高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題訓(xùn)練習(xí)題集前言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿代數(shù)、幾何、概率等模塊，也是高考的重點與難點（占比約20%~25%）。本習(xí)題集圍繞函數(shù)的核心考點（基本初等函數(shù)、性質(zhì)、圖像、方程、應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)延伸），設(shè)置考點解讀（明確考向）、典型例題（提煉方法）、針對訓(xùn)練（分層鞏固）三個板塊，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固基礎(chǔ)知識，掌握解題策略，提升綜合應(yīng)用能力。專題一：基本初等函數(shù)考點解讀基本初等函數(shù)是函數(shù)體系的“基石”，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。高考主要考查：定義域、值域的求解（如偶次根號、對數(shù)真數(shù)的限制）；圖像特征（如指數(shù)函數(shù)“過(0,1)”、對數(shù)函數(shù)“過(1,0)”）；單調(diào)性、奇偶性的判斷（如冪函數(shù)$y=x^\alpha$的單調(diào)性與$\alpha$符號的關(guān)系）；復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)（如$y=\log_2(x^2-2x)$的定義域與單調(diào)性）。典型例題例1：定義域求解求函數(shù)$f(x)=\sqrt{x-1}+\log_2(3-x)$的定義域。解答：要使函數(shù)有意義，需滿足：1.偶次根號限制：$x-1\geq0\Rightarrowx\geq1$；2.對數(shù)真數(shù)限制：$3-x>0\Rightarrowx<3$。取交集得定義域為$[1,3)$（區(qū)間表示，符合規(guī)范）。思路點撥：定義域是函數(shù)的“生存空間”，需逐一分析各部分的限制條件（分式分母≠0、偶次根號≥0、對數(shù)真數(shù)>0等），最后取交集。例2：值的大小比較比較$2^{0.3}$、$0.3^2$、$\log_20.3$的大小。解答：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：$2^{0.3}>2^0=1$（$a>1$時，指數(shù)越大值越大）；冪函數(shù)性質(zhì)：$0.3^2=0.09<1$（正數(shù)的平方小于自身當且僅當$0<x<1$）；對數(shù)函數(shù)性質(zhì)：$\log_20.3<\log_21=0$（$a>1$時，真數(shù)<1則對數(shù)<0）。綜上，$\log_20.3<0.3^2<2^{0.3}$。思路點撥：比較不同函數(shù)值的大小，常用中間值法（如0、1）分類，再利用函數(shù)單調(diào)性細化排序。針對訓(xùn)練基礎(chǔ)題（鞏固知識點）1.求$f(x)=\frac{1}{x-2}+\sqrt{x+1}$的定義域；2.求$f(x)=2^x+1$的值域；3.比較$3^{0.4}$、$0.4^3$、$\log_30.4$的大小。提升題（綜合應(yīng)用）1.求$f(x)=\log_2(x^2-2x-3)$的定義域與單調(diào)性；2.已知冪函數(shù)$y=x^\alpha$的圖像過點$(2,\sqrt{2})$，求$\alpha$的值及函數(shù)的單調(diào)性。專題二：函數(shù)的性質(zhì)考點解讀函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)的“靈魂”，包括單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性。高考主要考查：性質(zhì)的判斷與證明（如用定義法證明單調(diào)性、奇偶性）；性質(zhì)的應(yīng)用（如利用單調(diào)性求最值、解不等式；利用奇偶性簡化計算；利用周期性求未知點函數(shù)值）。典型例題例1：奇偶性判斷判斷函數(shù)$f(x)=x^3+\sinx$的奇偶性。解答：定義域為$\mathbb{R}$（關(guān)于原點對稱）。計算$f(-x)$：$f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-(x^3+\sinx)=-f(x)$。因此，$f(x)$是奇函數(shù)。思路點撥：奇偶性判斷的“兩步走”：1.先看定義域是否關(guān)于原點對稱（否則直接非奇非偶）；2.再看$f(-x)$與$f(x)$的關(guān)系（相等則偶，相反則奇，否則非奇非偶）。例2：單調(diào)性與奇偶性結(jié)合解不等式已知$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的偶函數(shù)，且在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求不等式$f(x-1)<f(2)$的解集。解答：偶函數(shù)性質(zhì)：$f(x-1)=f(|x-1|)$（將自變量轉(zhuǎn)化為非負，利用單調(diào)性）；不等式轉(zhuǎn)化為：$f(|x-1|)<f(2)$；單調(diào)性應(yīng)用：$|x-1|<2$（單調(diào)遞增則函數(shù)值小對應(yīng)自變量?。?；解得：$-1<x<3$，解集為$(-1,3)$。思路點撥：偶函數(shù)+單調(diào)性解不等式的“技巧”：將自變量取絕對值，轉(zhuǎn)化為非負區(qū)間的單調(diào)性問題，避免討論$x-1$的正負。針對訓(xùn)練基礎(chǔ)題（鞏固知識點）1.判斷$f(x)=x^2+\cosx$的奇偶性；2.求$f(x)=x^3-3x$在$[-2,2]$上的單調(diào)性；3.已知$f(x)$是奇函數(shù)，$f(1)=2$，求$f(-1)$。提升題（綜合應(yīng)用）1.已知$f(x)$是周期為2的函數(shù)，且在$[0,1]$上單調(diào)遞增，比較$f(3.5)$與$f(1.2)$的大??；2.已知$f(x)=ax^2+bx+c$是偶函數(shù)，求$b$的值，并證明$f(x)$在$[0,+\infty)$上的單調(diào)性（$a≠0$）。專題三：函數(shù)的圖像考點解讀函數(shù)的圖像是性質(zhì)的“直觀體現(xiàn)”，高考主要考查：圖像的識別（由函數(shù)表達式選圖像，如$y=|x-1|$的圖像是“V”形）；圖像的變換（平移、伸縮、對稱，如$y=2^{x+1}$是$y=2^x$左移1個單位）；圖像的應(yīng)用（求零點、解不等式、求參數(shù)范圍，如由$f(x)$圖像與$x$軸交點個數(shù)判斷零點數(shù)）。典型例題例1：圖像變換函數(shù)$f(x)=2^{x+1}$的圖像是由$y=2^x$的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到的？解答：$y=2^x$的圖像向左平移1個單位（左加右減），得到$f(x)=2^{x+1}$的圖像。思路點撥：平移變換的“口訣”：橫坐標平移：$y=f(x+a)$（$a>0$左移，$a<0$右移）；縱坐標平移：$y=f(x)+b$（$b>0$上移，$b<0$下移）。例2：由奇偶性求函數(shù)表達式并畫圖已知$f(x)$的圖像關(guān)于$y$軸對稱，且當$x≥0$時，$f(x)=x^2-2x$，求$f(x)$的表達式并畫出圖像。解答：奇偶性分析：關(guān)于$y$軸對稱→偶函數(shù)→$f(-x)=f(x)$；當$x<0$時，$-x>0$，$f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x$→$f(x)=x^2+2x$（$x<0$）；綜上，$f(x)=x^2-2|x|$（合并表達式）。圖像特征：$x≥0$時，$f(x)=(x-1)^2-1$（頂點$(1,-1)$，與$x$軸交于$(0,0)$、$(2,0)$）；$x<0$時，$f(x)=(x+1)^2-1$（頂點$(-1,-1)$，與$x$軸交于$(0,0)$、$(-2,0)$）；整體圖像關(guān)于$y$軸對稱，呈“W”形。針對訓(xùn)練基礎(chǔ)題（鞏固知識點）1.函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的圖像是由$y=\log_2x$的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到的？2.畫出$f(x)=|x+2|$的圖像；3.已知$f(x)$的圖像過點$(1,3)$，且關(guān)于原點對稱，求$f(-1)$。提升題（綜合應(yīng)用）1.描述$y=x^3$的圖像經(jīng)過怎樣的平移變換得到$g(x)=(x-2)^3+1$的圖像；2.由$y=\sinx$的圖像經(jīng)過怎樣的伸縮變換得到$y=2\sin(3x)$的圖像？專題四：函數(shù)與方程考點解讀函數(shù)與方程是“函數(shù)思想”的核心，高考主要考查：函數(shù)的零點（方程$f(x)=0$的根，如$f(x)=2^x-3$的零點是$\log_23$）；零點存在性定理（二分法，如判斷$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)是否有零點）；二次方程根的分布（如兩根都在$(0,2)$內(nèi)的條件）；函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化（如將不等式$f(x)>g(x)$轉(zhuǎn)化為$h(x)=f(x)-g(x)>0$，求$h(x)$的零點）。典型例題例1：零點個數(shù)判斷求函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的零點個數(shù)。解答：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$（導(dǎo)數(shù)法分析單調(diào)性）；單調(diào)性：$(-\infty,-1)$遞增，$(-1,1)$遞減，$(1,+\infty)$遞增；極值：$f(-1)=3$（極大值），$f(1)=-1$（極小值）；端點趨勢：$x→-\infty$時，$f(x)→-\infty$；$x→+\infty$時，$f(x)→+\infty$；零點個數(shù)：極大值>0，極小值<0→函數(shù)與$x$軸有3個交點→3個零點。思路點撥：高次函數(shù)零點個數(shù)判斷的“三步法”：1.求導(dǎo)找單調(diào)性區(qū)間；2.求極值（極大值、極小值）；3.結(jié)合端點趨勢，判斷極值與0的關(guān)系（極大值>0且極小值<0→多個零點）。例2：二次方程根的分布已知二次方程$x^2+mx+1=0$有兩個實根，且都在區(qū)間$(0,2)$內(nèi)，求$m$的取值范圍。解答：設(shè)$f(x)=x^2+mx+1$（二次函數(shù)開口向上），需滿足：1.判別式：$\Delta=m^2-4≥0$（有實根）；2.端點值：$f(0)=1>0$（左端點值>0，開口向上則左區(qū)間外無實根）；3.端點值：$f(2)=4+2m+1=5+2m>0$（右端點值>0，同理）；4.對稱軸位置：$0<-\frac{m}{2}<2$（對稱軸在區(qū)間內(nèi)，保證兩根都在區(qū)間內(nèi)）。解不等式組：$\Delta≥0$→$m≤-2$或$m≥2$；$f(2)>0$→$m>-\frac{5}{2}$；對稱軸→$-4<m<0$。綜合得$-\frac{5}{2}<m≤-2$。思路點撥：二次方程根的分布問題，需結(jié)合二次函數(shù)圖像列不等式組，核心是“限制對稱軸位置、端點函數(shù)值、判別式”。針對訓(xùn)練基礎(chǔ)題（鞏固知識點）1.求$f(x)=2^x-5$的零點；2.判斷$f(x)=x^2-3x+2$在區(qū)間$(1,2)$內(nèi)是否有零點；3.二次方程$x^2-4x+a=0$有兩個正根，求$a$的取值范圍。提升題（綜合應(yīng)用）1.求$f(x)=\lnx+x-2$的零點個數(shù)；2.已知二次方程$x^2+(a-1)x+a=0$有一個根在$(0,1)$內(nèi)，另一個根在$(1,2)$內(nèi)，求$a$的取值范圍。專題五：函數(shù)的應(yīng)用考點解讀函數(shù)的應(yīng)用是“數(shù)學(xué)建模”的重要體現(xiàn)，高考主要考查：函數(shù)模型建立（將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達式，如利潤=（售價-成本）×銷售量）；模型求解（利用函數(shù)性質(zhì)解決實際問題，如求利潤最大值、增長率問題）。常見模型：二次函數(shù)（利潤、面積優(yōu)化）；指數(shù)函數(shù)（增長率、衰減率，如人口增長、放射性物質(zhì)衰變）；對數(shù)函數(shù)（pH值、分貝，如聲音強度與分貝的關(guān)系）；冪函數(shù)（面積與邊長、體積與半徑）。典型例題例1：二次函數(shù)模型（利潤最大化）某商店銷售某種商品，每件成本5元，售價$x$元（$5<x<15$），銷售量$y$件與售價$x$的關(guān)系為$y=20-2x$，求利潤$L(x)$的最大值及對應(yīng)售價。解答：利潤公式：$L(x)=(x-5)y=(x-5)(20-2x)=-2x^2+30x-100$（二次函數(shù)，開口向下）；頂點坐標：對稱軸$x=-\frac{2a}=-\frac{30}{2×(-2)}=7.5$；最大值：$L(7.5)=-2×(7.5)^2+30×7.5-100=12.5$（元）。結(jié)論：當售價為7.5元時，利潤最大為12.5元。思路點撥：二次函數(shù)求最值的“關(guān)鍵”：開口方向（開口向下有最大值，開口向上有最小值）、頂點坐標（對稱軸處取得最值）。例2：指數(shù)函數(shù)模型（增長率問題）某城市人口為100萬，每年增長率為1.5%，求10年后的人口數(shù)（精確到萬）。解答：指數(shù)增長模型：$y=N(1+r)^t$（$N$為初始量，$r$為增長率，$t$為時間）；代入數(shù)據(jù)：$y=100×(1+0.015)^{10}$；計算：$(1.015)^{10}≈1.1605$→$y≈100×1.1605≈116$（萬）。思路點撥：增長率問題的“核心公式”：$y=N(1+r)^t$（復(fù)利計息、人口增長均適用）；衰減率問題則為$y=N(1-r)^t$（如折舊、放射性衰變）。針對訓(xùn)練基礎(chǔ)題（鞏固知識點）1.某矩形周長為20，求其面積的最大值；2.某銀行存款年利率為2%，存入1000元，復(fù)利計息，求5年后的本利和；3.某商品需求函數(shù)為$y=100-5x$（$y$為需求量，$x$為價格），成本函數(shù)為$C=50+2y$，求利潤最大時的價格。提升題（綜合應(yīng)用）1.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本1000元，每生產(chǎn)一件成本增加5元，售價10元，求產(chǎn)量為多少時利潤最大；2.某城市人口每年增長率為2%，問多少年后人口達到原來的2倍（用對數(shù)表示）。專題六：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)（選考）考點解讀導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的“利器”，高考主要考查：導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線方程，如求$f(x)$在點$(x_0,y_0)$處的切線）；利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)>0遞增，導(dǎo)數(shù)<0遞減）；利用導(dǎo)數(shù)求極值與最值（導(dǎo)數(shù)為0的點可能是極值點，端點與極值點比較得最值）；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（如證明$x>0$時，$\lnx≤x-1$）。典型例題例1：導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線方程）求函數(shù)$f(x)=x^3-3x$在點$(1,-2)$處的切線方程。解答：求導(dǎo)：$f'(x)=3x^2-3$；切線斜率：$f'(1)=3×1^2-3=0$；切線方程：點斜式$y-(-2)=0×(x-1)$→$y=-2$（水平切線）。思路點撥：切線方程的“兩步走”：1.求導(dǎo)數(shù)得切線斜率（$k=f'(x_0)$）；2.用點斜式寫方程（$y-y_0=k(x-x_0)$）。例2：導(dǎo)數(shù)求極值求函數(shù)$f(x)=x\lnx$的極值。解答：定義域：$(0,+\infty)$；求導(dǎo)：$f'(x)=\lnx+1$；找極值點：令$f'(x)=0$→$\lnx+1=0$→$x=\frac{1}{e}$；判斷極值：當$0<x<\frac{1}{e}$時，$f'(x)<0$→$f(x)$遞減；當$x>\frac{1}{e}$時，$f'(x)>