第頁函數(shù)專題：函數(shù)值域的6種常用求法一、函數(shù)的最大（小）值1、最大值：對于函數(shù)y＝f(x)，其定義域為D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得對于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值，即當(dāng)x＝x0時，f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的最大值，記作ymax＝f(x0)．2、最小值：對于函數(shù)y＝f(x)，其定義域為D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得對于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值，即當(dāng)x＝x0時，f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的最小值，記作ymin＝f(x0)．3、幾何意義：函數(shù)最大值對應(yīng)圖象中的最高點，最小值對應(yīng)圖象中的最低點，它們不一定只有一個．二、求函數(shù)值域的6種常用求法1、單調(diào)性法：如果一個函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性可快速求出函數(shù)的最值(值域)．（1）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．（2）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．（3）若函數(shù)y＝f(x)有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值．函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)的最大(小)值．2、圖象法：作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會考慮進行數(shù)形結(jié)合．（1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計算值域．（2）的函數(shù)值為多個函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時需將多個函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后確定靠下(或靠上)的部分為該函數(shù)的圖象，從而利用圖象求得函數(shù)的值域．3、配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.4、換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關(guān)于x的部分表達式視為一個整體，并用新元t代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進而解出最值(值域)．（1）在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍．（2）換元的作用有兩個：①通過換元可將函數(shù)解析式簡化，例如當(dāng)解析式中含有根式時，通過將根式視為一個整體，換元后即可“消滅”根式，達到簡化解析式的目的．②可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會求值域的函數(shù)進行處理5、分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù)，形如或（，至少有一個不為零）的函數(shù)，求其值域可用此法以為例，解題步驟如下：第一步，用分子配湊出分母的形式，將函數(shù)變形成的形式，第二步，求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域，進而求出的值域。6、判別式法：主要用于含有二次的分式函數(shù)，形如：將函數(shù)式化成關(guān)于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。應(yīng)用判別式法時必須考慮原函數(shù)的定義域，并且注意變形過程中的等價性。另外，此種形式還可使用分離常數(shù)法解法。題型一單調(diào)性求值域【例1】在[3，4]的最大值為（）A．2B．C．D．4【答案】A【解析】在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最大值為.故選：A【變式1-1】的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，又在時單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為，所以值域是，故選：A.【變式1-2】已知，則函數(shù)的最大值為___________，最小值為___________.【答案】；【解析】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即有當(dāng)時，，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)的最大值為，最小值為.【變式1-3】在上的最小值為______．【答案】0【解析】根據(jù)題意在上為增函數(shù)，則在上的最小值為．題型二圖象法求值域【例2】函數(shù)的值域是_________.【答案】【解析】由題意：函數(shù)，開口向上，對稱軸，畫出函數(shù)如下，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.故答案為：【變式2-1】作出下列函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的值域：（1）；（2）．【答案】（1）圖象見解析，值域為；（2）圖象見解析，值域為.【解析】（1）因為，所以圖象如下圖所示：由函數(shù)的圖象可知：函數(shù)的值域為；（2）因為，所以函數(shù)的圖象如下圖：由函數(shù)的圖象可知：函數(shù)的值域為：.【變式2-2】畫出下列函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域?值域：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）一次函數(shù)的圖形如圖所示，定義域為R，值域為R.（2）反比例函數(shù)的圖形如圖所示，定義域為，值域為.（3）一次函數(shù)的圖形如圖所示，定義域為R，值域為R.（4）二次函數(shù)的圖形如圖所示，定義域為R，值域為.【變式2-3】已知表示，，中的最大值，例如，若函數(shù)，則的最小值為（）A．2.5B．3C．4D．5【答案】B【解析】如圖：在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象，因為，所以的圖象如圖實線所示：由可得，由可得，由圖知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最小值為，故選：B.題型三配方法求值域【例3】函數(shù)的值域為_______．【答案】【解析】因為所以，所以值域為故答案為：【變式3-1】函數(shù)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是（）A．[2，11)B．[3，11)C．[1，11）D．[2，11]【答案】A【解析】，，且函數(shù)的對稱軸是直線，∴函數(shù)的值域是.故選：A.【變式3-2】的值域是__________.【答案】【解析】因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為.題型四換元法求值域【例4】函數(shù)的值域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域是，令，則，，所以，因為，所以，所以原函數(shù)的值域為．故選：D.【變式4-1】函數(shù)的值域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，當(dāng)時，，又，所以，，即所以，故選：D．【變式4-2】函數(shù)在上的值域為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，，，則，則，根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)值域為.，故選：C.【變式4-3】若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，，則．當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為，故選：B．題型五分離常數(shù)法求值域【例5】函數(shù)在區(qū)間的最大值是______．【答案】1【解析】∵函數(shù)，∴函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)∴當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，為.故答案為：.【變式5-1】函數(shù)，x∈[3，+∞）的值域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意得，，顯然函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，且最大值為，當(dāng)接近時，接近，所以的值域為.故選：D.【變式5-2】函數(shù)的最大值為___________.【答案】2【解析】由題意，當(dāng)時，可知，顯然的最大值非負，因為，所以當(dāng)取得最大值時，當(dāng)時，，令，由對號函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在的最小值為，故的最大值.【變式5-3】函數(shù)的值域是___________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，，由于，所以，且，所以且，所以函數(shù)的值域為.【變式5-4】求函數(shù)的值域.【答案】.【解析】，因，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，于是得，所以原函數(shù)的值域為.題型六判別式法求值域【例6】若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A．4B．6C．7D．8【答案】B【解析】設(shè)，，，時，，時，因為，所以，解得，即且，綜上，最大值是，最小值是，和為6．故選：B．【變式6-1】函數(shù)的最大值與最小值的和是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，則有，當(dāng)時，代入原式，解得．當(dāng)時，，由，解得，于是的最大值為，最小值為，所以函數(shù)的最大值與最小