一、前言分式是初中代數(shù)的核心內(nèi)容之一，是整式運(yùn)算的延伸，也是解分式方程、分式應(yīng)用題的基礎(chǔ)。本套測(cè)試題涵蓋分式的定義與基本性質(zhì)、約分與通分、分式運(yùn)算（加減乘除、乘方）、分式方程及應(yīng)用等核心知識(shí)點(diǎn)，注重基礎(chǔ)鞏固與能力提升，適合初中學(xué)生單元復(fù)習(xí)或教師教學(xué)參考。二、分式單元測(cè)試題（一）選擇題（每題3分，共30分）1.下列代數(shù)式中，屬于分式的是（）A.$\dfrac{x}{2}$B.$\dfrac{2}{x}$C.$\dfrac{x+1}{π}$D.$\dfrac{2x+1}{3}$2.分式$\dfrac{1}{x-2}$有意義的條件是（）A.$x>2$B.$x<2$C.$x≠2$D.$x=2$3.分式$\dfrac{x^2-4}{x+2}$的值為0的條件是（）A.$x=2$B.$x=-2$C.$x=±2$D.$x≠-2$4.下列分式變形正確的是（）A.$\dfrac{a}=\dfrac{a+1}{b+1}$B.$\dfrac{a}=\dfrac{am}{bm}$（$m≠0$）C.$\dfrac{a}=\dfrac{a^2}{b^2}$D.$\dfrac{a}=\dfrac{-a}$5.化簡(jiǎn)$\dfrac{x^2-1}{x+1}·\dfrac{x}{x-1}$的結(jié)果是（）A.$x$B.$x+1$C.$\dfrac{x}{x+1}$D.$\dfrac{x}{x-1}$6.分式方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x}$的增根可能是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=0$或$x=1$D.無(wú)增根7.計(jì)算$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x}$的結(jié)果是（）A.$\dfrac{1}{3x}$B.$\dfrac{3}{2x}$C.$\dfrac{1}{2x^2}$D.$\dfrac{3}{2x}$8.若$x+\dfrac{1}{x}=3$，則$x^2+\dfrac{1}{x^2}$的值為（）A.5B.7C.9D.119.甲單獨(dú)完成一項(xiàng)工程需$x$天，乙單獨(dú)完成需$x+5$天，兩人合作3天完成工程的$\dfrac{1}{2}$，則列方程為（）A.$3(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5})=\dfrac{1}{2}$B.$\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{x+5}=1$C.$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{2}$D.$3(x+x+5)=\dfrac{1}{2}$10.若分式$\dfrac{x+3}{x-1}$的值為整數(shù)，則整數(shù)$x$的取值有（）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)（二）填空題（每題3分，共15分）11.約分$\dfrac{x^2-4}{2x-4}$的結(jié)果是________。12.分式$\dfrac{1}{x-1}$與$\dfrac{1}{x^2-1}$的最簡(jiǎn)公分母是________。13.計(jì)算$(\dfrac{a^2})^3$的結(jié)果是________。14.若分式方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{a}{x}+1$的解為$x=2$，則$a=$________。15.觀察規(guī)律：$\dfrac{1}{1×2}=1-\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2×3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{3×4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$，…，則$\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+…+\dfrac{1}{n(n+1)}=$________。（三）解答題（共55分）16.（8分）計(jì)算：$(1-\dfrac{1}{x+1})÷\dfrac{x}{x^2-1}$。17.（10分）化簡(jiǎn)求值：$\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}÷\dfrac{x+2}{x-1}×\dfrac{x-2}{x}$，其中$x=3$。18.（10分）解分式方程：$\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{3}{x}$。19.（12分）A、B兩地相距120千米，甲騎自行車(chē)從A地出發(fā)，速度為20千米/時(shí)；乙騎摩托車(chē)從B地出發(fā)，速度為甲的2倍，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，多少小時(shí)后相遇？（列分式方程解答）20.（15分）已知$|x-2|+(y+1)^2=0$，求代數(shù)式$(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})÷\dfrac{2y}{x^2+2xy+y^2}$的值。三、詳細(xì)解析（一）選擇題解析1.答案：B解析：分式的定義是“分母含有未知數(shù)的代數(shù)式”。選項(xiàng)A、C、D的分母均為常數(shù)（π是常數(shù)），只有B的分母含未知數(shù)$x$，故選B。2.答案：C解析：分式有意義的條件是分母不為0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$，故選C。3.答案：A解析：分式值為0的條件是分子為0且分母不為0。分子$x^2-4=0$解得$x=±2$，分母$x+2≠0$解得$x≠-2$，故$x=2$，選A。4.答案：B解析：分式的基本性質(zhì)是“分子分母同乘（或除以）同一個(gè)不為0的整式，分式值不變”。A選項(xiàng)分子分母加1，不符合；C選項(xiàng)分子分母平方，不符合；D選項(xiàng)符號(hào)錯(cuò)誤（應(yīng)為$\dfrac{a}=-\dfrac{-a}$）；B選項(xiàng)$m≠0$，符合基本性質(zhì)，選B。5.答案：A解析：先因式分解，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，則原式$=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}·\dfrac{x}{x-1}=x$（約分后），選A。6.答案：C解析：增根是分式方程化為整式方程后，使原分母為0的解。原方程分母為$x-1$和$x$，故增根可能為$x=0$或$x=1$，選C。7.答案：B解析：同分母分式相加，分母不變，分子相加。$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x}=\dfrac{2}{2x}+\dfrac{1}{2x}=\dfrac{3}{2x}$，選B。8.答案：B解析：將$x+\dfrac{1}{x}=3$兩邊平方，得$x^2+2·x·\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=9$，即$x^2+\dfrac{1}{x^2}=9-2=7$，選B。9.答案：A解析：工程問(wèn)題中，工作效率=工作量/工作時(shí)間（設(shè)工作量為1），甲效率為$\dfrac{1}{x}$，乙效率為$\dfrac{1}{x+5}$，合作3天完成$\dfrac{1}{2}$，故方程為$3(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5})=\dfrac{1}{2}$，選A。10.答案：C解析：將分式變形為$\dfrac{x+3}{x-1}=\dfrac{(x-1)+4}{x-1}=1+\dfrac{4}{x-1}$，要使分式為整數(shù)，則$\dfrac{4}{x-1}$必為整數(shù)，故$x-1$是4的因數(shù)（±1，±2，±4），解得$x=2,0,3,-1$，共4個(gè)整數(shù)，選C。（二）填空題解析11.答案：$\dfrac{x+2}{2}$解析：分子因式分解為$(x-2)(x+2)$，分母因式分解為$2(x-2)$，約分后得$\dfrac{x+2}{2}$。12.答案：$(x-1)(x+1)$（或$x^2-1$）解析：最簡(jiǎn)公分母是各分母所有因式的最高次冪的乘積。$x-1$的因式是$(x-1)$，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，故最簡(jiǎn)公分母為$(x-1)(x+1)$。13.答案：$\dfrac{a^6}{b^3}$解析：分式乘方，分子分母分別乘方，即$(\dfrac{a^2})^3=\dfrac{(a^2)^3}{b^3}=\dfrac{a^6}{b^3}$。14.答案：2解析：將$x=2$代入方程，得$\dfrac{2}{2-1}=\dfrac{a}{2}+1$，即$2=\dfrac{a}{2}+1$，解得$a=2$。15.答案：$\dfrac{n}{n+1}$解析：規(guī)律為“裂項(xiàng)相消”，每一項(xiàng)可拆為$\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$，求和后中間項(xiàng)抵消，得$1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$。（三）解答題解析16.解：先算括號(hào)內(nèi)的部分：$1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$；再算除法（轉(zhuǎn)化為乘法）：$\dfrac{x}{x+1}÷\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac{x}{x+1}·\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}$；約分后得：$x-1$。答案：$x-1$17.解：先因式分解：$x^2-4=(x-2)(x+2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$；代入原式并轉(zhuǎn)化為乘法：$\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}·\dfrac{x-1}{x+2}·\dfrac{x-2}{x}$；約分（依次約掉$(x-2)$、$(x+2)$、$(x-2)$）：$\dfrac{x-1}{x}$；代入$x=3$，得$\dfrac{3-1}{3}=\dfrac{2}{3}$。答案：$\dfrac{2}{3}$18.解：去分母（兩邊乘$x(x-3)$，$x≠0$且$x≠3$）：$2x=3(x-3)$；展開(kāi)并移項(xiàng)：$2x=3x-9$，得$-x=-9$，$x=9$；檢驗(yàn)：將$x=9$代入原方程，左邊$\dfrac{2}{9-3}=\dfrac{1}{3}$，右邊$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$，相等，故$x=9$是原方程的解。答案：$x=9$19.解：設(shè)$t$小時(shí)后相遇，甲速度為20千米/時(shí)，乙速度為$20×2=40$千米/時(shí)；根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”，甲行駛的路程為$20t$，乙行駛的路程為$40t$；相向而行，總路程為120千米，故方程為：$20t+40t=120$；解得$t=2$。答案：2小時(shí)20.解：由$|x-2|+(y+1)^2=0$（絕對(duì)值與平方均非負(fù)），得$x-2=0$，$y+1=0$，故$x=2$，$y=-1$；化簡(jiǎn)代數(shù)式：先算括號(hào)內(nèi)的部分：$\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{2y}{(x-y)(x+y)}$；再算除法（轉(zhuǎn)化為乘法）：$\dfrac{2y}{(x-y)(x+y)}·\dfrac{x^2+2xy+y^2}{2y}$（$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$）；約分后得：$\dfrac{x+y}{x-y}$；代入$x=2$，$y=-1$，得$\dfrac{2+(-1)}{2-(-1