第7章微分與積分計(jì)算7.1極限、導(dǎo)數(shù)7.1.1極限極限是數(shù)學(xué)分析最基本的概念與出發(fā)點(diǎn)，在工程實(shí)際中，其計(jì)算往往比較繁瑣，而運(yùn)用MATLAB提供的limit命令則可以很輕松地解決這些問題。表limit調(diào)用格式7.1.2導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，在工程應(yīng)用中用來描述各種各樣的變化率。可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，利用上一節(jié)的limit命令來求解已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，事實(shí)上，MATLAB提供了專門的函數(shù)求導(dǎo)命令diff。

表diff調(diào)用格式7.2微積分7.2.1定積分與不定積分定積分是工程中用得最多的積分運(yùn)算，利用MATLAB提供的int命令可以很容易地求已知函數(shù)在已知區(qū)間的積分值。7.2.2微分命令說明int(f)計(jì)算函數(shù)f的不定積分int(f,x)計(jì)算函數(shù)f關(guān)于變量x的不定積分int(f,a,b)計(jì)算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的定積分int(f,x,a,b)計(jì)算函數(shù)f關(guān)于x在區(qū)間[a,b]上的定積分

表int調(diào)用格式命令說明vpa(x)使用可變精度浮點(diǎn)算術(shù)(vpa)將符號(hào)輸入x的每個(gè)元素計(jì)算為至少d有效位數(shù),其中d是digits函數(shù)的值。digits的默認(rèn)值為32。vpa(x,d)使用至少d有效數(shù)字,而不是digits的值.

表int調(diào)用格式7.3積分函數(shù)在MATLAB中，包含由積分定義的一種特殊函數(shù)-三角積分函數(shù)，它在除去負(fù)實(shí)軸(-2，0)的z平面上單值解析，可以表示成惠特克函數(shù)Wk.,n(z)或不完全伽馬函數(shù)L(v,z)，在表中顯示函數(shù)的調(diào)用格式。表三角積分函數(shù)調(diào)用格式

圖時(shí)域圖形7.4積分變換積分變換是一個(gè)非常重要的工程計(jì)算手段。它通過參變量積分將一個(gè)已知函數(shù)變?yōu)榱硪粋€(gè)函數(shù)，使函數(shù)的求解更為簡單。最重要的積分變換有傅里葉(Fourier)變換、拉普拉斯(Laplace)變換等。7.4.1傅里葉(Fourier)積分變換傅里葉變換是將函數(shù)表示成一族具有不同幅值的正弦函數(shù)的和或者積分，在物理學(xué)、數(shù)論、信號(hào)處理、概率論等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。MATLAB提供的傅里葉變換命令是fourier。

表fourier調(diào)用格式7.4.2傅里葉(Fourier)逆變換MATLAB提供的傅里葉逆變換命令是ifourier。7.4.3快速傅里葉(Fourier)變換快速Fourier變換（FFT）是離散傅里葉變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅里葉變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對離散傅里葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的

表ifourier調(diào)用格式命令意義命令調(diào)用格式fft一維快速傅里葉變換Y=fft(X)，計(jì)算對向量X的快速傅里葉變換。如果X是矩陣，fft返回對每一列的快速傅里葉變換Y=fft(X，n)，計(jì)算向量的n點(diǎn)FFT。當(dāng)X的長度小于n時(shí)，系統(tǒng)將在X的尾部補(bǔ)零，以構(gòu)成n點(diǎn)數(shù)據(jù)；當(dāng)x的長度大于n時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)行截尾Y=fft(X,[],dim)或Y=fft(X,n,dim)，計(jì)算對指定的第dim維的快速傅里葉變換fft2二維快速傅里葉變換Y=fft2(X)，計(jì)算對X的二維快速傅里葉變換。結(jié)果Y與X的維數(shù)相同Y=fft2(X,m,n)，計(jì)算結(jié)果為m×n階，系統(tǒng)將視情對X進(jìn)行截尾或者以0來補(bǔ)齊fftshift將快速傅里葉變換（fft、fft2）的DC分量移到譜中央Y=fftshift(X)，將DC分量轉(zhuǎn)移至譜中心Y=fftshift(X,dim)，將DC分量轉(zhuǎn)移至dim維譜中心，若dim為1則上下轉(zhuǎn)移，若dim為2則左右轉(zhuǎn)移ifft一維逆快速傅里葉變換y=ifft(X)，計(jì)算X的逆快速傅里葉變換y=ifft(X,n)，計(jì)算向量X的n點(diǎn)逆FFTifft一維逆快速傅里葉變換y=ifft(X,[],dim)，計(jì)算對dim維的逆FFTy=ifft(X,n,dim)，計(jì)算對dim維的逆FFTifft2二維逆快速傅里葉變換y=ifft2(X)，計(jì)算X的二維逆快速傅里葉變換y=ifft2(X,m,n)，計(jì)算向量X的m×n維逆快速Fourier變換ifftn多維逆快速傅里葉變換y=ifftn(X)，計(jì)算X的n維逆快速傅里葉變換y=ifftn(X,size)，系統(tǒng)將視情對X進(jìn)行截尾或者以0來補(bǔ)齊ifftshift逆fft平移Y=ifftshift(X)，同時(shí)轉(zhuǎn)移行與列Y=ifftshift(X,dim)，若dim為1則行轉(zhuǎn)移，若dim為2則列轉(zhuǎn)移

表快速傅里葉變換

圖正弦圖形圖信號(hào)幅值圖7.4.4拉普拉斯(Laplace)變換MATLAB提供的拉普拉斯變換命令是laplace。7.4.5拉普拉斯(ilaplace)逆變換MATLAB提供的拉普拉斯逆變換命令是ilaplace。

表laplace調(diào)用格式

表ilaplace調(diào)用格式7.5多重積分7.5.1二重積分MATLAB用來進(jìn)行二重積分?jǐn)?shù)值計(jì)算的專門命令是integral2,不建議使用dblquad。這是一個(gè)在矩形范圍內(nèi)計(jì)算二重積分的命令。7.5.2三重積分計(jì)算三重積分的過程和計(jì)算二重積分是一樣的，但是由于三重積分的積分區(qū)域更加復(fù)雜，所以計(jì)算三重積分的過程將更加地繁瑣。MATLAB用來進(jìn)行三重積分?jǐn)?shù)值計(jì)算的專門命令是integral3,表integral2調(diào)用格式

表integral3調(diào)用格式

圖積分區(qū)域7.6PDE模型方法在利用MATLAB求解偏微分方程時(shí)，利用PDE模型函數(shù)，PDEModel對象包含有關(guān)PDE問題的信息:方程數(shù)量、幾何形狀、網(wǎng)格和邊界條件。1.創(chuàng)建PDE模型函數(shù)名稱函數(shù)說明applyBoundaryCondition將邊界條件添加到PDEModel容器中g(shù)enerateMesh生成三角形或四面體網(wǎng)格geometryFromEdges創(chuàng)建二維幾何圖形geometryFromMesh從網(wǎng)格創(chuàng)建幾何圖形importGeometry從STL數(shù)據(jù)導(dǎo)入幾何圖形setInitialConditions給出初始條件或初始解specifyCoefficients 指定PDE模型中的特定系數(shù)solvepde在數(shù)據(jù)模型中指定的數(shù)據(jù)solvepdeeig求解PDEModel中指定的PDE特征值問題

表PDEModel對象函數(shù)表createpde調(diào)用格式

表structural分析類型屬性7.7操作實(shí)例——較時(shí)域和頻域中的余弦波傅里葉變換經(jīng)常被用來計(jì)算時(shí)域信號(hào)的頻譜，本節(jié)以余弦波為例，講解時(shí)域信號(hào)和頻域的頻譜圖。1.指定信號(hào)的參數(shù)，采樣頻率為1kHz，信號(hào)持續(xù)時(shí)間為1秒。2.創(chuàng)建一個(gè)矩陣，其中每一行代表一個(gè)頻率經(jīng)過縮放的余弦波。結(jié)果

X

為3×1000矩陣。第一行的波頻為50，第二行的波頻為150，第三行的波頻為300。3．出于算法性能的考慮，fft允許使用尾隨零填充輸入。在這種情況下，用零填充

X

的每一行，以使每行的長度為比當(dāng)前長度大的下一個(gè)最小的2的次冪值。

圖時(shí)域圖形

圖頻域圖形

7.8課后習(xí)題1．什么是微分，微分與積分有什么區(qū)別？2．求二重積分有幾種方法？3.計(jì)算