓(xùn)練的核心是理清數(shù)量關(guān)系，通過(guò)方程或算術(shù)方法解決問(wèn)題。（一）相遇問(wèn)題：相向而行題目4：甲、乙兩人同時(shí)從$A$、$B$兩地出發(fā)，相向而行，甲每小時(shí)走$5$千米，乙每小時(shí)走$4$千米，兩人相遇時(shí)，甲比乙多走了$6$千米，求$A$、$B$兩地的距離。解析：1.設(shè)相遇時(shí)間為$t$小時(shí)，則甲走了$5t$千米，乙走了$4t$千米；2.根據(jù)“甲比乙多走$6$千米”列方程：$5t-4t=6$，解得$t=6$小時(shí)；3.計(jì)算總距離：$A$、$B$兩地距離$=$甲走的路程$+$乙走的路程$=5×6+4×6=54$千米（或用速度和×?xí)r間：$(5+4)×6=54$千米）。技巧總結(jié)：相遇問(wèn)題公式：總路程$=$（甲速度$+$乙速度）×相遇時(shí)間；路程差公式：路程差$=$（甲速度$-$乙速度）×相遇時(shí)間；關(guān)鍵：找到“路程差”或“路程和”與速度的關(guān)系。舉一反三：甲、乙兩車(chē)同時(shí)從$A$地開(kāi)往$B$地，甲車(chē)每小時(shí)行$80$千米，乙車(chē)每小時(shí)行$60$千米，甲車(chē)到達(dá)$B$地后立即返回，在距離$B$地$20$千米處與乙車(chē)相遇，求$A$、$B$兩地的距離（提示：相遇時(shí)甲車(chē)比乙車(chē)多走$40$千米，速度差為$20$千米/小時(shí)，相遇時(shí)間為$2$小時(shí)，總路程為$(80+60)×2÷2=140$千米）。（二）工程問(wèn)題：工作效率與時(shí)間題目5：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要$10$天完成，乙單獨(dú)做需要$15$天完成，兩人合作需要多少天完成？解析：1.設(shè)工程總量為$1$（單位“$1$”）；2.甲的工作效率為$\frac{1}{10}$（每天完成總量的$\frac{1}{10}$），乙的工作效率為$\frac{1}{15}$；3.合作效率為$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$；4.合作時(shí)間為$1÷\frac{1}{6}=6$天。技巧總結(jié)：工程問(wèn)題公式：工作時(shí)間$=$工作總量÷工作效率；關(guān)鍵：將工程總量設(shè)為單位“$1$”，計(jì)算各主體的工作效率。舉一反三：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要$12$天完成，乙單獨(dú)做需要$18$天完成，甲先做$3$天后，乙加入合作，還需要多少天完成？（提示：甲先做$3$天完成$\frac{1}{12}×3=\frac{1}{4}$，剩余$\frac{3}{4}$，合作效率為$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}$，剩余時(shí)間為$\frac{3}{4}÷\frac{5}{36}=\frac{27}{5}$天）。四、思維拓展培優(yōu)：邏輯推理與找規(guī)律思維拓展是小學(xué)數(shù)學(xué)培優(yōu)的核心，培養(yǎng)邏輯思維和推理能力，以下是兩類(lèi)典型題型：（一）邏輯推理：真假話(huà)問(wèn)題題目6：甲、乙、丙三人中，有一人做了好事，老師問(wèn)他們是誰(shuí)做的，甲說(shuō)：“是乙做的?！币艺f(shuō)：“不是我做的?！北f(shuō)：“不是我做的。”已知三人中只有一人說(shuō)了真話(huà)，請(qǐng)問(wèn)是誰(shuí)做了好事？解析（矛盾法）：1.甲說(shuō)“是乙做的”，乙說(shuō)“不是我做的”，這兩句話(huà)矛盾（必有一真一假）；2.因?yàn)槿酥兄挥幸蝗苏f(shuō)了真話(huà)，所以丙說(shuō)的話(huà)一定是假話(huà)；3.丙說(shuō)“不是我做的”是假話(huà)，因此好事是丙做的；4.驗(yàn)證：甲說(shuō)假話(huà)（不是乙做的），乙說(shuō)真話(huà)（不是乙做的），丙說(shuō)假話(huà)（是丙做的），符合“只有一人說(shuō)真話(huà)”的條件。技巧總結(jié)：矛盾法：找矛盾的兩句話(huà)（必有一真一假），縮小范圍；假設(shè)法：逐一假設(shè)可能的情況，驗(yàn)證是否符合條件。舉一反三：甲、乙、丙三人中，有一人偷了東西，老師問(wèn)他們，甲說(shuō)：“是丙偷的?！币艺f(shuō)：“不是我偷的?！北f(shuō)：“不是我偷的?！币阎酥兄挥幸蝗苏f(shuō)了假話(huà)，請(qǐng)問(wèn)是誰(shuí)偷了東西？（提示：甲和丙的話(huà)矛盾，必有一假，所以乙說(shuō)的是真話(huà)，偷東西的是丙）。（二）找規(guī)律：數(shù)列與圖形題目7：找規(guī)律填數(shù)：$1$，$3$，$6$，$10$，$15$，（），（）解析：觀察數(shù)列：$1$，$3$（$1+2$），$6$（$3+3$），$10$（$6+4$），$15$（$10+5$），因此下一個(gè)數(shù)是$15+6=21$，再下一個(gè)是$21+7=28$。（規(guī)律：第$n$項(xiàng)為$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$，即三角形數(shù)）。技巧總結(jié)：數(shù)列規(guī)律：常見(jiàn)的有等差數(shù)列（后項(xiàng)-前項(xiàng)=常數(shù)）、等比數(shù)列（后項(xiàng)÷前項(xiàng)=常數(shù)）、累加數(shù)列（后項(xiàng)=前項(xiàng)+自然數(shù)）、平方數(shù)列（$n^2$）、三角形數(shù)（$\frac{n(n+1)}{2}$）等；圖形規(guī)律：觀察圖形的數(shù)量、形狀、位置變化（如旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)、增減）。舉一反三：找規(guī)律填數(shù)：$2$，$4$，$8$，$16$，$32$，（），（）（提示：等比數(shù)列，公比為$2$，下一個(gè)數(shù)是$64$，再下一個(gè)是$128$）。