一元二次方程應(yīng)用題分類(lèi)詳解與練習(xí)冊(cè)引言一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的核心工具之一，其應(yīng)用題緊密聯(lián)系實(shí)際生活（如經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、利潤(rùn)計(jì)算、圖形面積、行程規(guī)劃等），旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力——將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程并求解的能力。本文將一元二次方程應(yīng)用題分為六大類(lèi)，每類(lèi)均包含題型特征、核心等量關(guān)系、解題步驟、典型例題、易錯(cuò)點(diǎn)提醒及針對(duì)性練習(xí)，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握各類(lèi)問(wèn)題的解決方法，提升解題準(zhǔn)確性與效率。一、增長(zhǎng)率（下降率）問(wèn)題1.題型特征涉及連續(xù)增長(zhǎng)或連續(xù)下降的情境（如人口增長(zhǎng)、商品降價(jià)、企業(yè)利潤(rùn)變化等），要求求增長(zhǎng)率、下降率或最終量。2.核心等量關(guān)系增長(zhǎng)模型：\(最終量=初始量\times(1+增長(zhǎng)率)^n\)（\(n\)為增長(zhǎng)次數(shù)，如2020年到2022年為2次增長(zhǎng)）；下降模型：\(最終量=初始量\times(1-下降率)^n\)（\(n\)為下降次數(shù)）。3.解題步驟（1）設(shè)增長(zhǎng)率（或下降率）為\(x\)；（2）根據(jù)等量關(guān)系列方程；（3）解方程（注意平方數(shù)的合理性）；（4）檢驗(yàn)解的實(shí)際意義（增長(zhǎng)率\(0<x<1\)，下降率\(0<x<1\)）；（5）作答。4.典型例題例1：某公司2020年凈利潤(rùn)100萬(wàn)元，2022年凈利潤(rùn)144萬(wàn)元，求年平均增長(zhǎng)率。解：設(shè)年增長(zhǎng)率為\(x\)，則\(100(1+x)^2=144\)，解得\(x=0.2\)（即20%）。例2：某手機(jī)原價(jià)2000元，兩次降價(jià)后售價(jià)1620元，求平均每次降價(jià)率。解：設(shè)降價(jià)率為\(x\)，則\(2000(1-x)^2=1620\)，解得\(x=0.1\)（即10%）。5.易錯(cuò)點(diǎn)提醒次數(shù)易錯(cuò)：如2019年到2023年為4次增長(zhǎng)，而非3次；符號(hào)易錯(cuò)：增長(zhǎng)用“+”，下降用“-”，不要混淆；檢驗(yàn)必做：舍去負(fù)解或超過(guò)1的解。6.針對(duì)性練習(xí)基礎(chǔ)題（1）某城市2019年人口500萬(wàn)，2021年人口551.25萬(wàn)，求年平均增長(zhǎng)率；（2）某商品原價(jià)100元，一次降價(jià)后售價(jià)81元，求降價(jià)百分率。提升題（3）某企業(yè)2020年銷(xiāo)售額200萬(wàn)元，2021年增長(zhǎng)\(x\)，2022年增長(zhǎng)\(2x\)，2022年銷(xiāo)售額288萬(wàn)元，求\(x\)；（4）某房產(chǎn)2018年價(jià)值120萬(wàn)元，2019年升值8%，2020年貶值\(x\)，2020年價(jià)值117.6萬(wàn)元，求\(x\)。二、利潤(rùn)問(wèn)題1.題型特征涉及成本、售價(jià)、銷(xiāo)量、利潤(rùn)的關(guān)系，要求求售價(jià)、銷(xiāo)量或利潤(rùn)的最大值/特定值。2.核心等量關(guān)系單利潤(rùn)=售價(jià)-單位成本；總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×銷(xiāo)量；銷(xiāo)量變化：售價(jià)每漲（降）1元，銷(xiāo)量減（增）\(k\)件，則銷(xiāo)量=基礎(chǔ)銷(xiāo)量±\(k\times\)售價(jià)變化量。3.解題步驟（1）設(shè)售價(jià)漲（降）了\(x\)元；（2）用\(x\)表示單利潤(rùn)和銷(xiāo)量；（3）根據(jù)總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×銷(xiāo)量列方程；（4）解方程并檢驗(yàn)（售價(jià)≥成本，銷(xiāo)量≥0）；（5）作答。4.典型例題例3：某商品成本40元，售價(jià)60元時(shí)銷(xiāo)量300件，售價(jià)每漲1元銷(xiāo)量減10件，求利潤(rùn)最大時(shí)的售價(jià)。解：設(shè)漲了\(x\)元，利潤(rùn)\(y=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000\)，頂點(diǎn)\(x=5\)，售價(jià)65元，最大利潤(rùn)6250元。例4：某商品成本30元，售價(jià)50元時(shí)銷(xiāo)量50件，售價(jià)每降2元銷(xiāo)量增10件，求利潤(rùn)為1200元時(shí)的售價(jià)。解：設(shè)降了\(x\)元，利潤(rùn)\((20-x)(50+5x)=1200\)，化簡(jiǎn)得\(x2-10x+20=0\)，解得\(x=5±\sqrt{5}\)，售價(jià)約42.76元或57.24元。5.易錯(cuò)點(diǎn)提醒銷(xiāo)量變化方向：漲價(jià)→銷(xiāo)量減（用“-”），降價(jià)→銷(xiāo)量增（用“+”）；單利潤(rùn)計(jì)算：售價(jià)-成本，不要用總成本；利潤(rùn)最大值：二次函數(shù)頂點(diǎn)處取得，需確認(rèn)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否符合實(shí)際。6.針對(duì)性練習(xí)基礎(chǔ)題（1）某商品成本50元，售價(jià)80元時(shí)銷(xiāo)量100件，售價(jià)每漲1元銷(xiāo)量減5件，求利潤(rùn)為2250元時(shí)的售價(jià)；（2）某商品成本30元，售價(jià)50元時(shí)銷(xiāo)量50件，售價(jià)每降2元銷(xiāo)量增10件，求利潤(rùn)最大值。提升題（3）某服裝成本40元，售價(jià)60元時(shí)銷(xiāo)量30件，售價(jià)每漲1元銷(xiāo)量減2件且需多付1元廣告費(fèi)，求利潤(rùn)最大值；（4）某商品成本20元，售價(jià)30元時(shí)銷(xiāo)量100件，售價(jià)每漲1元銷(xiāo)量減5件，求利潤(rùn)不低于2000元的售價(jià)范圍。三、面積問(wèn)題1.題型特征涉及圖形（長(zhǎng)方形、正方形、圓形等）的面積計(jì)算，要求求邊長(zhǎng)、半徑或面積的最大值/特定值。2.核心等量關(guān)系長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬；正方形面積=邊長(zhǎng)2；圓形面積=\(\pir2\)；組合圖形面積=各部分面積之和/差。3.解題步驟（1）設(shè)圖形的邊長(zhǎng)、半徑或變化量為\(x\)；（2）用\(x\)表示圖形的長(zhǎng)、寬、半徑等；（3）根據(jù)面積公式列方程；（4）解方程并檢驗(yàn)（邊長(zhǎng)、半徑>0）；（5）作答。4.典型例題例5：用30米籬笆圍長(zhǎng)方形菜園（一邊靠墻），求面積最大值。解：設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為\(x\)，面積\(x(30-2x)=-2x2+30x\)，頂點(diǎn)\(x=7.5\)，面積112.5平方米。例6：正方形花壇邊長(zhǎng)8米，周?chē)迣抃(x\)的小路，小路面積24平方米，求\(x\)。解：\((8+2x)2-82=24\)，化簡(jiǎn)得\(x2+8x-6=0\)，解得\(x=-4±\sqrt{22}\)，取正解\(x≈1.69\)米。5.易錯(cuò)點(diǎn)提醒圖形邊長(zhǎng)表達(dá)：靠墻圍長(zhǎng)方形時(shí)，平行于墻的邊長(zhǎng)=籬笆長(zhǎng)-2×垂直邊長(zhǎng)；組合圖形面積：如小路面積=外面積-內(nèi)面積，不要算反；最大值條件：二次函數(shù)頂點(diǎn)處取得，需確認(rèn)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否符合圖形存在條件。6.針對(duì)性練習(xí)基礎(chǔ)題（1）長(zhǎng)方形長(zhǎng)比寬多2米，面積35平方米，求長(zhǎng)和寬；（2）用20米籬笆圍正方形菜園，求面積。提升題（3）邊長(zhǎng)8米的正方形紙板剪去四個(gè)小正方形做無(wú)蓋盒子，求小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)體積最大；（4）圓形花壇半徑5米，周?chē)迣抃(x\)的小路，小路面積24π平方米，求\(x\)。四、行程問(wèn)題1.題型特征涉及路程、速度、時(shí)間的關(guān)系，常見(jiàn)類(lèi)型有相遇、追及、變速運(yùn)動(dòng)。2.核心等量關(guān)系路程=速度×?xí)r間（\(s=vt\)）；相遇問(wèn)題：\(s_1+s_2=s_{總}(cāng)\)；追及問(wèn)題：\(s_快-s_慢=s_{初始}\)；變速運(yùn)動(dòng)：\(t_1+t_2=t_{總}(cāng)\)，\(s_1+s_2=s_{總}(cāng)\)。3.解題步驟（1）設(shè)速度、時(shí)間或路程為\(x\)；（2）用\(x\)表示路程、時(shí)間；（3）根據(jù)核心等量關(guān)系列方程；（4）解方程并檢驗(yàn)（速度、時(shí)間>0）；（5）作答。4.典型例題例7：甲、乙相距100千米，相向而行，甲速度20千米/小時(shí)，乙速度30千米/小時(shí)，求相遇時(shí)間。解：相遇時(shí)間=100÷(20+30)=2小時(shí)。例8：某車(chē)前3小時(shí)以60千米/小時(shí)行駛，后2小時(shí)以80千米/小時(shí)行駛，求平均速度。解：總路程=3×60+2×80=340千米，平均速度=340÷5=68千米/小時(shí)。5.易錯(cuò)點(diǎn)提醒相遇問(wèn)題：總路程=兩人路程和，不要漏掉其中一人的路程；追及問(wèn)題：路程差=初始距離，不要搞反快慢的路程；變速運(yùn)動(dòng)：時(shí)間=路程/速度，不要混淆路程和速度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。6.針對(duì)性練習(xí)基礎(chǔ)題（1）甲比乙早出發(fā)1小時(shí)，甲速度15千米/小時(shí)，乙速度20千米/小時(shí)，求乙追上甲的時(shí)間；（2）甲、乙相向而行，甲速度30千米/小時(shí)，乙速度20千米/小時(shí)，相遇時(shí)甲比乙多走10千米，求總路程。提升題（3）某車(chē)從A到B，前半段速度60千米/小時(shí)，后半段速度40千米/小時(shí)，總時(shí)間5小時(shí)，求AB距離；（4）順流速度20千米/小時(shí)，逆流速度16千米/小時(shí)，求靜水速度和水流速度。五、數(shù)字問(wèn)題1.題型特征涉及兩位數(shù)、三位數(shù)的數(shù)字組成，要求求數(shù)字或數(shù)的大小，常見(jiàn)類(lèi)型有數(shù)字位置交換、數(shù)字和/差。2.核心等量關(guān)系兩位數(shù)=十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)=百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字；數(shù)字交換后的數(shù)：兩位數(shù)交換后為\(10b+a\)（\(a\)十位，\(b\)個(gè)位）。3.解題步驟（1）設(shè)十位、個(gè)位或百位數(shù)字為\(x\)；（2）用\(x\)表示原數(shù)和新數(shù)；（3）根據(jù)題意列方程；（4）解方程并檢驗(yàn)（數(shù)字為0-9的整數(shù)，十位/百位數(shù)字≥1）；（5）作答。4.典型例題例9：兩位數(shù)數(shù)字和為9，原數(shù)比新數(shù)大27，求原數(shù)。解：設(shè)十位為\(x\)，個(gè)位為9-x，原數(shù)\(10x+9-x=9x+9\)，新數(shù)\(10(9-x)+x=90-9x\)，方程\(9x+9-(90-9x)=27\)，解得\(x=6\)，原數(shù)63。例10：三位數(shù)百位1，十位\(x\)，個(gè)位\(y\)，\(x+y=10\)，原數(shù)加新數(shù)（交換百位和個(gè)位）等于1333，求原數(shù)。解：原數(shù)\(100+10x+y\)，新數(shù)\(100y+10x+1\)，和為\(101+20x+101y=1333\)，代入\(y=10-x\)，解得\(x=3\)，\(y=7\)，原數(shù)137。5.易錯(cuò)點(diǎn)提醒數(shù)字范圍：十位/百位數(shù)字不能為0，個(gè)位數(shù)字可以為0；方程建立：正確建立原數(shù)和新數(shù)的關(guān)系，不要搞反；整數(shù)解：數(shù)字必須是整數(shù)，解出的小數(shù)要舍去。6.針對(duì)性練習(xí)基礎(chǔ)題（1）兩位數(shù)數(shù)字和為8，原數(shù)比新數(shù)大18，求原數(shù)；（2）三位數(shù)百位2，十位0，個(gè)位\(x\)，原數(shù)加新數(shù)（交換百位和個(gè)位）等于1222，求原數(shù)。提升題（3）兩位數(shù)個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，原數(shù)的平方等于新數(shù)的4倍，求原數(shù)；（4）三位數(shù)百位是個(gè)位的3倍，十位是0，原數(shù)加新數(shù)等于1333，求原數(shù)。六、傳染問(wèn)題1.題型特征涉及一傳多的傳播模式（如病毒傳染、謠言傳播），要求求傳染率。2.核心等量關(guān)系總?cè)藬?shù)=初始人數(shù)×(1+傳染率)^輪次。3.解題步驟（1）設(shè)每人每輪傳染\(x\)人；（2）根據(jù)等量關(guān)系列方程；（3）解方程并檢驗(yàn)（傳染率>0）；（4）作答。4.典型例題例11：1人傳染\(x\)人，兩輪后64人感染，求\(x\)。解：方程\((1+x)^2=64\)，解得\(x=7\)。例12：社區(qū)1000人，1人患新冠，三輪后感染人數(shù)超過(guò)1000，求\(x\)的最小值。解：方程\((1+x)^3>1000\)，解得\(x>9\)，最小值10。5.易錯(cuò)點(diǎn)提醒輪次計(jì)算：一輪后人數(shù)是1+x，二輪后是(1+x)^2，不要算錯(cuò)輪次；總?cè)藬?shù)：包括初始的人，不要漏掉；傳染率：傳染率是正數(shù)，不能為負(fù)。6.針對(duì)性練習(xí)基礎(chǔ)題（1）1人傳染\(x\)人，一輪后10人感染，求\(x\)；（2）1人傳染\(x\)人，三輪后81人感染，求\(x\)。提升題（3）某病毒初期，每人傳染\(x\)人，一輪后\(a\)人感染，二輪后\(b\)人感染，求\(x\)（用\(a\)、\(b\)表示）；（4）社區(qū)500人，1人患流感，兩輪后全班感染，求\(x\)（精確到0.1）。七、綜合練習(xí)1.選擇題（1）某商品原價(jià)100元，兩次降價(jià)后售價(jià)81元，平均每次降價(jià)率為（）A.10%B.19%C.20%D.21%（2）長(zhǎng)方形長(zhǎng)比寬多3米，面積28平方米，寬為（）A.4米B.5米C.6米D.7米（3）甲、乙相距200千米，相向而行，甲速度30千米/小時(shí)，乙速度20千米/小時(shí)，相遇時(shí)間為（）A.2小時(shí)B.3小時(shí)C.4小時(shí)D.5小時(shí)2.填空題（1）某公司2020年銷(xiāo)售額100萬(wàn)元，2021年增長(zhǎng)20%，2022年增長(zhǎng)30%，2022年銷(xiāo)售額為_(kāi)_____萬(wàn)元；（2）某商品成本50元，售價(jià)80元時(shí)銷(xiāo)量100件，售價(jià)每漲1元銷(xiāo)量減5件，總利潤(rùn)最大時(shí)售價(jià)為_(kāi)_____元；（3）1人傳染\(x\)人，兩輪后64人感染，\(x=\______\)。3.解答題（1）某城市2018年人口600萬(wàn)，2020年人口661.5萬(wàn)，求年平均增長(zhǎng)率；（2）某商品成本40元，售價(jià)60元時(shí)銷(xiāo)量50件，售價(jià)每降2元銷(xiāo)量增10件，求售價(jià)為多少時(shí)總利潤(rùn)為1200元；（3）用30米籬笆圍長(zhǎng)方形菜園，一邊靠墻，求面積最大時(shí)