高三數(shù)學(xué)平面向量多選題專項(xiàng)訓(xùn)練單元專項(xiàng)訓(xùn)練檢測一、平面向量多選題1．若，，是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，則答案：ACD【分析】根據(jù)平面向量的定義、數(shù)量積定義、共線向量定義進(jìn)行判斷．【詳解】對應(yīng)，若，則向量長度相等，方向相同，故，故正確；對于，當(dāng)且時，，但，可以不相等，故錯誤；對應(yīng)，若，，則方向相同解析：ACD【分析】根據(jù)平面向量的定義、數(shù)量積定義、共線向量定義進(jìn)行判斷．【詳解】對應(yīng)，若，則向量長度相等，方向相同，故，故正確；對于，當(dāng)且時，，但，可以不相等，故錯誤；對應(yīng)，若，，則方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正確；對應(yīng)，若，則，，，故正確．故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的有關(guān)定義，性質(zhì)，數(shù)量積與向量間的關(guān)系，屬于中檔題．2．正方形的邊長為，記，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．答案：ABC【分析】作出圖形，利用平面向量加、減法法則與正方形的性質(zhì)可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的減法法則與向量的數(shù)乘運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的加法法則可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解解析：ABC【分析】作出圖形，利用平面向量加、減法法則與正方形的性質(zhì)可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的減法法則與向量的數(shù)乘運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的加法法則可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】如下圖所示：對于A選項(xiàng)，四邊形為正方形，則，，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，則，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，則，則，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，，D選項(xiàng)錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量相關(guān)命題正誤的判斷，同時也考查了平面向量加、減法法則以及平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.3．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對邊，已知A＝，a＝7，則以下判斷正確的是（）A．△ABC的外接圓面積是； B．bcosC＋ccosB＝7；C．b＋c可能等于16； D．作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A′，則|AA′|的最大值是7.答案：ABD【分析】根據(jù)題目可知，利用正弦定理與三角恒等變換逐個分析即可判斷每個選項(xiàng)的正誤．【詳解】對于A，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理，可得，所以的外接圓面積是，故A正確；對于B，根據(jù)正弦定解析：ABD【分析】根據(jù)題目可知，利用正弦定理與三角恒等變換逐個分析即可判斷每個選項(xiàng)的正誤．【詳解】對于A，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理，可得，所以的外接圓面積是，故A正確；對于B，根據(jù)正弦定理，利用邊化角的方法，結(jié)合，可將原式化為，故B正確．對于C，，故C錯誤．對于D，設(shè)到直線的距離為，根據(jù)面積公式可得，即，再根據(jù)①中的結(jié)論，可得，故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題是考查三角恒等變換與解三角形結(jié)合的綜合題，解題時應(yīng)熟練掌握運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式以及正余弦定理、面積公式等．4．是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A．是單位向量 B．C． D．答案：ABD【分析】A.根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運(yùn)算得到判斷；C.根據(jù)，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷；D.根據(jù)，，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷.【詳解】A.因?yàn)槭沁呴L解析：ABD【分析】A.根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運(yùn)算得到判斷；C.根據(jù)，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷；D.根據(jù)，，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷.【詳解】A.因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以，又，所以是單位向量，故正確；B.因?yàn)椋?，所以，所以，故正確；C.因?yàn)椋裕叔e誤；D.因?yàn)?，，所以，所以，故正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的概念，線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.5．在中，，，，則角的可能取值為（）A． B． C． D．答案：AD【分析】由余弦定理得，解得或，分別討論即可.【詳解】由余弦定理，得，即，解得或.當(dāng)時，此時為等腰三角形，，所以；當(dāng)時，，此時為直角三角形，所以.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查余弦解析：AD【分析】由余弦定理得，解得或，分別討論即可.【詳解】由余弦定理，得，即，解得或.當(dāng)時，此時為等腰三角形，，所以；當(dāng)時，，此時為直角三角形，所以.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，考查學(xué)生分類討論思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.6．中，，，則下列敘述正確的是（）A．的外接圓的直徑為4.B．若，則滿足條件的有且只有1個C．若滿足條件的有且只有1個，則D．若滿足條件的有兩個，則答案：ABD【分析】根據(jù)正弦定理，可直接判斷的對錯，然后，，三個選項(xiàng)，都是已知兩邊及一邊的對角，判斷解得個數(shù)的問題，做出圖象，構(gòu)造不等式即可．【詳解】解：由正弦定理得，故正確；對于，，選項(xiàng)：如圖解析：ABD【分析】根據(jù)正弦定理，可直接判斷的對錯，然后，，三個選項(xiàng)，都是已知兩邊及一邊的對角，判斷解得個數(shù)的問題，做出圖象，構(gòu)造不等式即可．【詳解】解：由正弦定理得，故正確；對于，，選項(xiàng)：如圖：以為圓心，為半徑畫圓弧，該圓弧與射線的交點(diǎn)個數(shù)，即為解得個數(shù)．易知當(dāng)，或即時，三角形為直角三角形，有唯一解；當(dāng)時，三角形是等腰三角形，也是唯一解；當(dāng)，即，時，滿足條件的三角形有兩個．故，正確，錯誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查已知兩邊及一邊的對角的前提下，三角形解得個數(shù)的判斷問題．屬于中檔題．7．在中，角，，所對各邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．答案：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】解：根據(jù)正弦定理得：，由于，所以或.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，是基礎(chǔ)題.解析：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】解：根據(jù)正弦定理得：，由于，所以或.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，是基礎(chǔ)題.8．下列各式中，結(jié)果為零向量的是（）A． B．C． D．答案：BD【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算，對四個選項(xiàng)逐一計算，即可得正確答案.【詳解】對于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)：，選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)：選項(xiàng)正確.故選：解析：BD【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算，對四個選項(xiàng)逐一計算，即可得正確答案.【詳解】對于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)：，選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)：選項(xiàng)正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．是鈍角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍 D．若，則外接圓半徑為答案：ACD【分析】先根據(jù)已知條件求得，再根據(jù)正余弦定理計算并逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)樗钥稍O(shè)：（其中），解得：所以，所以A正確；由上可知：邊最大，所以三角形中角最大，又，所以角為解析：ACD【分析】先根據(jù)已知條件求得，再根據(jù)正余弦定理計算并逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)樗钥稍O(shè)：（其中），解得：所以，所以A正確；由上可知：邊最大，所以三角形中角最大，又，所以角為銳角，所以B錯誤；由上可知：邊最小，所以三角形中角最小，又，所以，所以由三角形中角最大且角為銳角,可得：，所以，所以C正確；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正確.故選:ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和與余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.10．下列命題中，正確的是（）A．在中，，B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則必是等邊三角形答案：ABD【分析】對于選項(xiàng)在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項(xiàng)在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項(xiàng)在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項(xiàng)在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】對于選項(xiàng)在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項(xiàng)在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項(xiàng)在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項(xiàng)在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形狀，即可判斷出正誤.【詳解】對于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正確；對于，在銳角中，，，，，，因此不等式恒成立，正確；對于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯誤.對于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與余弦定理及三角形邊角關(guān)系，主要涉及的考點(diǎn)是三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同時考查正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，屬于中等題.11．如圖所示，梯形為等腰梯形，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．答案：BD【分析】根據(jù)向量的模及共線向量的定義解答即可；【詳解】解：與顯然方向不相同，故不是相等向量，故錯誤；與表示等腰梯形兩腰的長度，所以，故正確；向量無法比較大小，只能比較向量模的大小，故解析：BD【分析】根據(jù)向量的模及共線向量的定義解答即可；【詳解】解：與顯然方向不相同，故不是相等向量，故錯誤；與表示等腰梯形兩腰的長度，所以，故正確；向量無法比較大小，只能比較向量模的大小，故錯誤；等腰梯形的上底與下底平行，所以，故正確；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量、相等向量、向量的模的理解，屬于基礎(chǔ)題.12．設(shè)是兩個非零向量，則下列描述正確的有（）A．若，則存在實(shí)數(shù)使得B．若，則C．若，則在方向上的投影為D．若存在實(shí)數(shù)使得，則答案：AB【分析】若，則反向，從而；若，則，從而可得；若，則同向，在方向上的投影為若存在實(shí)數(shù)使得，則共線，但是不一定成立.【詳解】對于選項(xiàng)A，若，則反向，由共線定理可得存在實(shí)數(shù)使得；對于選解析：AB【分析】若，則反向，從而；若，則，從而可得；若，則同向，在方向上的投影為若存在實(shí)數(shù)使得，則共線，但是不一定成立.【詳解】對于選項(xiàng)A，若，則反向，由共線定理可得存在實(shí)數(shù)使得；對于選項(xiàng)B，若，則，,可得；對于選項(xiàng)C，若，則同向，在方向上的投影為;對于選項(xiàng)D，若存在實(shí)數(shù)使得，則共線，但是不一定成立.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的性質(zhì)及運(yùn)算，明確向量的性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)則是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).13．點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足,則的形狀不可能是()A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形答案：AD【解析】【分析】由條件可得，再兩邊平方即可得答案.【詳解】∵P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，∴，即，∴，兩邊平方并化簡得，∴，∴，則一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故解析：AD【解析】【分析】由條件可得，再兩邊平方即可得答案.【詳解】∵P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，∴，即，∴，兩邊平方并化簡得，∴，∴，則一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是鈍角三角形，等邊三角形，故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.14．已知中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足,則()A．2 B．3 C． D．答案：AC【分析】將兩邊同時平方，可得一個關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理可得結(jié)果.【詳解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，聯(lián)立①②，可得，即，解得或.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)解析：AC【分析】將兩邊同時平方，可得一個關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理可得結(jié)果.【詳解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，聯(lián)立①②，可得，即，解得或.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.15．已知的面積為,且,則()A．30° B．60° C．150° D．120°答案：BD【分析】由三角形的面積公式求出即得解.【詳解】因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以或120°.故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形面積的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.解析：BD【分析】由三角形的面積公式求出即得解.【詳解】因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以或120°.故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形面積的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、平面向量及其應(yīng)用選擇題16．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)50m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于（）A． B． C． D．解析：C【分析】易求，在中，由正弦定理可求，在中，由正弦定理可求，再由可得答案．【詳解】，，在中，由正弦定理，得，即，解得，在中，由正弦定理，得，即，，即，，故選：C．【點(diǎn)睛】該題考查正弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，由實(shí)際問題恰當(dāng)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．17．在中，，則的形狀為（）．A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．不確定解析：B【分析】根據(jù)向量運(yùn)算可知三角形中中線與垂線重合，可知三角形為等腰三角形，即可確定三角形形狀.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以在中，與邊上的中線垂直，則，同理，，所以，是等邊三角形．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積，向量垂直，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.18．中，內(nèi)角所對的邊分別為.若，則的面積為（）A．6 B． C． D．解析：B【分析】由條件和余弦定理得到，再根據(jù)三角形的面積公式計算結(jié)果.【詳解】由條件可知：，①由余弦定理可知：，②所以由①②可知，，即，則的面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.19．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，則等于（）A． B． C． D．解析：B【分析】利用正弦定理可得，結(jié)合和余弦定理，即可得答案；【詳解】，，，又，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理解三角形，考查運(yùn)算求解能力，求解時注意進(jìn)行等量代換求值.20．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則必有（）A．B．C．D．解析：C【分析】利用已知條件得到為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為及對頂角相等，得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關(guān)系得到，進(jìn)而求出的值，最后再結(jié)合“奔馳定理”得到答案.【詳解】如圖，因?yàn)椋?，同理，，所以為的垂心。因?yàn)樗倪呅蔚膶腔パa(bǔ)，所以，．同理，，，．，．又．由奔馳定理得.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量新定義，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解過程中要注意連比式子的變形運(yùn)用，屬于難題.21．在中，下列命題正確的個數(shù)是（）①；②；③點(diǎn)為的內(nèi)心，且，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4解析：B【解析】【分析】利用向量的定義和運(yùn)算法則逐一考查所給的命題是否正確即可得到正確命題的個數(shù).【詳解】逐一考查所給的命題：①由向量的減法法則可知：，題中的說法錯誤；②由向量加法的三角形法則可得：，題中的說法正確；③因?yàn)椋?；又因?yàn)?，所以，即，所以△ABC是等腰三角形.題中的說法正確；④若，則，據(jù)此可知為銳角，無法確定為銳角三角形，題中的說法錯誤．綜上可得，正確的命題個數(shù)為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加法法則、減法法則、平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，由平面向量確定三角形形狀的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.22．在中，，，，則（）A． B． C． D．解析：A【分析】根據(jù)面積公式得到，再利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案.【詳解】利用余弦定理得到：正弦定理：故故選【點(diǎn)睛】本題考查了面積公式，正弦定理，余弦定理，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.23．在矩形中，，點(diǎn)在邊上，若，則的值為（）A．0 B． C．-4 D．4解析：C【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，求出B,E,F坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得結(jié)果.【詳解】如圖所示，．以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，為軸，為軸，則，因此，故選C.【點(diǎn)睛】平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.24．在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍為A． B．C． D．解析：A【分析】先化簡已知得，再化簡，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求其范圍.【詳解】由可得，即，所以，所以，，所以，又，，所以，所以，所以，故的取值范圍為．故選A．【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函數(shù)的思想研究數(shù)學(xué)問題，一定要注意“定義域優(yōu)先”的原則，所以本題一定要準(zhǔn)確計算出A的范圍，不是.25．如圖，為測得河對岸塔的高，先在河岸上選一點(diǎn)，使在塔底的正東方向上，測得點(diǎn)的仰角為60°，再由點(diǎn)沿北偏東15°方向走到位置，測得，則塔的高是（單位：）（）A． B． C． D．10解析：B【分析】設(shè)塔高為x米，根據(jù)題意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，從而有BC=，在△BCD中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求BC，從而可求x即塔高．【詳解】設(shè)塔高為x米，根據(jù)題意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，從而有BC=，AC=，在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，可得，BC=.則x=10；所以塔AB的高是10米；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即正確建立數(shù)學(xué)模型，結(jié)合已知把題目中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為三角形中的數(shù)據(jù)，進(jìn)而選擇合適的公式進(jìn)行求解．26．在中，則的值等于（）A． B． C． D．解析：A【解析】分析：先利用三角形的面積公式求得的值，進(jìn)而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.詳解：由題意，在中，利用三角形的面積公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.27．已知的面