講解數(shù)學(xué)高考試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\{1\}B.\{2\}C.\{3\}D.\{4\}2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m=\)（）A.4B.6C.8D.104.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=\)（）A.7B.9C.11D.135.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)6.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值為（）A.3B.4C.5D.67.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)8.已知\(\alpha\)是第二象限角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)9.若\(a=\log_32\)，\(b=\log_52\)，\(c=\log_23\)，則（）A.\(a>c>b\)B.\(b>c>a\)C.\(c>b>a\)D.\(c>a>b\)10.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的離心率為\(2\)，則其漸近線方程為（）A.\(y=\pm\sqrt{3}x\)B.\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)D.\(y=\pm2x\)答案：1.B2.A3.B4.B5.B6.C7.A8.B9.D10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可以是（）A.1B.-1C.0D.23.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(2\)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.正方體的表面積為\(24\)B.正方體的體積為\(8\)C.正方體的外接球直徑為\(2\sqrt{3}\)D.正方體的內(nèi)切球半徑為\(1\)4.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)5.已知\(a\)，\(b\)為正實(shí)數(shù)，且\(a+b=1\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)6.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質(zhì)正確的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(6\)B.短軸長(zhǎng)為\(4\)C.焦距為\(2\sqrt{5}\)D.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)7.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_n=2n-1\)C.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列8.對(duì)于函數(shù)\(y=\cos(2x-\frac{\pi}{3})\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{5\pi}{12},0)\)對(duì)稱(chēng)C.圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{3}\)對(duì)稱(chēng)D.在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調(diào)遞減9.已知復(fù)數(shù)\(z=1+i\)，則（）A.\(|z|=\sqrt{2}\)B.\(z^2=2i\)C.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)為\(1-i\)D.\(z\)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限10.以下哪些事件是隨機(jī)事件（）A.明天會(huì)下雨B.拋擲一枚骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)\(7\)C.太陽(yáng)從東方升起D.從裝有\(zhòng)(3\)個(gè)紅球和\(1\)個(gè)白球的袋子中摸出一個(gè)紅球答案：1.ABD2.B3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABC8.ABC9.ABCD10.AD三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=x^3\)是奇函數(shù)。（）3.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）4.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（）5.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((1,0)\)。（）6.數(shù)列\(zhòng)(1,2,4,8,\cdots\)是等差數(shù)列。（）7.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)。（）8.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec=(0,1)\)垂直。（）9.函數(shù)\(y=\lnx\)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。（）10.三角形內(nèi)角和為\(180^{\circ}\)。（）答案：1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.×8.√9.√10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱(chēng)軸公式為\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=1\)，\(b=-2\)，對(duì)稱(chēng)軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數(shù)得\(y=2\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,2)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)，得到\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：兩直線平行斜率相等，已知直線斜率為\(2\)。設(shè)所求直線方程為\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求\(a_{10}\)及前\(10\)項(xiàng)和\(S_{10}\)。答案：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，則\(a_{10}=1+(10-1)\times2=19\)。\(S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=\frac{10\times(1+19)}{2}=100\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由。答案：在\((0,+\infty)\)上任取\(x_1\)，\(x_2\)，且\(x_1<x_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因?yàn)閈(x_1\)，\(x_2\in(0,+\infty)\)且\(x_1<x_2\)，所以\(x_2-x_1>0\)，\(x_1x_2>0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.已知直線與圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離，如何通過(guò)圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的關(guān)系來(lái)判斷？并舉例說(shuō)明。答案：當(dāng)\(d<r\)時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)\(d=r\)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)\(d>r\)時(shí)，直線與圓相離。例如圓\(x^2+y^2=4\)，半徑\(r=2\)，直線\(y=x\)，圓心\((0,0)\)到直線距離\(d=\frac{|0-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=0<2\)，直線與圓相交。3.討論等比數(shù)列與等差數(shù)列在通項(xiàng)公式、性質(zhì)等方面的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：等差數(shù)列通項(xiàng)\(a_n=a_1+(n-1)d\)，等比數(shù)列通項(xiàng)\(a_n=a_1q^{n-1}\)。等差數(shù)列是后一項(xiàng)減前一項(xiàng)