5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(一)教材梳理填空1．幾種常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)012x3x2[微思考]

常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0說明什么？提示：說明常數(shù)函數(shù)f(x)＝c圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0，即每一點(diǎn)處的切線都平行(或重合)于x軸．2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式αxα－1cosx－sinxaxlnaex4．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)＝_________.解析：由圖象的信息可知f(5)＋f′(5)＝(－5＋8)＋(－1)＝2.答案：2[方法技巧]求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的常見類型及解題技巧(1)對(duì)于分式中分子、分母為齊次結(jié)構(gòu)的函數(shù)，可考慮通過裂項(xiàng)為和差形式．(2)對(duì)于根式型函數(shù)，可考慮進(jìn)行有理化變形．(3)對(duì)于多個(gè)整式乘積形式的函數(shù)，可考慮展開，化為和差形式．(4)對(duì)于三角函數(shù)，可考慮恒等變形，使函數(shù)的種類減少，次數(shù)降低，結(jié)構(gòu)盡量簡(jiǎn)單，從而便于求導(dǎo)．

[方法技巧]解決有關(guān)切線問題的關(guān)注點(diǎn)(1)此類問題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素．其他的條件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系．(2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務(wù)必做到準(zhǔn)確．(3)分清已知點(diǎn)是否在曲線上，若不在曲線上，則要設(shè)出切點(diǎn)，這是解題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)．

【對(duì)點(diǎn)練清】已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)．(1)求過點(diǎn)P，Q的曲線y＝x2的切線方程；(2)求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．題型三導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用

【學(xué)透用活】[典例3]已知兩條曲線y＝sinx，y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處，兩條曲線的切線互相垂直？請(qǐng)說明理由．[解]

由于y＝sinx，y＝cosx，設(shè)這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)為P(x0，y0)，∴兩條曲線在P(x0，y0)處的斜率分別為k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使兩條切線互相垂直，必須cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，這是不可能的．∴兩條曲線不存在公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處，兩條曲線的切線互相垂直．[方法技巧]導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用的解題技巧(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義為導(dǎo)數(shù)和解析幾何的溝通搭建了橋梁，很多綜合問題我們可以數(shù)形結(jié)合，巧妙利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即切線的斜率建立相應(yīng)的未知參數(shù)的方程來解決，這是解決問題的關(guān)鍵所在．(2)導(dǎo)數(shù)作為重要的解題工具，常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、不等式等知識(shí)結(jié)合出現(xiàn)綜合大題．遇到一些與距離、面積相關(guān)的最值、不等式恒成立等問題，可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析．

2．當(dāng)常數(shù)k為何值時(shí)，直線y＝x與曲線y＝x2＋k相切？請(qǐng)求出切點(diǎn)．二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．不飽和食鹽溶液蒸發(fā)到一定程度時(shí)，會(huì)慢慢析出氯化鈉晶體．已知氯化鈉晶體為立方體形狀，當(dāng)立方體的棱長(zhǎng)x變化時(shí)，其體積關(guān)于x的變化率是立方體表面積的多少？三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維3．若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質(zhì)．下列函數(shù)具有T性質(zhì)的是

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