第1頁/共1頁2023~2024學(xué)年下學(xué)期高二期末考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，，則等于（）A.0或 B.0或2 C.1或 D.1或2【答案】B【解析】【分析】由，可得，利用集合，，可得或，，即可求出．【詳解】∵，∴，∵集合，∴或，∴或，故選：B．2.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，若是虛數(shù)單位），則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：對應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱的點(diǎn)為，所以對應(yīng)的點(diǎn)為，.故選：B3.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的公比為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，成等比，公比為，結(jié)合即可求公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，成等比，且公比為，又，即，所以，解得.故選：D.4.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐體積是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】首先求出、，然后證明平面，最后求出三棱錐體積.【詳解】中，因?yàn)?，，，所以；中，，，，所以；中，，，，所以，從?因?yàn)?，，，平面，平面，所以平?.故選：A5.已知斜率存在的直線l交橢圓C：于A，B兩點(diǎn)，P是弦AB的中點(diǎn)，點(diǎn)，且，，則直線MP的斜率為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)出，利用點(diǎn)差法得到中點(diǎn)弦定理，即，再利用得到，進(jìn)而得到，利用求出，從而得到直線MP的斜率.【詳解】設(shè)，則，由，得即，①由A，B在橢圓C上得:兩式相減得，所以，②聯(lián)立①②得，解得.因?yàn)?，即，所以，即，所以直線MP的斜率為.故選C.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求函數(shù)定義域，研究其奇偶性及的符號即可判斷.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)榍?，，所以為奇函?shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B項(xiàng)、D項(xiàng)，又，故排除C項(xiàng).故選：A.7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)單調(diào)性最值，對原式進(jìn)行合理放縮，結(jié)合放縮不等式比較大小【詳解】設(shè)則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；所以的最小值，即在上恒成立，所以設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；所以的最大值，即在上恒成立，所以從而故選：C.8.設(shè)函數(shù)，其中，，，為已知實(shí)常數(shù)，，若，則（）A.對任意實(shí)數(shù)， B.存在實(shí)數(shù)，C.對任意實(shí)數(shù)， D.存在實(shí)數(shù)，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，可推出，整理化簡后可得或，分類討論，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡，即可判斷答案.【詳解】由題意知，即，即，兩式兩邊平方后可得，故或，若，則，故，此時(shí)，若，則，故，此時(shí)，若或，則，故對任意實(shí)數(shù)，，則A正確，錯(cuò)誤，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知等式化簡得到m和n之間的關(guān)系，然后分類討論，化簡即可解決問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)、、是三個(gè)非零向量，且相互不共線，下列命題正確的是（）A. B.C.與垂直 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積和線性運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用向量三角不等式可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，不妨設(shè)，，則，由于、、是三個(gè)非零向量，且相互不共線，則不一定為零向量，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，作，，則，如下圖所示：因?yàn)椤⒉还簿€，由三角形三邊關(guān)系可得，即，B對；對于C選項(xiàng)，易知為非零向量，則，所以與垂直，C對；對于D選項(xiàng)，若，則，所以或，D錯(cuò).故選：BC.10.已知甲口袋中裝有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，乙口袋中裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，這些球只有顏色不同．先從甲口袋中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機(jī)取出1個(gè)球．記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件、，從乙口袋中取出的球是紅球?yàn)槭录瑒t下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】使用古典概型方法可以計(jì)算得出，，利用縮小樣本空間的方法求得，，再結(jié)合條件概率公式、全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，由于甲口袋中裝有4個(gè)球，其中有1個(gè)白球，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，若從甲口袋中取出的球是白球，則此時(shí)乙口袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為，故B正確；對于C，由于甲口袋中裝有4個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，所以，若從甲口袋中取出的球是紅球，則此時(shí)乙口袋中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為，所以，故C正確；對于D，結(jié)合以上分析，，故D正確.故選：BCD.11.已知曲線，則以下說法正確的是（）A.最小值為B.兩曲線有且僅有2條公切線，記兩條公切線斜率分別為，則C.當(dāng)軸時(shí)，D.【答案】ABC【解析】【分析】對選項(xiàng)A，利用拋物線的焦半徑公式轉(zhuǎn)化求得最小值，進(jìn)而建立函數(shù)，然后再研究函數(shù)的單調(diào)性即可；對選項(xiàng)B，先找到是其中的一條公切線，分別在兩個(gè)曲線上設(shè)切線方程，然后根據(jù)公切線定義，則設(shè)立的兩個(gè)切線方程重合而建立方程，然后將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，研究該函數(shù)的零點(diǎn)即可；對選項(xiàng)C，先設(shè)動點(diǎn)（）的坐標(biāo)，根據(jù)軸，進(jìn)而建立目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)單調(diào)性即可；對選項(xiàng)D，考慮軸時(shí)，進(jìn)而建立目標(biāo)函數(shù)（），通過求該函數(shù)的最小值就能說明【詳解】對選項(xiàng)A，如圖所示，易知，根據(jù)拋物線的焦半徑公式可得：故有：，則有：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：則有：令，則可得：再次求導(dǎo)可得：故在區(qū)間上單調(diào)遞增又可得：當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；故則故故選項(xiàng)A正確；對選項(xiàng)B，不妨設(shè)外公切線分別與，（）切于點(diǎn)，則曲線的切線為：則曲線的切線為：根據(jù)與表示同一直線，則有：解得：令（）則有：可得：在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減則有：，，（注意：實(shí)際上取不到該點(diǎn)），因?yàn)?，故根?jù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，即存在一條公切線；當(dāng)時(shí)，，則在函數(shù)的處的切線方程為：聯(lián)立可得：，故此時(shí)與切于點(diǎn)，也滿足由圖易知：當(dāng)時(shí)，不可能存在公切線綜上可得：兩曲線有且僅有2條公切線不妨取（）則有：又，可得：在上單調(diào)遞增，則有：故選項(xiàng)B正確；對選項(xiàng)C，當(dāng)軸時(shí)，設(shè)（），則則有：記，則有：令，解得：故當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故有：故故選項(xiàng)C正確；對選項(xiàng)D，不妨設(shè)（）上點(diǎn)，（）上點(diǎn)則有：，可得：若軸時(shí)，（）令（）則有：易知：在區(qū)間上單調(diào)遞增可得：令，下面證明：可化簡為進(jìn)而可化簡為：故在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，令則當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；故而又下面證明：即證：只需證明：又：故成立從而，而且以上還僅僅考慮軸時(shí)的情況，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故答案選：ABC【點(diǎn)睛】求函數(shù)最值和值域的常用方法：（1）單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；（2）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；（3）基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；（4）導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值；（5）換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列得到數(shù)列，，則的前項(xiàng)和為______．【答案】【解析】【分析】由題意可知公共項(xiàng)是以7為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以7為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為．故答案為：.13.已知某種商品的直播平臺支出（單位：萬元）與農(nóng)產(chǎn)品銷售額（單位：萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：2346787.511.531.536.543.5根據(jù)上表可得線性回歸方程，但由于操作員不慎，導(dǎo)致一個(gè)數(shù)據(jù)丟失，但可以知道在函數(shù)的圖象上，據(jù)此估計(jì)，可以得到的值為___________；當(dāng)投入12萬元時(shí)，銷售額大約為___________萬元.【答案】①.19.5②.67【解析】【分析】由表中數(shù)據(jù)求出，代入可得，樣本點(diǎn)的中心滿足回歸直線的方程求解即可.【詳解】由上表可知：在函數(shù)的圖象上，，解得19.5，又滿足線性回歸方程，則，當(dāng)時(shí)，（萬元）.故答案：；.14.半徑為2的球內(nèi)部有一定點(diǎn)，，過點(diǎn)作該球的截面，將該球分為兩部分，體積分別為、．類比教材中利用祖暅原理推導(dǎo)球體積的方法，可求得的最小值為________．【答案】【解析】【分析】類比祖暅原理得出球缺及剩余體積計(jì)算，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)性求解.【詳解】設(shè)球缺（球的截面分球的兩個(gè)部分）所在球體的半徑為，球缺的高度為（球垂直于截面的半徑的端點(diǎn)到截面的距離），不妨設(shè)，先用與水平面平行且經(jīng)過球缺所在球的球心的平面截球缺，則球臺的高為，下底面半徑為，上底面半徑為，由祖暅原理，球臺體積等于與之等高，底面半徑相等的圓柱挖去一個(gè)與之等高的小圓錐余下的幾何體的體積，其中小圓錐的底面半徑為，則球臺體積為，將其加上半球的體積，即得球缺的體積：.若，則可先計(jì)算另一半高為的大球缺體積，再用球的體積減去大球缺的體積，即得小球缺的體積為.類比球體積的推導(dǎo)方法，構(gòu)造一個(gè)底面半徑的圓柱，里面挖去底面為圓柱下底面，頂點(diǎn)為上底面的圓心的圓錐，則可以算得在任意高度，兩個(gè)幾何體的截面面積均為，故兩個(gè)幾何體的體積相等，由可知越大，體積越大，故當(dāng)截面垂直于時(shí)，取較大的球缺的體積為，較小的為，可得所求最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求C；（2）若，求外接圓的半徑；（3）若，求周長的取值范圍【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理由邊化角和兩角和的正弦公式，對題干條件進(jìn)行化簡，求出目標(biāo)角的余弦值，求出結(jié)果.（2）根據(jù)正弦定理可知，為三角形外接圓半徑，根據(jù)余弦定理解三角形，使用正弦定理求出半徑.（3）根據(jù)余弦定理和基本不等式，以及三角形三邊之間的關(guān)系，求出另外兩邊和的范圍，最終求出三角形周長的范圍.【小問1詳解】已知，則由正弦定理可得，化簡得，變形得，三角形內(nèi)角和可知，代入得，因?yàn)?，所?解得，因?yàn)?，所?【小問2詳解】已知，，所以，得，所以，所以外接圓半徑.【小問3詳解】已知，，代入，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因?yàn)槿切稳我鈨蛇呏痛笥诘谌?，所以，所?則，所以三角形周長范圍為.16.在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，與平面所成角為，是的中點(diǎn)，點(diǎn)且．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，再連接，由，可完成證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，結(jié)合題意可完成證明；（3）由（2）的結(jié)論可得是平面與平面的夾角，然后由向量夾角計(jì)算公式可得答案.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，再連接．因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)．又是的中點(diǎn)，所以．而平面且平面．因此平面．【小問2詳解】由底面，底面是正方形且與平面所成角為，又，可知是等腰直角三角形，即．現(xiàn)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，，，且．．．，．同理．則.又,平面,平面；【小問3詳解】由（2）的結(jié)論平面，可知且，結(jié)合圖形特點(diǎn)可知是平面與平面的夾角，亦可記為．在等腰直角三角形中，為中點(diǎn)，所以．又，即且．于是，且．又．所以，即與平面的夾角大小為．17.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，離心率為3，是上的兩點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程；（3）若（不在直線上），證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用離心率公式和雙曲線的關(guān)系得到雙曲線方程；（2）根據(jù)點(diǎn)差法結(jié)合線段中點(diǎn)坐標(biāo)解得直線的斜率，從而解得答案；（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消元得到通過韋達(dá)定理有，，結(jié)合，化簡得，解得或，當(dāng)和時(shí)，分別分析直線的方程，進(jìn)而求得定點(diǎn)；【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，故的?biāo)準(zhǔn)方程為·【小問2詳解】設(shè)，，根據(jù)題意易得.因?yàn)槭巧系膬牲c(diǎn)，所以兩式相減得，即因?yàn)?，所以所以直線方程為經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，則直線的方程為.【小問3詳解】證明：依題意可設(shè)直線的方程為.由，得則，，，由（2）知，因?yàn)?，所以即即即，得，解得?當(dāng)時(shí)，直線，直線過點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線，滿足，則直線過定點(diǎn)故直線過定點(diǎn)18已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若任意的，求的取值范圍．【答案】（1）分類討論，答案見解析.（2）【解析】【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，接著對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令，得到臨界點(diǎn)和，最后根據(jù)與的大小關(guān)系，分四種情況討論在不同區(qū)間的符號，從而確定的單調(diào)性.（2）根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由條件得出在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，變形得到在上恒成立，最后求的最大值即可得到的取值范圍．【小問1詳解】定義域?yàn)椋?，則．①若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在（0，2）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)在上單調(diào)遞增；④若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在（0，2）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在（0，2）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在（0，2）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】不妨設(shè)，則．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，所以對恒成立，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以，解得，即的取值范圍為．19.錯(cuò)排問題最早由伯努利與歐拉系統(tǒng)研究