全國一模理科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1]D.(1,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0（a，b∈R），則a+b的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

3.已知集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|ax>1},若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(-∞,0)∪(1/2,+∞)B.(-∞,0)∪(1/2,1)C.(0,1/2)D.(-1/2,0)

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.πB.2πC.3π/2D.π/2

5.在△ABC中，若角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2+b2-c2=ab，則角C的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=10，S??=120，則該數(shù)列的公差d為（）

A.2B.3C.4D.5

7.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實數(shù)a的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

8.已知圓O的半徑為2，點P在圓外，且OP=4，則過點P的圓O的切線長為（）

A.2√3B.2√2C.2D.4

9.已知函數(shù)f(x)=e^x-x2在區(qū)間(0,1)上的最大值是（）

A.e-1B.eC.1D.e^2

10.在直角坐標系中，點A(1,2)，點B(3,0)，點C在x軸上，若∠ACB=45°，則點C的坐標為（）

A.(2,0)B.(4,0)C.(2,0)或(4,0)D.(3,0)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|，下列關(guān)于f(x)的說法正確的有（）

A.f(x)在x=0處取得最小值，最小值為2B.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減D.f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增

2.在△ABC中，若角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a2=b2+c2-bc，則下列結(jié)論正確的有（）

A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形

C.tanA=√3D.cosB=1/2

3.已知等比數(shù)列{a?}的首項為2，公比為q，且a?與a?的等差中項為5，則下列關(guān)于{a?}的說法正確的有（）

A.q=2B.q=-2C.S?=128D.S?=-128

4.已知函數(shù)f(x)=xlnx-x2，下列關(guān)于f(x)的說法正確的有（）

A.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增B.f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減

C.f(x)在x=1處取得極大值D.f(x)在x=1處取得極小值

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，直線l的方程為y=kx，若直線l與圓C相交，則實數(shù)k的取值范圍有（）

A.k<-√3B.k>√3C.-√3<k<√3D.k=√3或k=-√3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin(2x)-1，則f(x)的最小正周期為______。

2.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=3，b=√7，c=2，則cosC的值為______。

3.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=7，S??=65，則該數(shù)列的通項公式a?=______。

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值為______，最小值為______。

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=1，點P(a,b)在圓C上，且向量OP與向量AB垂直，其中A(1,0)，B(0,1)，則a+b的值為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

2.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，求其在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

3.解方程組：

{x+y=5

{2x-y=1

4.計算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，求過圓心C的直線l的方程，使得直線l與圓C相切，且直線l的斜率為-1。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，即x>1。故定義域為(1,+∞)。

2.A

解析：由z2+az+b=0得(1+i)2+a(1+i)+b=0，即2i+a+ai+b=0。

實部虛部分別為0得：a+b=0，a+2=0，解得a=-2，b=2，故a+b=-2+2=0。

3.A

解析：A={x|x>1或x<2}，B={x|x>1/a}。若B?A，則當a>0時需1/a>2即a<1/2；當a<0時需1/a<1或1/a<-1，即a<-1或a>0（舍去）。

綜上a∈(-∞,0)∪(1/2,+∞)。

4.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T滿足T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.C

解析：由a2+b2-c2=ab得2a2+2b2-2c2=2ab，即(a-b)2+c2=ab。

又由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，代入得cosC=1/2，故C=60°。

6.B

解析：由a?=a?+4d=10，S??=10(a?+a??)/2=5(a?+a??)=120，得a?+a??=24。

聯(lián)立方程組解得a?=2，d=2。故該數(shù)列的公差為2。

7.A

解析：f'(x)=3x2-a。由f'(1)=3-a=0得a=3。

此時f'(x)=3(x+1)(x-1)，當x∈(0,1)時f'(x)<0，故f(x)在x=1處取得極大值。

8.√3

解析：圓心O(0,0)，半徑r=2。|OP|=4，設(shè)切點為P?，則OP?⊥P?O，|OP?|=√(|OP|2-r2)=√(42-22)=√12=2√3。

9.e-1

解析：f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0得e^x-2x=0，即e^x=2x。

在(0,1)上f'(x)由負變正，故x=1處取得最大值。f(1)=e-1。

10.C

解析：設(shè)C(x,0)，則向量AC=(x-1,-2)，向量BC=(x-3,-2)。

由∠ACB=45°得向量AC與向量BC的夾角為45°，即(AC·BC)/(|AC|·|BC|)=cos45°=√2/2。

計算得(x2-4x+5)/(√(x2+5)·√(x2+8))=√2/2，整理得x2-4x+5=√2·√(x2+5)·√(x2+8)。

兩邊平方后化簡得x2-4x+5=2(x2+5)(x2+8)的平方根，解得x=2或x=4。

故C(2,0)或C(4,0)。

二、多項選擇題答案及解析

1.ABC

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|可分段表示為：

f(x)={2x,x>1

{2,-1<x≤1

{-2x,x≤-1

故f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,1)上取得最小值2，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。

2.AD

解析：由a2=b2+c2-bc得a2=(b-c)2/4，即a2=(b-c)2/4=b2+c2-2bc/4=b2+c2-cb。

故cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=1/2，得A=60°，從而cosB=1/2。

3.AC

解析：a?=2q3，a?=2q?，等差中項為(a?+a?)/2=5，即2q?=5，得q3=5/2。

又a?=2q3=5，故q=√(5/2)，S?=2(1-q?)/(1-q)=128。

4.AB

解析：f'(x)=lnx+1-2x=lnx-2x+1。令f'(x)=0得lnx-2x+1=0，在(0,+∞)上唯一解x=e。

當x∈(0,e)時f'(x)>0，當x∈(e,+∞)時f'(x)<0。故f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減。

5.BC

解析：圓心C(1,-2)，半徑r=2。直線y=kx與圓相交，需滿足(12)+(-2+k·1)2>22，即(k-1)2>3。

解得k∈(-√3,-1)∪(1,√3)。

三、填空題答案及解析

1.π

解析：f(x)=2cos2x+sin(2x)-1=cos(2x)+1+sin(2x)-1=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)。

周期T=2π/(2)=π。

2.√3/2

解析：由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(32+√72-22)/(2×3×√7)=4/(6√7)=√3/3。

3.a?=3n-1

解析：由a?=a?+4d=7，S??=10(a?+a??)/2=5(a?+a??)=65，得a?+d=13/2。

聯(lián)立方程組解得a?=2，d=3/2。故a?=2+(n-1)×3/2=3n-1/2。

4.2,-1

解析：f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。

f(-1)=5，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=0。故最大值為2，最小值為-2。

5.1

解析：圓心C(1,2)，半徑r=1。向量OP=(a,b)，向量AB=(-1,1)。

由向量垂直得OP·AB=0，即-a+b=0，得b=a。

又(a-1)2+(b-2)2=1，代入b=a得(a-1)2+(a-2)2=1，即2a2-6a+4=0。

解得a=1/√2或a=√2。故a+b=√2或a+b=2√2。

但因向量AB與圓相切，切點坐標需滿足方程組，檢驗得a=1，b=1滿足條件。

四、計算題答案及解析

1.x3/3+x2+3x+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x-1+1/(x+1)+2-2/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫xdx-∫dx+∫dx+2∫dx-2∫dx+3∫dx/(x+1)

=x3/3+x2+3x+C

2.最大值√3+1/2，最小值-√3-1/2

解析：f'(x)=2cos(2x+π/3)。令f'(x)=0得cos(2x+π/3)=0，即2x+π/3=kπ+π/2，得x=(kπ+π/6)/2。

在[0,π]上k=0,1,2時x=π/12,5π/12,3π/4。

f(π/12)=√3/2+1/2，f(5π/12)=-√3/2+1/2，f(3π/4)=-√3/2-1/2。

又f(0)=√3/2，f(π)=√3/2-1/2。故最大值為√3+1/2，最小值為-√3-1/2。

3.x=2,y=3

解析：方程組為：

x+y=5①

2x-y=1②

①+②得3x=6，得x=2。代入①得2+y=5，得y=3。

4.1/2

解析：lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=lim(x→0)(e^x-1)/2x-1/x2

=lim(x→0)e^x/2-1/2x2=1/2-1/2=1/2

5.x+y-1=0

解析：圓心C(1,-2)。直線l斜率為-1，方程為y+2=-1(x-1)，即x+y-1=0。

檢驗：圓心到直線距離d=|1-2-1|/√2=√2=r=2，故直線與圓相切。

知識點總結(jié)

本試卷涵蓋以下理論基礎(chǔ)知識點：

1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

-函數(shù)定義域與值域

-復(fù)數(shù)運算與方程

-函數(shù)單調(diào)性與極值

-導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與最值求解

2.解析幾何

-集合關(guān)系與運算

-向量垂直條件

-圓的標準方程與性質(zhì)

-直線與圓的位置關(guān)系

3.數(shù)列

-等差數(shù)列通項與求和

-等比數(shù)列性質(zhì)

-數(shù)列極限與遞推關(guān)系

4.三角函數(shù)

-三角函數(shù)性質(zhì)與周期

-解三角形

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