五年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及解答引言五年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽是小學(xué)階段重要的思維訓(xùn)練活動(dòng)，旨在考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力及邏輯思維水平。競(jìng)賽題型涵蓋計(jì)算技巧、圖形問(wèn)題、應(yīng)用題、邏輯推理等多個(gè)領(lǐng)域，注重思維的發(fā)散性與解題的技巧性。本文選取五年級(jí)競(jìng)賽中典型題型，提供詳細(xì)解答及思路點(diǎn)撥，助力學(xué)生提升解題能力，備戰(zhàn)競(jìng)賽。一、計(jì)算技巧：簡(jiǎn)便運(yùn)算與裂項(xiàng)計(jì)算是競(jìng)賽的基礎(chǔ)題型，重點(diǎn)考察對(duì)運(yùn)算定律（交換律、結(jié)合律、分配律）的靈活應(yīng)用，以及特殊數(shù)列的裂項(xiàng)技巧。例1：小數(shù)簡(jiǎn)便計(jì)算題目：計(jì)算\(0.25\times12.5\times3.2\)。解答：觀察到\(0.25\times4=1\)、\(12.5\times0.8=10\)，將3.2拆分為\(4\times0.8\)，原式變形為：\[0.25\times4\times(12.5\times0.8)=1\times10=10\]思路點(diǎn)撥：利用乘法交換律與結(jié)合律，將“容易湊整”的數(shù)組合在一起（如0.25與4、12.5與0.8），簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高效率。例2：分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算題目：計(jì)算\(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}\)。解答：分母均為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積（如\(2=1\times2\)、\(6=2\times3\)），裂項(xiàng)為兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差：\[\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2},\quad\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\quad\frac{1}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},\quad\frac{1}{20}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\]代入原式后，中間項(xiàng)抵消：\[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\]思路點(diǎn)撥：裂項(xiàng)法適用于分母為連續(xù)自然數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)求和，通過(guò)裂項(xiàng)將復(fù)雜分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的差，中間項(xiàng)抵消后簡(jiǎn)化計(jì)算。二、圖形問(wèn)題：割補(bǔ)與等積變換圖形問(wèn)題考察對(duì)幾何圖形性質(zhì)的理解，常用割補(bǔ)法、等積變換將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單圖形（如長(zhǎng)方形、三角形）計(jì)算面積。例1：組合圖形陰影面積（割補(bǔ)法）題目：長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)AB=8厘米，寬BC=5厘米，E為AD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊的中點(diǎn)，連接BE、DF，求陰影部分（四邊形BEDF）的面積。解答：E、F為中點(diǎn)，故ED=AD÷2=4厘米，BF=BC÷2=4厘米。四邊形BEDF可分為兩個(gè)三角形：①三角形BED：底ED=4厘米，高AB=8厘米，面積=\(4\times8\div2=16\)平方厘米；②三角形BFD：底BF=4厘米，高CD=8厘米，面積=\(4\times8\div2=16\)平方厘米。陰影部分面積=16+16=32平方厘米？不，等一下，長(zhǎng)方形寬BC=5厘米，所以AB=8厘米（長(zhǎng)），BC=5厘米（寬），AD=BC=5厘米，所以E是AD中點(diǎn)，ED=5÷2=2.5厘米，BF=BC÷2=2.5厘米。三角形BED的高是AB=8厘米嗎？不對(duì)，應(yīng)該是從B點(diǎn)到AD邊的距離，即長(zhǎng)方形的寬BC=5厘米。哦，我之前犯了一個(gè)錯(cuò)誤，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是AB=8厘米，寬是BC=5厘米，所以AD=BC=5厘米，AB=CD=8厘米。E是AD中點(diǎn)，所以ED=AD÷2=2.5厘米；F是BC中點(diǎn)，所以BF=BC÷2=2.5厘米。三角形BED的底是ED=2.5厘米，高是AB=8厘米嗎？不，三角形的高是從頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離，三角形BED的頂點(diǎn)是B、E、D，其中E和D在AD邊上，所以底是ED=2.5厘米，高是從B點(diǎn)到AD邊的距離，即長(zhǎng)方形的寬BC=5厘米。所以三角形BED的面積=2.5×5÷2=6.25平方厘米。三角形BFD的頂點(diǎn)是B、F、D，F(xiàn)在BC邊上，所以底是BF=2.5厘米，高是從D點(diǎn)到BC邊的距離，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)AB=8厘米？不，從D點(diǎn)到BC邊的距離是長(zhǎng)方形的寬AD=5厘米。哦，我又搞反了，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是AB=8厘米（水平方向），寬是BC=5厘米（垂直方向）。所以AD=BC=5厘米（垂直邊），AB=CD=8厘米（水平邊）。E是AD中點(diǎn)，所以E點(diǎn)在AD邊的中間，距離A點(diǎn)2.5厘米，距離D點(diǎn)2.5厘米；F是BC中點(diǎn)，所以F點(diǎn)在BC邊的中間，距離B點(diǎn)2.5厘米，距離C點(diǎn)2.5厘米。連接BE、DF，四邊形BEDF的面積應(yīng)該是多少呢？讓我們用坐標(biāo)法來(lái)糾正：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，B點(diǎn)(8,0)，C點(diǎn)(8,5)，D點(diǎn)(0,5)。E是AD中點(diǎn)，坐標(biāo)(0,2.5)；F是BC中點(diǎn)，坐標(biāo)(8,2.5)。連接BE（從(8,0)到(0,2.5)）和DF（從(0,5)到(8,2.5)）。四邊形BEDF的對(duì)邊BE和DF平行嗎？是的，因?yàn)樗鼈兊男甭氏嗤築E的斜率=(2.5-0)/(0-8)=-5/16，DF的斜率=(2.5-5)/(8-0)=-2.5/8=-5/16。對(duì)邊ED和BF都是2.5厘米（ED=2.5厘米，BF=2.5厘米），平行且相等。所以四邊形BEDF是平行四邊形，面積=底×高=ED×AB=2.5×8=20平方厘米。哦，對(duì)，平行四邊形的面積=底×高，這里底是ED=2.5厘米，高是AB=8厘米（因?yàn)锳B是水平邊，平行四邊形的高就是AB的長(zhǎng)度）?；蛘哂酶钛a(bǔ)法，四邊形BEDF的面積=長(zhǎng)方形面積-三角形ABE的面積-三角形CDF的面積。長(zhǎng)方形面積=8×5=40平方厘米。三角形ABE的面積=AB×AE÷2=8×2.5÷2=10平方厘米（AE=AD÷2=2.5厘米）。三角形CDF的面積=CD×CF÷2=8×2.5÷2=10平方厘米（CF=BC÷2=2.5厘米）。所以四邊形BEDF的面積=____=20平方厘米。對(duì)，這樣才對(duì)，之前的錯(cuò)誤是因?yàn)榘验L(zhǎng)和寬搞反了。好的，糾正后：題目：長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)AB=8厘米，寬BC=5厘米，E為AD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊的中點(diǎn)，連接BE、DF，求陰影部分（四邊形BEDF）的面積。解答：方法一：割補(bǔ)法長(zhǎng)方形面積=8×5=40平方厘米。三角形ABE的面積=AB×AE÷2=8×(5÷2)÷2=10平方厘米（AE=AD÷2=2.5厘米）。三角形CDF的面積=CD×CF÷2=8×(5÷2)÷2=10平方厘米（CF=BC÷2=2.5厘米）。陰影部分面積=長(zhǎng)方形面積-三角形ABE面積-三角形CDF面積=____=20平方厘米。方法二：平行四邊形面積E、F為中點(diǎn)，故ED=BF=2.5厘米，且ED∥BF。BE∥DF（斜率相同），故四邊形BEDF為平行四邊形。面積=底×高=ED×AB=2.5×8=20平方厘米。思路點(diǎn)撥：本題考察長(zhǎng)方形的性質(zhì)及平行四邊形的判定。通過(guò)割補(bǔ)法將陰影部分轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形面積減去兩個(gè)三角形面積，或通過(guò)識(shí)別平行四邊形直接計(jì)算面積，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。例2：梯形面積計(jì)算題目：梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，求梯形的面積。解答：梯形面積公式=（上底+下底）×高÷2，代入數(shù)值得：\[(3+5)\times4\div2=8\times4\div2=16\text{平方厘米}\]思路點(diǎn)撥：梯形面積公式是五年級(jí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，需牢記“（上底+下底）×高÷2”的結(jié)構(gòu)，其中高是兩底之間的垂直距離。三、應(yīng)用題：典型問(wèn)題解法應(yīng)用題考察對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模能力，常見(jiàn)題型有盈虧問(wèn)題、雞兔同籠、相遇問(wèn)題等，需掌握固定解法。例1：盈虧問(wèn)題題目：小朋友分糖果，每人分5顆，多10顆；每人分7顆，少8顆。求有多少個(gè)小朋友，多少顆糖果？解答：兩次分配的差額：7-5=2（顆/人）總差額：多10顆+少8顆=18（顆）小朋友人數(shù)=總差額÷兩次分配差額=18÷2=9（人）糖果數(shù)=5×9+10=55（顆）或7×9-8=55（顆）思路點(diǎn)撥：盈虧問(wèn)題的核心公式是：人數(shù)=（盈+虧）÷兩次分配差額。其中“盈”是第一次分配多的部分，“虧”是第二次分配少的部分，兩者之和為總差額。例2：雞兔同籠問(wèn)題題目：籠子里有雞和兔共10只，腳共28只，求雞和兔各有多少只？解答：方法一：假設(shè)法假設(shè)全是雞，腳的總數(shù)=10×2=20（只）實(shí)際腳數(shù)比假設(shè)多28-20=8（只）每把一只雞換成兔，腳數(shù)增加2只，故兔的數(shù)量=8÷2=4（只）雞的數(shù)量=10-4=6（只）方法二：方程法設(shè)雞有x只，則兔有10-x只雞腳數(shù)+兔腳數(shù)=總腳數(shù)：2x+4(10-x)=28解方程：2x+40-4x=28→-2x=-12→x=6兔的數(shù)量=10-6=4（只）思路點(diǎn)撥：雞兔同籠問(wèn)題常用假設(shè)法或方程法解決。假設(shè)法通過(guò)假設(shè)全是雞或兔，計(jì)算腳數(shù)差額，再調(diào)整得到實(shí)際數(shù)量；方程法則通過(guò)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)腳數(shù)關(guān)系列方程求解。例3：相遇問(wèn)題題目：甲、乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，甲每小時(shí)走5千米，乙每小時(shí)走4千米，兩地相距18千米，求兩人相遇的時(shí)間。解答：兩人的速度和=5+4=9（千米/小時(shí)）相遇時(shí)間=總路程÷速度和=18÷9=2（小時(shí)）思路點(diǎn)撥：相遇問(wèn)題的核心是“速度和”，即兩人每小時(shí)共走的路程。總路程除以速度和即為相遇時(shí)間，公式為：相遇時(shí)間=總路程÷速度和。四、邏輯推理：排除與代數(shù)邏輯推理題考察思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，常用排除法、列表法或代數(shù)法解決。例1：排序問(wèn)題題目：四個(gè)小朋友A、B、C、D比賽跑步，已知：①A比B快；②C比D慢；③B比C快。請(qǐng)排出他們的跑步順序（從快到慢）。解答：根據(jù)①：A>B根據(jù)③：B>C結(jié)合①③：A>B>C根據(jù)②：C>D最終順序：A>B>C>D思路點(diǎn)撥：排序問(wèn)題通過(guò)串聯(lián)條件逐步縮小范圍，將多個(gè)條件整合后可直接得出結(jié)論。例2：猜數(shù)字問(wèn)題題目：一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2，這個(gè)數(shù)加上個(gè)位數(shù)字的和是35，求這個(gè)兩位數(shù)。解答：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x+2兩位數(shù)表示為：10(x+2)+x=11x+20根據(jù)題意：11x+20+x=35→12x=15→x=1.25？不對(duì)，等一下，應(yīng)該是這個(gè)數(shù)加上個(gè)位數(shù)字的和是35，比如兩位數(shù)是ab（a是十位，b是個(gè)位），則ab+b=35，即10a+b+b=35→10a+2b=35。又因?yàn)閍=b+2，代入得10(b+2)+2b=35→10b+20+2b=35→12b=15→b=1.25，這顯然不對(duì)，說(shuō)明題目中的數(shù)字應(yīng)該調(diào)整一下，比如和是32，這樣10a+2b=32，a=b+2，代入得10(b+2)+2b=32→12b+20=32→12b=12→b=1，a=3，兩位數(shù)是31。對(duì)，這樣才對(duì)。所以題目應(yīng)該是：題目：一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2，這個(gè)數(shù)加上個(gè)位數(shù)字的和是32，求這個(gè)兩位數(shù)。解答：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x+2兩位數(shù)表示為：10(x+2)+x=11x+20根據(jù)題意：11x+20+x=32→12x=12→x=1十位數(shù)字=1+2=3，故這個(gè)兩位數(shù)