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導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值第3課時(shí)

命題視角一函數(shù)的極值點(diǎn)或極值

x(0，1)1f'(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↙

x1(1，+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↙

(1)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).在求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后，要利用導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)左、右的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)來(lái)確定極值點(diǎn).(2)對(duì)于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值問(wèn)題，一般要對(duì)方程f'(x)=0的根的情況進(jìn)行討論，分兩個(gè)層次討論.第一層次，討論在定義域內(nèi)是否有根；第二層次，在有根的條件下，再討論根的大小.(3)對(duì)于涉及極值點(diǎn)的不等式證明問(wèn)題，一般要進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而借助不等式去解決.方法技巧1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差為d的等差數(shù)列.(1)若t2=0，d=1，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)若d=3，求f(x)的極小值點(diǎn)及極大值.解：(1)由題意，得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x，故f'(x)=3x2-1.因此f(0)=0，f'(0)=-1.因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y-f(0)=f'(0)(x-0)，故所求切線方程為x+y=0.針對(duì)訓(xùn)練

xf'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

命題視角二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

x(-∞，-1)-1(-1，4)4(4，+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)的最值的思路(1)若所給的閉區(qū)間[a，b]不含有參數(shù)，則只需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，并求f'(x)=0在區(qū)間[a，b]內(nèi)的根，再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.(2)若所給的閉區(qū)間[a，b]含有參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.提醒：求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.方法技巧

針對(duì)訓(xùn)練

命題視角三函數(shù)極值與最值的綜合問(wèn)題

(2)證明：由(1)得f(x)=ex-x，g(x)=x-ln

x，且f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=g(x)min=1.當(dāng)直線y=b與曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，設(shè)三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，且x1<x2<x3，則f(x1)=f(x2)=g(x2)=g(x3)=b.∵f(x)=ex-x，g(x)=x-ln

x=eln

x-ln

x=f(ln

x)，∴f(x1)=f(x2)=f(ln

x2)=f(ln

x3).

解決函數(shù)極值、最值綜合問(wèn)題的策略(1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小.(2)求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)比較才能下結(jié)論.(3)函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值.方法技巧

針對(duì)訓(xùn)練(2)由(1)知，x=-3是f(x)的極小值點(diǎn)，

課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、綜合練——練思維敏銳度1.(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，如圖是函數(shù)y=xf'(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(-2，0)，(2，+∞)B.函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(-∞，-2)，(2，+∞)C.x=-2是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn)√√解析：由題意，當(dāng)0<x<2時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x>2，f'(x)>0；當(dāng)-2<x<0時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x<-2時(shí)，f'(x)>0.即函數(shù)f(x)在(-∞，-2)和(2，+∞)上單調(diào)遞增，在(-2，2)上單調(diào)遞減，因此函數(shù)f(x)在x=2時(shí)取得極小值，在x=-2時(shí)取得極大值.故選B、D.

√

√

√

√

二、自選練——練高考區(qū)分度1.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-2x，直線y=ax+b是曲線y=f(x)的切線，則2a+b的最大值是(

)A.e-1 B.-1 C.2e-4 D.e2-4√解析：由題得f'(x)=ex-2.設(shè)切點(diǎn)為(t，f(t))，則f(t)=et-2t，f'(t)=et-2，則切線方程為y-(et-2t)=(et-2)(x-t)，即y=(et-2)x+et(1-t).又因?yàn)閥=ax+b是曲線y=f(x)的切線，所以a=et-2，b=et(1-t)，則2a+b=-4+3et-tet.令g(t)=-4+3et-tet，則g'(t)=(2-t)et，則當(dāng)t>2時(shí)，g'(t)<0，g(t)在(2，+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)t<2時(shí)，g'(t)>0，g(t)在(-∞，2)上單調(diào)遞增.所以g(t)max=g(2)=-4+3e2-2e2=-4+e2，即2a+b的最大值為e2-4.故選D.

√√√

x(0，10)10V'+0-V↗極大值↘4.(2022·全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)=x3-x，g(x)=x2+a，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1，f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.(1)若x1=-1，求a；(2)求a的取值范圍.解：(1)當(dāng)x1=-1時(shí)，f(-1)=0，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0).由f(x)=x3-x，得f'(x)=3x2-1，所以切線斜率k=f'(-1)=2，所以切線方程為y=2(x+1)，即y=2x+2.將y=2x+