內(nèi)蒙包頭單招數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|在x=0處的導(dǎo)數(shù)是（）

A.-1

B.0

C.1

D.不存在

2.若直線y=kx+b與圓(x-1)2+(y-2)2=4相切，則k的值為（）

A.±1

B.±2

C.±√2

D.±√3

3.已知等比數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_3=8，則a_5的值為（）

A.16

B.24

C.32

D.64

4.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

5.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|的值為（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

6.拋物線y=x2的焦點坐標(biāo)是（）

A.(0,0)

B.(1,0)

C.(0,1)

D.(1,1)

7.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

8.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，則a·b的值為（）

A.5

B.7

C.11

D.25

9.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的切線方程是（）

A.y=x

B.y=x+1

C.y=e^x

D.y=e^x+1

10.已知圓O的半徑為2，圓心到直線l的距離為1，則直線l與圓O的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=x2

B.y=e^x

C.y=log?(x)(x>1)

D.y=-x

E.y=sin(x)

2.若A是3階矩陣，|A|=2，則下列等式成立的有（）

A.|2A|=4

B.|A?1|=1/2

C.|A?|=2

D.|A+B|=|A|+|B|(B為3階矩陣)

E.|A2|=4

3.下列命題中，正確的有（）

A.命題“p或q”為真，則p和q中至少有一個為真

B.命題“p且q”為假，則p和q中至少有一個為假

C.命題“非p”為真，則p為假

D.命題“若p則q”為真，則p為假或q為真

E.命題“p且非p”為真

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則下列說法正確的有（）

A.f(x)在x=1處取得極大值

B.f(x)在x=0處取得極小值

C.f(x)的圖像是一個三次函數(shù)

D.f(x)的圖像與x軸有三個交點

E.f(x)的圖像是一個開口向上的拋物線

5.下列不等式正確的有（）

A.a2+b2≥2ab

B.ab≤(a+b)/2(a,b為正數(shù))

C.(a+b)/2≥√(ab)(a,b為正數(shù))

D.a3+b3≥2ab√(ab)(a,b為正數(shù))

E.1/x+1/y≥2(x,y為正數(shù))

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若直線y=mx+c與圓(x-2)2+(y-3)2=1相切，則m2+c2-4m-6c+8=_______。

2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，則其通項公式a_n=_______。

3.函數(shù)f(x)=tan(x)在區(qū)間(-π/2,π/2)內(nèi)的值域是_______。

4.已知向量a=(3,-1)，b=(1,2)，則向量a在向量b方向上的投影長度是_______。

5.若復(fù)數(shù)z=2+3i，則其共軛復(fù)數(shù)z?的模|z?|是_______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{2x+y-z=1

{x-y+2z=4

{x+2y+z=3

3.求極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。

4.計算sin(π/3)*cos(π/6)+cos(π/3)*sin(π/6)。

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，求過點P(2,0)的圓C的切線方程。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C

2.C

3.C

4.B

5.B

6.A

7.A

8.C

9.A

10.A

解題過程：

1.f(x)=|x-1|在x=0處的函數(shù)值為1，其圖像在x=0處有尖點，故導(dǎo)數(shù)不存在。

2.圓心(1,2)到直線的距離為|(k*1-1+b*2)|/√(k2+b2)=2，解得k2=2，即k=±√2。

3.a_3=a_1*q^2，8=2*q^2，得q=2，a_5=a_3*q^2=8*4=32。

4.f(x)=√2*sin(x+π/4)，最大值為√2。

5.|z|=√(12+12)=√2。

6.焦點在拋物線對稱軸上，坐標(biāo)為(0,1/4*4)=(0,1)。

7.∠C=180°-60°-45°=75°。

8.a·b=1*3+2*4=11。

9.f'(x)=e^x，f'(0)=1，f(0)=1，切線方程為y-1=1(x-0)，即y=x+1。（此處參考答案A有誤，正確切線應(yīng)為y=x，修正為A）

10.圓心到直線距離小于半徑，故相交。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.AB

2.ABCE

3.ABC

4.ACD

5.ACD

解題過程：

1.y=x2在(0,+)單調(diào)遞增；y=e^x單調(diào)遞增；y=log?(x)(x>1)單調(diào)遞增；y=-x單調(diào)遞減；y=sin(x)非單調(diào)。故選AB。

2.|2A|=23|A|=8*2=16；|A?1|=1/|A|=1/2；|A?|=|A|=2；|A+B|值不確定；|A2|=|A|2=22=4。故選ABCE。

3.“p或q”為真，至少一個真，A對；“p且q”為假，至少一個假，B對；“非p”為真，p必假，C對；“若p則q”為真，p假或q真，D對；“p且非p”為矛盾命題，必假，E錯。故選ABC。

4.f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，駐點x=0,x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0。x=0處極大值，x=2處極小值，A對，B錯。f(x)是三次函數(shù)，C對。令f(x)=0，x3-3x2+2=0=>(x-1)2(x+2)=0，x=1(重根),x=-2。圖像與x軸有三個交點，D對。圖像是三次函數(shù)圖像，非拋物線，E錯。故選ACD。

5.a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，故A對。ab≤((a+b)/2)2=(a2+2ab+b2)/4=>4ab≤a2+2ab+b2=>2ab≤a2+b2，當(dāng)a=b時取等，故B對，C也成立（是B的等價形式）。a3+b3-2ab√(ab)=(√a-√b)2(√a+√b)2≥0，故D對。1/x+1/y≥2√(1/x*1/y)=2/√(xy)，當(dāng)x=y時取等。若x,y均大于0，則xy>0，2/√(xy)有意義，不等式成立。若x,y中有非正數(shù)，不等式不一定成立，例如x=1,y=0，則左邊無意義。題目未說明x,y為正數(shù)，故E不一定對。應(yīng)選AD。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.0

2.4n-6

3.R

4.√10

5.5

解題過程：

1.圓心(2,3)到直線mx+c-y=0的距離d=|2m+c-3|/√(m2+1)=1。兩邊平方得(2m+c-3)2=m2+1。展開得4m2+4mc+c2-12m-6c+9=m2+1。整理得3m2+4mc-12m-6c+8=0。題目要求填入的式子是m2+c2-4m-6c+8。觀察可知，所填式子比上式少了一個2m項。將上式兩邊同時減去2m得3m2+(4c-12)m+c2-6c+8=2m。要使所填式子等于上式，需要使2m=0，即m=0。將m=0代入上式，得c2-6c+8=0。該式子等于0，故填0。

2.設(shè)首項為a?，公差為d。a?=a?+4d=10。a??=a?+9d=25。兩式相減得5d=15，得d=3。代入a?式得a?+12=10，得a?=-2。通項公式a_n=a?+(n-1)d=-2+(n-1)*3=-2+3n-3=3n-5?；蛘哂玫炔钪许椥再|(zhì)，a?是a?和a??的等差中項，a?=(a?+a??)/2=(10+25)/2=17.5。但題目給出的a?=10，與中項性質(zhì)矛盾，說明題目數(shù)據(jù)可能有問題。若按a?=10和a??=25計算，d=3，a?=a?-4d=10-12=-2。通項公式為a_n=-2+(n-1)*3=3n-5。

3.y=tan(x)的圖像是周期為π的周期函數(shù)，在每個開區(qū)間(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。值域是全體實數(shù)R。

4.投影長度|a|*cosθ，其中θ是a與b的夾角。cosθ=a·b/(|a||b|)=(3*1+(-1)*2)/(√(32+(-1)2)*√(12+22))=1/(√10*√5)=1/√50=1/(5√2)=√2/10。投影長度=√10*(√2/10)=√(10*2)/10=√20/10=2√5/10=√5/5。另解：向量a在向量b上的投影向量a_b=(a·b/|b|2)*b=(11/(1+4))*(1,2)=(11/5,22/5)。投影長度為√((11/5)2+(22/5)2)=√(121/25+484/25)=√(605/25)=√(121*5/25)=√(121/5)=11/√5=11√5/5。兩種解法結(jié)果不同，第二解法更標(biāo)準(zhǔn)。應(yīng)填√5/5。此處參考答案√10有誤，修正為√5/5。

5.z=2+3i，則z?=2-3i。|z?|=|z|=√(22+(-3)2)=√(4+9)=√13。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

解：∫[(x2+x)+(x+3)]/(x+1)dx=∫[(x(x+1)+x)+(x+3)]/(x+1)dx

=∫[x(x+1)/(x+1)+x/(x+1)+(x+3)/(x+1)]dx

=∫[x+x/(x+1)+1+3/(x+1)]dx

=∫xdx+∫dx+∫dx/(x+1)+3*∫dx/(x+1)

=x2/2+x+∫d(x+1)/(x+1)+3*∫d(x+1)/(x+1)

=x2/2+x+ln|x+1|+3ln|x+1|+C

=x2/2+x+4ln|x+1|+C

2.解方程組：

{2x+y-z=1

{x-y+2z=4

{x+2y+z=3

解：方程①+方程②+方程③得：(2x+x+x)+(y-y+2y)+(-z+2z+z)=1+4+3

即4x+2y+2z=8

得2x+y+z=4④

用方程④減去方程①得：(2x-2x)+(y-y)+(z-(-z))=4-1

即2z=3

得z=3/2

用方程④減去方程③得：(2x-x)+(y-2y)+(z-z)=4-3

即x-y=1⑤

代入方程②得：x-(-x+1)+2*(3/2)=4

即2x+1+3=4

即2x=0

得x=0

代入方程⑤得：0-y=1

得y=-1

經(jīng)檢驗，x=0,y=-1,z=3/2是原方程組的解。

答：方程組的解為x=0,y=-1,z=3/2。

3.lim(x→0)(e^x-1-x)/x2

解法一（洛必達(dá)法則）：原式是0/0型。分子對x求導(dǎo)得e^x-1。分母對x求導(dǎo)得2x。應(yīng)用洛必達(dá)法則一次得：

lim(x→0)(e^x-1)/2x

仍為0/0型。分子對x求導(dǎo)得e^x。分母對x求導(dǎo)得2。再次應(yīng)用洛必達(dá)法則得：

lim(x→0)e^x/2=e?/2=1/2。

解法二（泰勒展開）：e^x=1+x+x2/2!+x3/3!+...。原式=lim(x→0)[(1+x+x2/2+...)-1-x]/x2

=lim(x→0)(x2/2+x3/6+...)/x2

=lim(x→0)(1/2+x/6+...)=1/2。

答：極限值為1/2。

4.計算sin(π/3)*cos(π/6)+cos(π/3)*sin(π/6)

解：應(yīng)用正弦和角公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

原式=sin(π/3+π/6)=sin(π/2)=1。

答：計算結(jié)果為1。

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，求過點P(2,0)的圓C的切線方程。

解法一（點斜式）：圓心A(1,-2)，半徑r=2。點P(2,0)在圓外，因為|PA|=√((2-1)2+(0-(-2))2)=√(1+4)=√5>2=r。

設(shè)過P的切線方程為y-0=k(x-2)，即y=kx-2k。

即kx-y-2k=0。圓心A到切線距離等于半徑r=2。

d=|k*1-(-2)-2k|/√(k2+(-1)2)=|k+2-2k|/√(k2+1)=|2-k|/√(k2+1)=2。

兩邊平方得(2-k)2=4(k2+1)。

4-4k+k2=4k2+4。

3k2+4k=0。

k(3k+4)=0。

得k=0或k=-4/3。

當(dāng)k=0時，切線方程為y=0。

當(dāng)k=-4/3時，切線方程為y=(-4/3)x+(8/3)。

即4x+3y-8=0。

答：所求切線方程為y=0或4x+3y-8=0。

解法二（斜率公式）：同解法一，設(shè)切線斜率為k。圓心到切線距離公式d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)，切線方程Ax+By+C=0。圓心(1,-2)，半徑2。切線方程kx-y-2k=0。A=k,B=-1,C=-2k。圓心(1,-2)。d=|k*1+(-1)*(-2)+(-2k)|/√(k2+1)=|k+2-2k|/√(k2+1)=|2-k|/√(k2+1)=2。

兩邊平方得(2-k)2=4(k2+1)。解得k=0或k=-4/3。

下面求另一種切線：設(shè)切線斜率不存在，即切線垂直于x軸，方程為x=2。圓心A(1,-2)到直線x=2的距離為2-1=1<r=2，故x=2不是切線。

下面求切線斜率存在的情況：k=0或k=-4/3。對應(yīng)的切線方程為y=0或4x+3y-8=0。

知識點總結(jié)：

1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：極限計算（洛必達(dá)法則、泰勒展開）、導(dǎo)數(shù)定義、導(dǎo)數(shù)幾何意義（切線方程）、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)圖像、函數(shù)性質(zhì)（奇偶性、周期性）。

2.函數(shù)方程與不等式：函數(shù)方程求解、多項式除法、不等式性質(zhì)、比較大小、證明不等式（基本不等式、柯西不等式）、解絕對值不等式。

3.向量代數(shù)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積（點積）的定義與性質(zhì)、投影、向量垂直與平行、向量模與夾角。

4.數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式、性質(zhì)。

5.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、幾何意義（復(fù)平面）、共軛復(fù)數(shù)、模、運(yùn)算。

6.解析幾何：直線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程、直線與圓的位置關(guān)系（相離、相切、相交）、點到直線的距離公式、圓心到直線的距離公式、韋達(dá)定理。

7.微分方程：不定積分的計算（基本積分法、換元積分法、分部積分法）。

8.線性代數(shù)初步：行列式的計算、矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算、逆矩陣、線性方程組求解（高斯消元法、克萊姆法則）。

9.推理與證明：命題邏輯、充分條件與必要條件、數(shù)學(xué)歸納法。

各題型所考察學(xué)生的知識點詳解及示例：

一、選擇題：主要考察學(xué)生對基本概念、性質(zhì)定理的掌握程度和運(yùn)用能力。題目覆蓋面廣，要求學(xué)生熟悉定義、公式、定理，并能進(jìn)行簡單的判斷和推理。例如考察導(dǎo)數(shù)的定義，需要知道導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的精確描述；考察向量的數(shù)量積，需要知道其定義、幾何意義和坐標(biāo)運(yùn)算公式；考察數(shù)列，需要掌握等差等比數(shù)列的通項和求和公式；考察解析幾何，需要掌握直線和圓的方程及位置關(guān)系判斷。

示例1（導(dǎo)數(shù)）：判斷函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)是否存在，需要結(jié)合函數(shù)圖像或定義進(jìn)行判斷，如題目1。

示例2（解析幾何）