第03講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算 2題型二：等比數(shù)列的判定與證明 2題型三：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用 3題型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 3題型五：奇偶項(xiàng)求和問題的討論 3題型六：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 4題型七：等比數(shù)列的范圍與最值問題 5題型八：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 6題型九：公共項(xiàng)與插項(xiàng)問題 602重難創(chuàng)新練 803真題實(shí)戰(zhàn)練 11題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算1．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知是等比數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·江西·二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（

）A．120 B．40 C．48 D．60題型二：等比數(shù)列的判定與證明4．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；5．已知數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請(qǐng)說明理由；6．已知非零向量列滿足：，，（，）.證明：數(shù)列是等比數(shù)列.7．已知數(shù)列和滿足：，，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列；題型三：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為.9．已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，若則的最小值等于.10．已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則的最小值為．11．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則.題型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)12．（2024·上海閔行·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則.13．已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為341，偶數(shù)項(xiàng)之和為682，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若此數(shù)列為等比數(shù)列，則．題型五：奇偶項(xiàng)求和問題的討論15．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．16．?dāng)?shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．17．（2024·高三·河南南陽·期中）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求的前30項(xiàng)和．18．（2024·高三·河北張家口·期末）已知數(shù)列滿足，.(1)若，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)求數(shù)列的前100項(xiàng)和．題型六：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用20．（2024·山東青島·三模）已知等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)，是與的等比中項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則21．（2024·湖北黃岡·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為是等比數(shù)列，若，且，則的最小值為.22．已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，若，，三個(gè)數(shù)適當(dāng)調(diào)整順序后可為等差數(shù)列，也可為等比數(shù)列，則（

）A．1 B． C． D．題型七：等比數(shù)列的范圍與最值問題23．（多選題）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為前項(xiàng)積為并滿足條件，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值24．（多選題）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．是數(shù)列中的最小值25．（多選題）（2024·高三·江西·期中）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，則（

）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項(xiàng) D．無最大項(xiàng)26．（多選題）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最小項(xiàng) D．當(dāng)時(shí)，的最小值為4045題型八：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用27．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）某人從銀行貸款100萬，貸款月利率為年還清，約定采用等額本息按月還款(即每個(gè)月還相同數(shù)額的款，240個(gè)月還清貸款的利息與本金)，則每月大約需還款（

）(參考數(shù)據(jù)：A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元28．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項(xiàng)利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復(fù)雜的動(dòng)物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個(gè)前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對(duì)折，每次對(duì)折后仍成等腰直角三角形，則對(duì)折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．29．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）二手汽車價(jià)位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計(jì)算車價(jià)位，即按照同款新車裸車價(jià)格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價(jià)位是萬，則（

）A．14 B．15 C．16 D．1730．（2024·高三·四川·期中）剪紙和折紙都是中華民族的傳統(tǒng)藝術(shù)，在折紙界流傳著“折不過8”的說法，為了驗(yàn)證這一說法，有人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，用一張邊長為的正方形紙，最多對(duì)折了13次.記第一次對(duì)折后的紙張厚度為，第2次對(duì)折后的紙張厚度為，以此類推，設(shè)紙張未折之前的厚度為毫米，則（

）A． B． C． D．題型九：公共項(xiàng)與插項(xiàng)問題31．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將數(shù)列與的公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓉頂?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式為．32．（2024·廣西·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)m，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和．33．（2024·高三·天津·期末）已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．34．（2024·浙江嘉興·二模）已知是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列與中有公共項(xiàng)，即存在，使得成立.按照從小到大的順序?qū)⑦@些公共項(xiàng)排列，得到一個(gè)新的數(shù)列，記作，求.35．（2024·吉林通化·一模）記為公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若由與的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．1．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若，則“”是“數(shù)列存在最小項(xiàng)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件2．（2024·天津和平·三模）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．4．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號(hào)蜂房的方法數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．5．（2024·重慶·模擬預(yù)測）在半徑為1的圓中作內(nèi)接正方形，作正方形的內(nèi)切圓，再作圓的內(nèi)接正方形，依此方法一直繼續(xù)下去．我們定義每作出一個(gè)正方形為一次操作，則至少經(jīng)過（

）次操作才能使所有正方形的面積之和超過．A．9 B．10 C．11 D．126．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．7．（2024·江西南昌·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．158．（2024·北京·三模）為公差不為零的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則下列說法正確的是（

）A．對(duì)任意，，如果，那么B．存在，，滿足，且C．對(duì)任意，，如果，那么D．存在，，滿足，且9．（多選題）（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照?qǐng)D①的分形規(guī)律生長成一個(gè)圖②的樹形圖，設(shè)圖②中第n行白心圈的個(gè)數(shù)為，黑心圈的個(gè)數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列D．圖②中第2023行的黑心圈的個(gè)數(shù)是10．（多選題）（2024·江西南昌·三模）已知是單調(diào)遞減的等比數(shù)列，若，前3項(xiàng)和，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．11．（多選題）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法不正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且其前項(xiàng)的和，則B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，則，，，…成等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，則最小12．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，每小時(shí)1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌.則1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過8小時(shí)的培養(yǎng)，可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）.13．（2024·山東青島·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則.14．（2024·河北·模擬預(yù)測）下圖數(shù)陣的每一行最右邊數(shù)據(jù)從上到下形成以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，每行的第個(gè)數(shù)從上到下形成以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，則該數(shù)陣第行所有數(shù)據(jù)的和.15．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，數(shù)列滿足，（，）．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列，中的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列滿足：．(1)請(qǐng)寫出的值，給出一個(gè)你的猜想，并證明；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（2024·山西太原·三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且也是等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.1．（多選題）（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．5．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知為等比數(shù)列，，，則.6．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．7．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.8．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．9．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（