18.5分式方程R·八年級上冊第1課時分式方程及其解法知識點1分式方程的概念探究新知分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程.這些方程有什么共同特征？*我們以前學習的方程都是整式方程，它們的未知數(shù)不在分母中.練習下列式子中，屬于分式方程的是________，屬于整式方程的是________(填序號).②⑤⑦①④知識點2分式方程的解法如何解方程？思考（1）如何把它轉(zhuǎn)化為整式方程？（2）怎樣去分母？（3）在方程兩邊乘什么樣的式子才能把每一個分母都約去？（4）這樣做的依據(jù)是什么？解分式方程最關(guān)鍵的問題是什么？整式方程轉(zhuǎn)化各個分母的最簡公分母等式的性質(zhì)2去分母方程兩邊同乘各分母的最簡公分母：(30+v)(30–v)得解得

v=6檢驗：將

v=6代入原方程中，左邊=2.5=右邊，因此v=6是原方程的解.90(30–v)=60(30+v)解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般方法.結(jié)小納歸練習解下列方程：【教材P166練習第(1)(2)題】最簡公分母：x(x–2)解：去分母，得解得

x=–5檢驗：將

x=–5代入原方程中，左邊=–1=右邊，因此x=–5

是原方程的解.5(x–2)=7x最簡公分母：(x+3)(x–1)解：去分母，得解得

x=5檢驗：將

x=5代入原方程中，左邊=0.25=右邊，因此x=5

是原方程的解.2(x–1)=x+3解：在方程兩邊乘最簡公分母_____________，去分母，得x+5=10解得x=5(x–5)(x+5)x=5是①的解嗎？檢驗：將x=5代入①，分母x–5和x2–25的值都為0，相應(yīng)的分式無意義.因此x=5雖然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解.此分式方程無解.運用“去分母化為整式方程”的方法解方程探究①②比較解上面兩個分式方程的過程，為什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢？思考最簡公分母解結(jié)論(x–5)(x+5)(30+v)(30–v)x=5v=6所得整式方程的解不是②的解所得整式方程的解與①的解相同回代結(jié)果≠0回代結(jié)果=0x=5是分式方程的增根一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應(yīng)做如下檢驗:歸納將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.解：方程兩邊乘x(x–3)，得2x=3x–9解得

x=9檢驗：當x=9時，x(x–3)≠0，所以，原分式方程的解為x=9.例1

解方程例2

解方程解：方程兩邊乘(x–1)(x+2)，得x(x+2)–(x–1)(x+2)=3解得

x=1檢驗：當x=1時，(x–1)(x+2)=0所以，原分式方程無解.因此，x=1不是原分式方程的解.分式方程去分母整式方程解整式方程x=m檢驗x=m

是分式方程的解歸納x=m

不是分式方程的解最簡公分母不為0最簡公分母為0目標解分式方程的一般過程：練習解下列方程：【教材P166練習第(3)~(6)題】解：方程兩邊乘2x(x+3)，得x+3=4x解得

x=1檢驗：當x=1時，

2x(x+3)≠0，所以，原分式方程的解為x=1.解：方程兩邊乘3(x+1)，得3x=2x+3x+3解得

x=檢驗：當x=時，

3(x+1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.解：方程兩邊乘(x–1)(x+1)，得2(x+1)=4解得

x=1檢驗：當x=1時，

(x–1)(x+1)=

0，所以，原分式方程無解.解：方程兩邊乘x(x–1)(x+1)，得5(x–1)–(x+1)=0解得

x=檢驗：當x=時，

x(x–1)(x+1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.隨堂練習1.定義一種新的運算，對于任意的非零實數(shù)x，y，若x@(x–1)=1，則x=____.解析：解得：檢驗：當時，x(x–1)≠0.2.已知關(guān)于x的方程的解為負數(shù)，則a

的取值范圍是_____________.解析：方程兩邊乘x(x+1)，得x+1+x

=x+a

解得x

=a–1a–1<0且a–1≠0且a–1≠–1.a<1且a≠0.a<1且a≠03.若關(guān)于x的分式方程無解，則a

的值是（）BA.1 B.2 C.–1 D.–22x–4=0x=2將原分式方程去分母，得2+3(2x–4)=a當x=2

時，解得a=24.解關(guān)于x的方程：(a

≠b，ab

≠0).解：方程兩邊乘x(x–1)，得ax–b(x–1)=0解得

x=檢驗：當x=時，所以，原分式方程的解為x=.課堂小結(jié)1.分式方程：分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程.2.分式方程的解法：分式方程去分母整式方程求解x=mx=m

是分式方程的解目標最簡公分母不為0檢驗探究新知你能說出實際應(yīng)用中存在哪些常見的數(shù)量關(guān)系嗎？行程問題路程=速度×時間工作量=工作效率×工作時間，合作效率=各自單獨完成任務(wù)的效率和.工程問題利潤=售價–進價，利潤=進價×利潤率，銷售額=銷售量×單價.銷售問題例3兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成.哪個隊的施工速度快？探究1工程問題甲隊工作總量+乙隊工作總量=“1”問題中的哪個等量關(guān)系可以用來列方程？工作時間/月工作效率工作總量甲隊乙隊設(shè)乙隊單獨完成這項工程需要x

月.甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一兩隊又共同工作了半個月甲隊工作總量+乙隊工作總量=“1”解：設(shè)乙隊單獨施工1個月能完成總工程的，記總工程量為1，根據(jù)工程的實際進度，得方程兩邊乘6x，得解得x=1.檢驗：當x=1時，6x≠0.所以，原分式方程的解為x=1.

注意：分式方程的解需要檢驗2x+x+3=6x.分析：甲隊1個月完成總工程的____，那么甲隊半個月完成總工程的____，設(shè)乙隊的單獨施工1個月能完成總工程____，乙隊半個月完成總工程____，兩隊半個月完成總工程的________.思考本題的等量關(guān)系還可以怎么找？甲隊單獨完成的工作量+兩隊合作完成的工作量=“1”工程問題中的基本關(guān)系：解決工程問題的思路方法：各部分工作量之和等于1常從工作量和工作時間上考慮相等關(guān)系.工作總量=工作效率×工作時間合作效率=各自單獨完成任務(wù)的效率和總工作量=各部分工作量之和歸納某工程隊準備修建一條長3000m的盲道，由于采用新的施工方式，實際每天修建盲道的長度比原計劃增加25%，結(jié)果提前2天完成任務(wù)，原計劃每天修建盲道多少米？練習等量關(guān)系：原計劃用時–實際用時=2天工作量/m效率/(m/天)工作時間/天原計劃實際提前2天完成任務(wù)修建一條長3000m

的盲道實際每天修建盲道的長度比原計劃增加25%30003000x(1+25%)x設(shè)原計劃每天修建盲道

xm.原計劃用時–實際用時=2天解：設(shè)原計劃每天修建盲道xm.依題意，得方程兩邊乘1.25x，得解得x=300.檢驗：當x=300時，1.25x≠0.所以，原分式方程的解為x=300.答：原計劃每天修建盲道300m.3750–3000=

2.5x.探究2行程問題這里的字母v，s

表示已知數(shù)據(jù)例4

某次列車平均提速vkm/h.在相同的時間內(nèi)，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車的平均速度為多少？表達問題時，用字母不僅可以表示未知數(shù)(或未知量)，也可以表示已知數(shù)(或已知量)時間/m速度/(km/h)路程/km提速前提速后列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km平均提速vkm/hss+50xv+x設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h等量關(guān)系解：設(shè)提速前這次列車的平均速度為xkm/h，則提速前它行駛skm所用時間為h；提速后列車的平均速度為(x+v)km/h，提速后它行駛(s+50)km所用時間為h.方程兩邊乘

x(x+v)，得解得x=s(x+v)=x(s+50).根據(jù)行駛時間的相等關(guān)系，得檢驗：當x=時，x(x+v)

≠0.所以，原分式方程的解為x=答：提速前列車的平均速度為km/h．用字母表示已知數(shù)據(jù)的形式，在分析問題尋找規(guī)律時經(jīng)常出現(xiàn).其中根據(jù)v，s

所表示的實際意義可知，它們是正數(shù).行程問題中的注意事項：歸納1.

注意關(guān)鍵詞“提速”與“提速到”的區(qū)別；2.

把兩個“主人公”行程問題中的三個量用代數(shù)式表示出來；3.

行程問題中的等量關(guān)系通常抓住“時間線”來建立方程.練習某地發(fā)生雪災，一些電線被雪壓斷，供電局的維修隊要到30km遠的郊區(qū)進行搶修，維修人員騎摩托車先行，15min后搶修車裝載著所需材料出發(fā)，結(jié)果兩車同時到達搶修點，已知搶修車的速度是摩托車速度的1.5倍，求這兩種車的速度.路程/km速度/(km/h)時間/h摩托車搶修車摩托車先行，15min后搶修車出發(fā)，兩車同時到達設(shè)摩托車的速度為xkm/h3030x1.5x到30km

遠的郊區(qū)進行搶修搶修車的速度是摩托車速度的1.5倍摩托車行駛時間=搶修車行駛時間+15min解：設(shè)摩托車的速度為xkm/h，則搶修車的速度為1.5xkm/h.

方程兩邊乘60x，得解得x=40.檢驗：當x=40時，60x≠0.所以，原分式方程的解為x=40.答：摩托車的速度為40km/h，搶修車的速度為60km/h.

1800=1200+

15x.根據(jù)題意，得所以1.5x=60.某自行車行經(jīng)營的某款自行車去年銷售總額為8萬元，今年該款自行車每輛售價預計比去年降低200元.若該款自行車的銷售數(shù)量與去年相同，則今年的銷售總額將比去年減少10%.去年該款自行車每輛售價為多少元？探究3銷售問題設(shè)去年該款自行車每輛售價為x

元售價/元銷量/輛銷售額/元去年今年今年的銷售總額將比去年減少10%8000080000×(1–10%)xx–200去年銷售總額為8萬元今年該款自行車每輛售價預計比去年降低200元該款自行車的銷售數(shù)量與去年相同等量關(guān)系解：設(shè)去年該款自行車每輛售價為x

元，則今年該款自行車每輛售價為(x–200)元.方程兩邊乘

x(x–200)，得解得x=2000.檢驗：當x=2000時，x(x–200)

≠0.所以，原分式方程的解為x=2000.答：去年該款自行車每輛售價為2000元.80000(x–200)=80000x(1–10%).根據(jù)題意，得銷售問題中的基本關(guān)系：歸納利潤=售價–進價利潤=進價

×

利潤率銷售額=銷售量

×

單價1.甲、乙兩人同時從

A地出發(fā)，騎自行車行駛30km到

B地，甲比乙每小時少騎3km，結(jié)果乙早到40分鐘.若設(shè)乙每小時走xkm，則可列方程（

）A.B.C.D.D隨堂練習2.甲、乙兩人分別從兩地同時出發(fā)，若相向而行，則

a小時后相遇；若同向而行，則

b小時后甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的______倍.3.八年級學生去距學校30km的中國人民抗日戰(zhàn)爭紀念館參觀，一部分學生乘大巴先出發(fā)，過了5min，其余學生乘中巴出發(fā)，結(jié)果他們同時到達.已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平