MATLAB數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)與實(shí)例教程機(jī)械工業(yè)出版社21世紀(jì)高等院校計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)規(guī)劃教材第6

章線性代數(shù)中的數(shù)值計(jì)算6.1矩陣的運(yùn)算6.2秩與相關(guān)性6.3矩陣的范數(shù)和分解6.4特征值與二次型6.5線性方程組求解6.6矩陣函數(shù)第6章向量向量空間（線性空間）線性變換線性代數(shù)研究對象？有限維的線性方程組6.1矩陣運(yùn)算

6.1.1逆運(yùn)算第6章在MATLAB中使用inv或A^(-1)命令就可以實(shí)現(xiàn)矩陣的逆運(yùn)算?！纠?-1】(1)求矩陣的逆矩陣B。>>A=[123;221;343];>>B=inv(A)B=1.00003.0000-2.0000-1.5000-3.00002.50001.00001.0000-1.0000(2)求矩陣的逆矩陣B。>>symsabcd>>A=[ab;cd];>>B=A^(-1)B=[d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c)][-c/(a*d-b*c),a/(a*d-b*c)]6.1矩陣運(yùn)算

6.1.2轉(zhuǎn)置第6章在MATLAB中使用操作符“’”進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。【例6-2】已知，求(AB)T>>A=[20-1;132]A=20-1132>>B=[17-1;423;201]B=17-1423201>>(A*B)'ans=0171413-3106.1矩陣運(yùn)算

6.1.3行列式運(yùn)算第6章在MATLAB中使用det函數(shù)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)?！纠?-3】(1)計(jì)算行列式的值>>C=[12;34];>>det(C)ans=-2(2)計(jì)算的值。>>symsa>>symsb>>symsc>>C=[abc;ba+2*ba+2*c;cb+cb-c];>>det(C)ans=-2*a^2*c+2*a*b^2-3*a*b*c-3*a*c^2-b^3+2*b^2*c+b*c^26.1矩陣運(yùn)算

6.1.4向量點(diǎn)乘第6章

在MATLAB中，使用dot函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)向量的點(diǎn)乘，同時也可使用sum函數(shù)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，其中兩個向量的維數(shù)必須相同?！纠?-6】求向量X=(1,2,3)和向量Y=(-3,-2,-1)的點(diǎn)乘>>X=[123];>>Y=[-3-2-1];>>dot(X,Y)ans=-10>>sum(X.*Y)ans=-106.1矩陣運(yùn)算

6.1.5混合積

第6章

設(shè)a、b、c為空間中的三個向量，則(a×b)·c稱為三個向量a、b、c的混合積，記作[a,b,c]或(a,b,c)或(abc)。三個向量a、b、c共面的充分必要條件是(a,b,c)=0性質(zhì)：（1）(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)；（2）(a×b)c=a(b×c)。6.1矩陣運(yùn)算第6章【例6-7】已知向量a=(1,2,3)，b(2,3,4)，c(3,4,5)，求(a×b)c>>a=[123];>>b=[234];>>c=[345];>>dot(a,cross(b,c))ans=06.1矩陣運(yùn)算

6.1.6實(shí)例應(yīng)用第6章【例6-8】已知矩陣，按以下要求進(jìn)行矩陣的運(yùn)算。（1）計(jì)算C=A+2B>>A=[123;221;343]A=123221343>>B=[12-1;34-2;5-41]B=12-134-25-41>>C=A+BC=24256-1804（2）分別計(jì)算矩陣A,B的逆矩陣>>inv(A)ans=1.00003.0000-2.0000-1.5000-3.00002.50001.00001.0000-1.0000>>inv(B)ans=-2.00001.0000-0.0000-6.50003.0000-0.5000-16.00007.0000-1.00006.1矩陣運(yùn)算第6章【例6-8】已知矩陣，按以下要求進(jìn)行矩陣的運(yùn)算。（3）計(jì)算行列式|2AB|>>det(2*A*B)ans=32.0000（4）求(BA)T>>(B*A)'ans=25026627146.2秩與相關(guān)性

6.2.1矩陣與向量組的秩

第6章秩的定義（1）矩陣秩的定義在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)。（2）向量組秩的定義設(shè)有向量組A，若在A中能選出r個向量a1,a2,…,ar，滿足：向量組A0:a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A中任意r+1個向量（如果存在）都線性相關(guān)；那么稱向量組A0是向量組A的一個最大線性無關(guān)向量組，最大無關(guān)組所含向量個數(shù)r稱為向量組A的秩，記作RA。6.2秩與相關(guān)性第6章（3）矩陣的秩R(A)=

RA列RA行=RA列：A矩陣的列向量組的秩RA行：A矩陣的行向量組的秩在MATLAB中使用rank函數(shù)實(shí)現(xiàn)秩的求解?！纠?-9】求矩陣的秩。>>A=[123;23-5;471]A=12323-5471>>rank(A)ans=26.2秩與相關(guān)性

6.2.2線性相關(guān)性第6章（1）定義：給定向量A:a1,a2,…,am，若存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,km，使k1a1+k2a2+…+kmam=0則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。（2）向量組a1,a2,…,am構(gòu)成的矩陣A=(a1,a2,…,am)向量組線性相關(guān)的充分必要條件？向量組線性無關(guān)的充分必要條件？R(A)=mR(A)<m6.2秩與相關(guān)性

6.2.3最大無關(guān)組第6章

在MATLAB中那個rref命令可以將矩陣化成行最簡形的矩陣，其調(diào)用格式如下：rref(A)：對矩陣A化為行最簡形矩陣。求一向量組最大無關(guān)組的方法？定義法解線性方程組方法矩陣法6.2秩與相關(guān)性第6章【例6-10】求向量組a=(2,1,4,3)T，b=(-1,1,-6,6)T，c=(-1,-2,2,-9)T，d=(1,1,-2,7)T，e=(2,4,4,9)T的一個最大無關(guān)組。>>a=[2,1,4,3]';>>b=[-1,1,-6,6]';>>c=[-1,-2,2,-9]';>>d=[1,1,-2,7]';>>e=[2,4,4,9]';>>A=[abcde]>>A=[abcde]A=2-1-11211-2144-62-2436-979>>rref(A)ans=10-10401-1030001-3000006.3矩陣的范數(shù)和分解

6.3.1矩陣的范數(shù)第6章（1）定義若A為n階方陣，Rn中已定義了向量范數(shù)，則稱為矩陣A的范數(shù)（亦可稱為模），記為（2）在MATLAB中，對向量長度的求解通常使用的是norm函數(shù)，其調(diào)用格式為：norm(A)：求A的2-范數(shù)；norm(A,1)：求A的1-范數(shù)；norm(A,inf)：求A的無窮-范數(shù)；norm(A,'fro')：求A的F-范數(shù)。6.3矩陣的范數(shù)和分解第6章【例6-11】>>A=[135;246;369]A=135246369>>norm(A,1)ans=20>>norm(A)ans=14.7187>>norm(A,inf)ans=18>>norm(A,'fro')ans=14.7309求矩陣的1-范數(shù)、2-范數(shù)、無窮-范數(shù)和F-范數(shù)。6.3矩陣的范數(shù)和分解

6.3.2矩陣的分解第6章（1）特征分解設(shè)n階方程A，特征值為，對應(yīng)的特征向量為，假定則可以得到AV=VA。若{v1v2…vn}線性無關(guān)，則V可逆，可得A=VAV-1，此式稱為A的特征分解（EVD）。使用eig函數(shù)用于該矩陣的特征分解6.3矩陣的范數(shù)和分解

6.3.2矩陣的分解第6章（2）舒爾分解（Schur）定理：設(shè)矩陣A的特征值為，總存在相似酉矩陣U，可將A化上三角陣。即U-1AU=R，且R的對角線元素為（3）Cholesky分解針對對稱正定矩陣的分解，設(shè)是對稱正定矩陣，稱為矩陣A的Cholesky分解。使用chol函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)該分解，其調(diào)用格式為：X=chol(A)[X,p]=chol(A)：A為正定矩陣，則p為0A為非正定矩陣，則p為整數(shù)6.3矩陣的范數(shù)和分解第6章（4）三角分解（LU）使用lu函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)三角分解，其調(diào)用格式為：[B,C]=lu(A)：滿足A=B×C；[B,C,P]=lu(A)：滿足B×C=P×A。（5）QR分解

設(shè)A為M×N矩陣，若存在M×N酉矩陣Q（QHQ=QQH=1）和M×N階梯形矩陣R，使A=QR，則稱為A的QR分解。[Q,R]=qr(A)[Q,R]=qr(A,0)[Q,R,E]=qr(A)[Q,R,E]=qr(A,0)使用qr函數(shù)實(shí)現(xiàn)QR分解，其調(diào)用格式為：6.3矩陣的范數(shù)和分解第6章（6）奇異值分解（SVD）使得，其中，此時稱為A的奇異值分解。假定A為M×N矩陣，AHA的特征值為，則稱(i=1,2,...,r)為矩陣A的奇異值，r為A的秩。存在M階酉矩陣U和N階酉矩陣V，使用svd函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)矩陣的SVD分解，其調(diào)用格式為：s=svd(A)[U,S,V]=svd(A)[U,S,V]=svd(A,0)[U,S,V]=svd(A,’econ’)6.4特征值與二次型

6.4.1特征值與特征向量第6章定義：設(shè)A為n階矩陣，若存在數(shù)和n維非零列向量x使關(guān)系式成立，則稱為矩陣A的特征值，非零向量x稱為A的對應(yīng)于特征值

的特征向量。使用eig函數(shù)用于求矩陣的特征值和特征向量，其調(diào)用格式為：D=eig(A)[V,D]=eig(A)[V,D]=eig(A,’nobalance’)6.4特征值與二次型

6.4.2正交矩陣第6章

在MATLAB中，對矩陣的正交矩陣求解則使用的是orth函數(shù)，其調(diào)用格式為：orth(A)：將矩陣A正交規(guī)范化?！纠?-12】將矩陣正交化。>>A=[500;031;013]A=500031013>>x=orth(A)x=1.0000000-0.7071-0.70710-0.70710.7071>>formatshort>>xx=1.0000000-0.7071-0.70710-0.70710.7071>>Q=x'*xQ=1.00000001.00000.000000.00001.00006.5線性方程組求解

6.5.1唯一解第6章

已知n元線性方程組的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為B，其中R(A)表示系數(shù)矩陣的秩，R(B)表示增廣矩陣的秩，R(A)=rA，R(B)=rB。線性方程組的解？rA<rB，

無解rA=rB=n，存在唯一解rA=rB<n，存在有限多解已知存在唯一解，直接使用rref函數(shù)計(jì)算增廣矩陣6.5線性方程組求解第6章【例6-13】求線性方程組的唯一解。>>A=[311;131;113];>>b=[033]';>>B=[Ab]B=311013131133>>rref(B)ans=100-3/50109/100019/10根據(jù)上式結(jié)果可知當(dāng)x1=-3/5、x2=9/10、x3=9/10即為所求解。

6.5線性方程組求解

6.5.2齊次線性方程組通解第6章對于齊次線性方程組求通解，其步驟如下：使用rank函數(shù)求出n元齊次線性方程組增廣矩陣B的秩R(B)；計(jì)算n-R(B)即可求出該齊次線性方程組通解中變量個數(shù)；使用rref函數(shù)對矩陣A進(jìn)行計(jì)算，得出齊次線性方程組的通解。6.5線性方程組求解

6.5.3非齊次線性方程組通解第6章

在求解非齊次線性方程組時需要先判斷方程組是否有解，若有解再去求通解。其步驟如下：判斷AX=b是否有解，若有解則進(jìn)行第二步；求AX=b的一個特解；求AX=0的一個通解；將AX=b的一個特解和AX=0的一個通解相加，得到AX=b的通解。6.5線性方程組求解

6.5.4MATLAB其它內(nèi)置函數(shù)求解線性方程組第6章（1）LU分解法求解

若方陣A