數(shù)學競賽根式運算專題輔導課件一、引言根式運算作為代數(shù)的基礎模塊，是數(shù)學競賽（如全國高中數(shù)學聯(lián)賽、各省預賽）的?？純?nèi)容，其考查形式涵蓋化簡求值、比較大小、解方程等，且常與因式分解、函數(shù)、不等式等知識結(jié)合。掌握根式運算的核心方法，能有效提升代數(shù)變形能力，為后續(xù)復雜問題（如三角函數(shù)、數(shù)列、數(shù)論）的解決奠定基礎。本課件將系統(tǒng)梳理根式運算的基礎知識、核心技巧與競賽題型，通過典型例題與實戰(zhàn)訓練，幫助學生建立“觀察-選擇方法-變形求解”的思維流程。二、基礎知識回顧（一）根式的定義與基本性質(zhì)1.定義：若\(a^n=b\)（\(n\)為正整數(shù)，\(n\geq2\)），則\(a\)稱為\(b\)的\(n\)次根式，記為\(a=\sqrt[n]\)。當\(n\)為奇數(shù)時，\(b\)可取任意實數(shù)，\(\sqrt[n]\)唯一；當\(n\)為偶數(shù)時，\(b\geq0\)，\(\sqrt[n]\)為非負數(shù)（算術(shù)根）。2.基本性質(zhì)（\(a\geq0,b\geq0\)，\(m,n\)為正整數(shù)）：\(\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\)；\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]\)；\(\sqrt[n]{\frac{a}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]}\)（\(b\neq0\)）；\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)。（二）最簡根式與同類根式1.最簡根式：滿足以下條件的根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；分母中不含根號。2.同類根式：化成最簡根式后，被開方數(shù)相同、根指數(shù)相同的根式（如\(\sqrt{2}\)與\(3\sqrt{2}\)，\(\sqrt[3]{5}\)與\(2\sqrt[3]{5}\)）。（三）有理化因式若兩個根式的乘積為有理數(shù)，則互為有理化因式。常見有理化因式：\(\sqrt{a}\)與\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）；\(a\sqrt+c\sqrtok2wcqi\)與\(a\sqrt-c\sqrtqbwat2l\)（\(b,d\geq0\)）；\(\sqrt[n]{a^m}\)與\(\sqrt[n]{a^{n-m}}\)（\(a\geq0\)，\(0<m<n\)）。三、核心方法技巧（一）分母有理化：逐層拆解，消除根號原理：利用平方差公式（\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)）將分母中的根號轉(zhuǎn)移到分子，使分母為有理數(shù)。步驟：1.若分母為單根號（如\(\sqrt{a}\)），乘以\(\sqrt{a}\)；2.若分母為多根號（如\(a\sqrt+c\sqrtuk1zcdj\)），乘以其共軛根式（\(a\sqrt-c\sqrtyy0yk2z\)）；3.若分母含多層根號，先化簡根號內(nèi)的式子（如配平方），再有理化。例1：分母有理化\(\frac{1}{\sqrt{7}+2\sqrt{3}}\)。解：分母的共軛根式為\(\sqrt{7}-2\sqrt{3}\)，乘以分子分母：\[\frac{1\cdot(\sqrt{7}-2\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+2\sqrt{3})(\sqrt{7}-2\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{7}-2\sqrt{3}}{7-(2\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{7}-2\sqrt{3}}{7-12}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}{5}.\]（二）分子有理化：轉(zhuǎn)化形式，簡化運算原理：與分母有理化類似，將分子中的根號轉(zhuǎn)移到分母，常用于比較大小或化簡分式（如\(\sqrt{a}-\sqrt\)轉(zhuǎn)化為\(\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt}\)）。例2：比較\(\sqrt{15}-\sqrt{14}\)與\(\sqrt{14}-\sqrt{13}\)的大小。解：分子有理化：\[\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{15-14}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}},\]\[\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}.\]由于\(\sqrt{15}+\sqrt{14}>\sqrt{14}+\sqrt{13}\)，故\(\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}<\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}\)，即\(\sqrt{15}-\sqrt{14}<\sqrt{14}-\sqrt{13}\)。（三）配方法：將根號內(nèi)式子化為平方形式原理：對于形如\(\sqrt{a\pm2\sqrt}\)的根式，若存在\(m,n\)使得\(m+n=a\)且\(mn=b\)，則\(\sqrt{a\pm2\sqrt}=\sqrt{m}\pm\sqrt{n}\)（注意符號：若為“+”，則\(\sqrt{m}+\sqrt{n}\)；若為“-”，則\(\sqrt{m}-\sqrt{n}\)，且\(\sqrt{m}>\sqrt{n}\)）。例3：化簡\(\sqrt{13-2\sqrt{42}}\)。解：尋找\(m,n\)滿足\(m+n=13\)，\(mn=42\)，解得\(m=7\)，\(n=6\)（因\(7+6=13\)，\(7\times6=42\)）。故：\[\sqrt{13-2\sqrt{42}}=\sqrt{7-2\sqrt{42}+6}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}.\]（四）換元法：用變量替換簡化復雜根式原理：對于含多個根號的式子，設變量替換（如設\(t=\sqrt{a}+\sqrt\)或\(t=\sqrt{\frac{a}}\)），將根式轉(zhuǎn)化為整式運算。例4：化簡\(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\)。解：設\(a=\sqrt{6}\)，\(b=\sqrt{2}\)，則式子變?yōu)閈(\frac{a+b}{a-b}\)。分子分母同乘以\(a+b\)：\[\frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{6-2}=\frac{6+2\sqrt{12}+2}{4}=\frac{8+4\sqrt{3}}{4}=2+\sqrt{3}.\]（五）對稱性法：利用對稱式簡化運算原理：對于形如\(x+\frac{1}{x}\)、\(x^2+\frac{1}{x^2}\)的對稱式，若\(x\)為根式（如\(x=\sqrt{a}+1\)），則\(1/x\)通常是\(x\)的有理化因式，相加/平方后根號可抵消。例5：已知\(x=\sqrt{3}-1\)，求\(x^2+2x+1\)的值。解：觀察式子，\(x^2+2x+1=(x+1)^2\)，代入\(x=\sqrt{3}-1\)：\[(x+1)^2=(\sqrt{3}-1+1)^2=(\sqrt{3})^2=3.\]（六）設元法：解根式方程的常用技巧原理：對于含多個根式的方程（如\(\sqrt{ax+b}\pm\sqrt{cx+d}=e\)），設變量替換（如設\(a=\sqrt{ax+b}\)，\(b=\sqrt{cx+d}\)），將方程轉(zhuǎn)化為整式方程組。例6：解方程\(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-1}=3\)。解：設\(a=\sqrt{2x+1}\)，\(b=\sqrt{x-1}\)，則：\[\begin{cases}a+b=3,\\a^2=2x+1,\\b^2=x-1.\end{cases}\]由\(a^2-2b^2=(2x+1)-2(x-1)=3\)，聯(lián)立\(a=3-b\)，代入得：\[(3-b)^2-2b^2=3\implies9-6b+b^2-2b^2=3\implies-b^2-6b+6=0\impliesb^2+6b-6=0.\]解得\(b=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2}=-3\pm\sqrt{15}\)。因\(b=\sqrt{x-1}\geq0\)，故\(b=-3+\sqrt{15}\)（舍去負根）。則\(x-1=b^2=(-3+\sqrt{15})^2=9-6\sqrt{15}+15=24-6\sqrt{15}\)，故\(x=25-6\sqrt{15}\)？等一下，這里可能算錯了，換一種方法：移項得\(\sqrt{2x+1}=3-\sqrt{x-1}\)，兩邊平方得\(2x+1=9-6\sqrt{x-1}+x-1\)，化簡得\(2x+1=x+8-6\sqrt{x-1}\)，即\(x-7=-6\sqrt{x-1}\)，兩邊平方得\(x^2-14x+49=36(x-1)\)，\(x^2-14x+49=36x-36\)，\(x^2-50x+85=0\)，解得\(x=\frac{50\pm\sqrt{2500-340}}{2}=\frac{50\pm\sqrt{2160}}{2}=\frac{50\pm12\sqrt{15}}{2}=25\pm6\sqrt{15}\)。驗證：\(x=25+6\sqrt{15}\)時，\(\sqrt{x-1}=\sqrt{24+6\sqrt{15}}>\sqrt{24}>4\)，\(\sqrt{2x+1}>\sqrt{50}>7\)，和大于3，舍去；\(x=25-6\sqrt{15}\)時，\(\sqrt{x-1}=\sqrt{24-6\sqrt{15}}=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-2\times3\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{(3\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}\)？不對，直接計算數(shù)值：\(6\sqrt{15}\approx6\times3.872=23.232\)，\(25-23.232=1.768\)，\(x=1.768\)，\(\sqrt{2x+1}=\sqrt{3.536+1}=\sqrt{4.536}\approx2.13\)，\(\sqrt{x-1}=\sqrt{0.768}\approx0.876\)，和為\(2.13+0.876=3.006\approx3\)，符合條件，所以解為\(x=25-6\sqrt{15}\)。四、典型例題解析例7（聯(lián)賽真題）：化簡\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}\)（\(n\)為正整數(shù)）。思路：先通分根號內(nèi)的式子，再嘗試配平方。解：通分得：\[1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^2(n+1)^2+(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}.\]分子展開：\[n^2(n^2+2n+1)+(n^2+2n+1)+n^2=n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1+n^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1.\]觀察分子，嘗試配平方：\[n^4+2n^3+3n^2+2n+1=(n^2+n+1)^2\quad(\text{展開驗證：}(n^2+n+1)^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1).\]故原式化簡為：\[\sqrt{\frac{(n^2+n+1)^2}{n^2(n+1)^2}}=\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}.\]例8（預賽真題）：解方程\(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=1\)。思路：移項后平方，注意驗根。解：移項得\(\sqrt{x+3}=\sqrt{x-1}+1\)，兩邊平方：\[x+3=(x-1)+2\sqrt{x-1}+1\impliesx+3=x+2\sqrt{x-1}\implies3=2\sqrt{x-1}.\]兩邊平方得\(9=4(x-1)\impliesx-1=\frac{9}{4}\impliesx=\frac{13}{4}\)。驗根：代入\(x=\frac{13}{4}\)，\(\sqrt{\frac{13}{4}+3}-\sqrt{\frac{13}{4}-1}=\sqrt{\frac{25}{4}}-\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1\)，符合條件，故解為\(x=\frac{13}{4}\)。五、實戰(zhàn)訓練與答案訓練題1.分母有理化：\(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)；2.分子有理化比較大?。篭(\sqrt{21}-\sqrt{20}\)與\(\sqrt{20}-\sqrt{19}\)；3.配方法化簡：\(\sqrt{29-12\sqrt{5}}\)；4.換元法化簡：\(\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}\)；5.對稱性化簡：已知\(x=\sqrt{2}+2\)，求\(x-\frac{1}{x}\)的值；6.設元法解方程：\(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}=1\)。答案與解析1.\(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\)（提示：乘以共軛根式\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)）；2.\(\sqrt{21}-\sqrt{20}<\sqrt{20}-\sqrt{19}\)（提示：分子有理化后比較分母）；3.\(3\sqrt{5}-2\)（提示：\(29-12\sqrt{5}=(3\sqrt{5})^2-2\times3\sqrt{5}\times2+2^2=(3\sqrt{5}-2)^2\)）；4.\(2+\sqrt{15}\)（提示：分子分母同乘以\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)）；5.\(2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\)？不對