6.1希爾伯特變換

6.2窄帶隨機(jī)信號(hào)的定義及表示

6.3窄帶隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分析

6.4窄帶高斯隨機(jī)信號(hào)包絡(luò)和相位分布

6.5隨相正弦波信號(hào)加窄帶高斯噪聲之和的包絡(luò)和相位的分布

第六章窄帶隨機(jī)信號(hào)分析6.1.1希爾伯特變換定義

對(duì)于實(shí)信號(hào)x(t)，其希爾伯特變換定義為

(6-1)

反變換為

(6-2)6.1希爾伯特變換上兩式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變量替換，可以寫(xiě)成

(6-3)

(6-4)由定義可知，x(t)的希爾伯特變換為x(t)與1／πt的卷積，即

(6-5)

因此，對(duì)x(t)的希爾伯特變換可以看成是x(t)通過(guò)單位沖激響應(yīng)為1／πt的線性濾波器的輸出信號(hào)，因此希爾伯特變換可以稱(chēng)之為希爾伯特濾波器。希爾伯特濾波器是典型的線性時(shí)不變系統(tǒng)，如圖6-1所示。圖6-1希爾伯特濾波器對(duì)希爾伯特濾波器的單位沖激響應(yīng)做傅里葉變換，可得其傳輸函數(shù)為

(6-6)

其中sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。從希爾伯特變換器的傳輸函數(shù)可以看出，它的幅頻特性為

|Hh(ω)|=1

(6-7)

它的相頻特性為

(6-8)此系統(tǒng)傳輸函數(shù)Hh(ω)的幅頻特性和相頻特性如圖6-2所示。由此可以看出，希爾伯特濾波器本質(zhì)是上一個(gè)理想的π/2相移器。圖6-2希爾伯特濾波器的傳輸函數(shù)

例6.1

隨機(jī)信號(hào)X(t)=acos(ω0t+Θ)，其中a,ω0為常量，Θ是服從(0,2π)均勻分布的隨機(jī)變量，把此信號(hào)作為希爾伯特濾波器的輸入，求輸出信號(hào)Y(t)的平穩(wěn)性及總平均功率。

解由例3.2知，隨機(jī)信號(hào)X(t)為廣義平穩(wěn)信號(hào)，且有

由于希爾伯特變換器是線性時(shí)不變系統(tǒng)，所以輸出信號(hào)Y(t)也是廣義平穩(wěn)信號(hào)，且

mY=mX·Hh(0)=0輸出信號(hào)Y(t)的功率譜密度為

PY(ω)=PX(ω)·|Hh(ω)|2=PX(ω)

總平均功率為

6.1.2希爾伯特變換的性質(zhì)

性質(zhì)1

(6-9)

H［·］表示希爾伯特正變換，對(duì)x(t)連續(xù)兩次進(jìn)行希爾伯特變換相當(dāng)于做兩次π/2的相移，即π的相移，使信號(hào)反相。

性質(zhì)2

（6-10）

(6-11)

例6.2

試求cos(ω0t+φ)的希爾伯特變換。

解

cos(ω0t+φ)的傅里葉變換為

所以

H［cos(ω0t+φ)］=F－1［F［H［cos(ω0t+φ)］］］

=sin(ω0t+φ)

性質(zhì)3

設(shè)a(t)為低通信號(hào)，其傅里葉變換為A(ω)，且

A(ω)=0,|ω|>Δω/2

(6-12)則當(dāng)ω0>Δω/2時(shí)，有

H［a(t)cosω0t］=a(t)sinω0t

(6-13)

H［a(t)sinω0t］=－a(t)cosω0t

(6-14)

證明由性質(zhì)1知，若式（6-13）成立，則式（6-14）必然成立，因此只需證明式（6-13）就可以了。

令x(t)=a(t)cosω0t，則

A(ω)與X(ω)的關(guān)系如圖6-3所示。圖6-3x(t)=a(t)cosω0t的頻譜圖解

x(t)=a(t)cosω0t經(jīng)過(guò)希爾伯特變換后有

對(duì)上式作傅里葉反變換，得

性質(zhì)4

設(shè)a(t)和φ(t)為低通信號(hào)，則

H［a(t)cos(ω0t+φ)］=a(t)sin(ω0t+φ)

(6-15)

H［a(t)sin(ω0t+φ)］=－a(t)cos(ω0t+φ)

(6-16)

請(qǐng)讀者在習(xí)題中自行證明。

性質(zhì)5

設(shè)z(t)=x(t)＊y(t)，則

(6-17)

性質(zhì)6

設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度為RX(τ)和PX(ω)，的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度為

和，則

(6-18)

(6-19)

證明，則

即X(t)經(jīng)過(guò)希爾伯特變換后，其功率譜不變。這是因?yàn)橄柌刈儞Q只影響相頻特性，不影響幅頻特性，而功率譜密度不含有相位信息，經(jīng)過(guò)希爾伯特變換后，其功率譜是不變的，即自相關(guān)函數(shù)是不變的。由式（6-18）得

(6-20)

即信號(hào)X(t)希爾伯特變換前后，平均總功率保持不變。

該性質(zhì)對(duì)時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)也是成立的，即

(6-21)

(6-22)

例6.3

已知零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)信號(hào)X(t)，其單邊功率譜密度為

試求其希爾伯特變換的一維概率密度。

解已知X(t)是零均值平穩(wěn)高斯信號(hào)，則也是零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)信號(hào)。所以

所以的一維概率密度函數(shù)為

性質(zhì)7

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)與其希爾伯特變換的自相關(guān)函數(shù)等于自相關(guān)函數(shù)RX(τ)的希爾伯特變換

，時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)等于時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)的希爾伯特變換，即

(6-23)

(6-24)

證明可以看成是X(t)通過(guò)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出信號(hào)，所以它與X(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的。因此有

同理可證

（6-25）且有

（6-26）

而

同理可證

（6-27）

且有

（6-28）6.2.1窄帶隨機(jī)信號(hào)的定義

在一般無(wú)線電接收機(jī)中，大多數(shù)是高頻或中頻放大器，它們的通頻帶帶寬Δω往往遠(yuǎn)小于中心頻率ω0，且中心頻率ω0遠(yuǎn)離零頻，即

Δω<<ω0,ω0>>0(6-29)6.2窄帶隨機(jī)信號(hào)的定義及表示當(dāng)窄帶系統(tǒng)的輸入端加入白噪聲或?qū)拵щS機(jī)信號(hào)X(t)時(shí)（見(jiàn)圖6-4（a）)，由于系統(tǒng)的帶通傳輸特性如圖6-4（b）所示，輸出信號(hào)的功率譜集中在以ω0為中心一個(gè)很小的頻帶內(nèi)，其輸出信號(hào)Y(t)為窄帶隨機(jī)信號(hào)。若用一個(gè)示波器來(lái)觀測(cè)它的某次輸出的波形（某樣本函數(shù)），可以看到，它的樣本接近于一個(gè)正弦波，但是其幅度ak(t)和相位φk(t)都在隨時(shí)間t作緩慢變化。典型的窄帶隨機(jī)信號(hào)的樣本函數(shù)時(shí)域波形和功率頻譜密度如圖6-4(c)和圖6-4(d)所示。圖6-4寬帶噪聲通過(guò)窄帶系統(tǒng)6.2.2窄帶隨機(jī)信號(hào)的表示

1.窄帶隨機(jī)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型

由圖6-4（c）可知，窄帶隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)樣本函數(shù)就是一個(gè)高頻窄帶隨機(jī)信號(hào)。它對(duì)應(yīng)樣本空間Ω中的任一樣本點(diǎn)ξk，所對(duì)應(yīng)的樣本函數(shù)可表示為

yk(t)=ak(t)cos［ω0t+φk(t)］,ξk∈Ω

(6-30)

而所有樣本函數(shù)的集合就構(gòu)成整個(gè)窄帶隨機(jī)信號(hào)Y(t)，記為

Y(t)=A(t)cos［ω0t+Φ(t)］(6-31)

2.窄帶隨機(jī)信號(hào)的正交分解表示

統(tǒng)計(jì)分析的對(duì)象是隨機(jī)函數(shù)。為了方便地對(duì)窄帶隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，先將窄帶隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行隨機(jī)函數(shù)與非隨機(jī)函數(shù)的分解，所以有

Y(t)=A(t)cos［ω0t+Φ(t)］

=A(t)cosΦ(t)cosω0t－A(t)sinΦ(t)sinω0t

=Ac(t)cosω0t－As(t)sinω0t

(6-32)

上式中，cosω0t，sinω0t都是非隨機(jī)函數(shù)。而隨機(jī)函數(shù)為

(6-33)由式（6-33）可以推出

(6-34)

可見(jiàn)，窄帶隨機(jī)信號(hào)Y(t)的包絡(luò)A(t)和相位Φ(t)完全可由同相分量Ac(t)和正交分量As(t)確定，且Ac(t)和As(t)是一對(duì)在幾何上正交的分量，如圖6-5所示。

圖6-5窄帶隨機(jī)信號(hào)的正交分解在討論統(tǒng)計(jì)特性之前，先導(dǎo)出Y(t)、Ac(t)、As(t)之間的函數(shù)關(guān)系如下：

(6-35)

(6-36)6.3窄帶隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分析

1.Ac(t)和As(t)的均值

對(duì)式（6-36）兩邊進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，可得

(6-37)

2.Ac(t)和As(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度

根據(jù)希爾伯特變換性質(zhì)有

代入上式中，并化簡(jiǎn)為

(6-38)同理有

（6-39）

因此

（6-40）

當(dāng)τ=0時(shí)有

(6-41)

若窄帶信號(hào)Y(t)是平穩(wěn)高斯信號(hào)，根據(jù)式（6-36）知，Ac(t)和As(t)都是Y(t)的線性組合，所以Ac(t)和As(t)都是平穩(wěn)高斯隨機(jī)信號(hào)。對(duì)式（6-38）和式（6-39）兩邊進(jìn)行傅里葉變換,得

又因?yàn)?將其代入上式可得

(6-42)

上式各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的功率譜密度的圖形如圖6-6所示。圖6-6畫(huà)出了的功率譜密度，根據(jù)圖解分析可以看出和集中在|ω|<Δω/2范圍內(nèi)，由此可以看出，同相分量Ac(t)和正交分量As(t)都是低頻隨機(jī)信號(hào)。式（6-42）可表示為

(6-43)圖6-6的功率譜密度示意圖

3.Ac(t)和As(t)的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度

即

（6-44）

上式表明，Ac(t)和As(t)是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的。

同理有

（6-45）

因此

（6-46）上式表明Ac(t)和As(t)的互相關(guān)函數(shù)或者是關(guān)于τ的奇函數(shù)，則有

(6-47)

由該式可知，Ac(t)和As(t)在同一時(shí)刻的兩個(gè)隨機(jī)變量是正交的。

又因?yàn)锳c(t)和As(t)的均值都為零，所以當(dāng)τ=0時(shí)，也有

(6-48)

說(shuō)明隨機(jī)信號(hào)Ac(t)和As(t)在同一時(shí)刻的兩個(gè)隨機(jī)變量是互不相關(guān)的。對(duì)式（6-44）和式（6-45）兩邊進(jìn)行傅里葉變換得

(6-49)由圖6-7可以看出，互功率譜密度或者集中在|ω|<Δω/2范圍內(nèi)，式（6-49）可以改寫(xiě)為

(6-50)圖6-7功率譜密度示意圖若零均值窄帶隨機(jī)信號(hào)Y(t)的單邊功率譜密度關(guān)于ω0是偶對(duì)稱(chēng)的，由上式可知

(6-51)

則

（6-52）

又因?yàn)锳c(t)和As(t)的均值都為零，所以有

(6-53)

4.窄帶隨機(jī)信號(hào)Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

仿照上述性質(zhì)的證明方法，可以證得

(6-54)

根據(jù)前面的分析，可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：

零均值窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)信號(hào)Y(t)，其同相分量Ac(t)和正交分量As(t)同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)信號(hào)，均值為0，方差也相同(σ2=RY(0))，且同一時(shí)刻的Ac(t)與As(t)互不相關(guān)或者是相互獨(dú)立或相互正交的。

5.Ac(t)和As(t)的一維概率密度函數(shù)

由于零均值平穩(wěn)高斯窄帶隨機(jī)信號(hào)Y(t)~N(0,σ2)，所以Ac(t)~N(0,σ2)，As(t)~N(0,σ2)，則同相分量Ac(t)的一維概率密度函數(shù)為

(6-55)

同理，正交分量As(t)的一維概率密度函數(shù)為

(6-56)上兩式中，Act,Ast為Ac(t),As(t)在某固定時(shí)刻t所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量，act,ast為隨機(jī)變量Act,Ast可能的取值狀態(tài)。

Ac（t）和As（t）聯(lián)合概率密度為

(6-57)

例6.4

若零均值平穩(wěn)窄高斯隨機(jī)信號(hào)X(t)的功率譜密度如題圖6-8所示。

（1）試寫(xiě)出此隨機(jī)信號(hào)的一維概率密度函數(shù)；

（2）寫(xiě)出X（t）的同相分量、正交分量在同一時(shí)刻的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

解（1）零均值平穩(wěn)窄帶高斯信號(hào)X(t)的正交表達(dá)式為

X(t)=Ac(t)cosω0t－As(t)sinω0t

基于功率譜計(jì)算功率得

圖6-8例6.4圖

X(t)為零均值的高斯隨機(jī)信號(hào),所以

X(t)~N(0,σ2)

所以一維概率密度

（2）由Ac(t),As(t)與X(t)的關(guān)系知：Ac(t),As(t)也為平穩(wěn)高斯隨機(jī)信號(hào)，且與X(t)有相同的期望和方差,在同一時(shí)刻二者互不相關(guān)或者是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即。

通信電子系統(tǒng)接收電路中經(jīng)常采用寬帶隨機(jī)信號(hào)X(t)激勵(lì)一個(gè)高頻窄帶系統(tǒng)，如圖6-9所示。由前面寬帶信號(hào)通過(guò)窄帶系統(tǒng)的結(jié)論可知，該情況下系統(tǒng)輸出隨機(jī)信號(hào)Y(t)可以認(rèn)為是窄帶高斯隨機(jī)信號(hào)。因此，窄帶高斯隨機(jī)信號(hào)模型是通信電子系統(tǒng)中經(jīng)常用到的隨機(jī)信號(hào)模型，研究窄帶高斯隨機(jī)信號(hào)具有重要的實(shí)際意義。

根據(jù)前一節(jié)的分析，圖6-9中窄帶高斯信號(hào)Y(t)可表示為準(zhǔn)正弦振蕩的形式

(6-58)6.4窄帶高斯隨機(jī)信號(hào)包絡(luò)和相位分布圖6-9窄帶隨機(jī)信號(hào)的包絡(luò)和相位6.4.1窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位的一維概率分布

假定窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)信號(hào)Y(t)的均值為零、方差為σ2，先求其包絡(luò)A(t)和相位Φ(t)的一維概率密度。在任一給定的時(shí)刻，對(duì)A(t)和Φ(t)采樣，可得到隨機(jī)變量At和Φt，其對(duì)應(yīng)的可能取值狀態(tài)為at和φt，故求A(t)和Φ(t)的一維概率密度就是求出概率密度f(wàn)A(at)和fΦ(φt)。

由上節(jié)內(nèi)容知，窄帶隨機(jī)信號(hào)Y(t)可表示為

(6-59)

Ac(t)和As(t)與Y(t)有相同的均值和方差，且都是平穩(wěn)高斯信號(hào)，二者在任意相同時(shí)刻是正交的、互不相關(guān)的或者統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量。設(shè)Act和Ast是Ac(t)和As(t)在固定t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量，act和ast為所對(duì)應(yīng)的可能取值狀態(tài)。Ac(t)和As(t)聯(lián)合概率密度為

(6-60)又根據(jù)A(t)，Φ(t)和Ac(t)，

As(t)的關(guān)系

（6-61）

通過(guò)二維隨機(jī)變量函數(shù)變換可得A(t)和Φ(t)的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(6-62)

由于

（6-63）

雅可比變換行列式為

(6-64)

則可得

（6-65）由邊緣概率的運(yùn)算求得

(6-66)(6-67)由A(t),Φ(t)的概率密度函數(shù)得：包絡(luò)A(t)服從瑞利分布,如圖6-10所示；隨機(jī)相位Φ(t)服從(0,2π)的均勻分布。

觀察式(6-65)~(6-67)，可以看出

fAΦ(at,φt)=fA(at)·fΦ(φt)

(6-68)

所以在同一時(shí)刻，包絡(luò)A(t)和相位Φ(t)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。圖6-10瑞利分布概率密度函數(shù)6.4.2窄帶高斯隨機(jī)信號(hào)包絡(luò)平方的一維分布＊

在電子通信系統(tǒng)中，包絡(luò)檢波法是最常用的檢測(cè)方法，而平方律檢波器應(yīng)用非常廣泛。如圖6-11所示，在平方律檢波器輸出端可得到窄帶高斯隨機(jī)信號(hào)Y(t)包絡(luò)的平方A2(t)。

由前面理論知，當(dāng)Y(t)為均值為0，方差為σ2的平穩(wěn)高斯窄帶隨機(jī)信號(hào)時(shí)，其包絡(luò)A(t)的一維概率密度為瑞利分布

(6-69)圖6-11平方律檢波器應(yīng)用求一維隨機(jī)變量函數(shù)變換分布的方法，容易求出包絡(luò)平方的一維概率密度。令

U(t)=A2(t)

(6-70)

則在固定時(shí)刻t,有

(6-71)

其雅可比變換行列式為

(6-72)于是包絡(luò)平方的一維概率密度函數(shù)為

(6-73)

上式是一個(gè)典型的指數(shù)表達(dá)式。

實(shí)際應(yīng)用中，為了分析方便，經(jīng)常應(yīng)用歸一化隨機(jī)變量。令歸一化隨機(jī)變量，則可得到Vt的概率密度為

(6-74)有些應(yīng)用中還需要進(jìn)一步對(duì)包絡(luò)平方信號(hào)U(t)進(jìn)行多點(diǎn)采樣和求和，得到累加量

然后在z的基礎(chǔ)上進(jìn)行檢測(cè)和處理。由于Ac(ti)與As(ti)相互獨(dú)立并且具有相同的分布，因此z實(shí)際上是2n個(gè)獨(dú)立的零均值、同分布的高斯隨機(jī)變量的平方和，它服從（如例1.7）中心χ2的分布。在信號(hào)檢測(cè)理論中，隨機(jī)相位信號(hào)的檢測(cè)是其他信號(hào)檢測(cè)的基礎(chǔ)，而接收機(jī)的中頻輸出經(jīng)常遇到隨相正弦波與窄帶噪聲（即信號(hào)加噪聲）通過(guò)包絡(luò)檢波器或者平方律檢波器的問(wèn)題，如圖6-12所示。本節(jié)主要討論隨機(jī)相位正弦波與窄帶高斯噪聲之和的統(tǒng)計(jì)特性，導(dǎo)出合成信號(hào)通過(guò)包絡(luò)檢波器后的包絡(luò)和相位的概率密度，以及包絡(luò)平方的概率密度。6.5隨相正弦波信號(hào)加窄帶高斯噪聲之和的包絡(luò)和相位的分布圖6-12隨相正弦波加窄帶高斯噪聲合成信號(hào)6.5.1隨相正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)和相位的分布

設(shè)隨機(jī)相位正弦波

S(t)=acos(ω0t+θ)=acosθcosω0t－asinθsinω0t

(6-75)

其中，a,ω0為常數(shù)，θ為服從(0,2π)均勻分布的隨機(jī)變量。

寬帶噪聲N(t)通過(guò)窄帶接收機(jī)后得到窄帶高斯噪聲Ni(t)，假定其均值為零，方差為σ2，所以有

(6-76)此時(shí)信號(hào)加噪聲合成信號(hào)為

(6-77)

令

（6-78）

則

（6-79）由上式可以看出，合成信號(hào)X(t)也是窄帶信號(hào)，Xc(t)為其同相分量，Xs(t)為其正交分量。所以X(t)的包絡(luò)A(t)和相位Φ(t)可表示為

(6-80)由于Nc(t),Ns(t)都是零均值高斯隨機(jī)信號(hào)，且相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，所以對(duì)給定的θ值，Xc(t),Xs(t)也必然是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)信號(hào)，它們的均值和方差分別為

E［Xc(t)|θ］=acosθ

E［Xs(t)|θ］=asinθ

D［Xc(t)|θ］=D［Xs(t)|θ］=σ2

于是，可以得到在θ給定的條件下，Xc(t)和Xs(t)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(6-81)同上節(jié)，通過(guò)二維隨機(jī)變量函數(shù)變換，可求得包絡(luò)A(t)和相位Φ(t)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(6-82)

1.在θ已知條件下包絡(luò)A(t)的條件概率密度

將式（6-82）對(duì)φt積分，可得

(6-83)

式中I0(·)是第一類(lèi)零階修正貝塞爾函數(shù)。由上式可見(jiàn)，fA(at|θ)與θ無(wú)關(guān)，是無(wú)條件分布fA(at)。所以，隨相正弦波信號(hào)加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)A(t)的一維概率密度f(wàn)A(at)為

(6-84)（1）當(dāng)信噪比r1，即小信噪比時(shí)

所以

(6-85)

當(dāng)a→0時(shí)

(6-86)（2）當(dāng)信噪比r>>1，即大信噪比時(shí)

所以

(6-87)所以在大信噪比條件下，有at≈a，此時(shí)有