★數(shù)學(xué)建模——初等函數(shù)模型的應(yīng)用2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0);(2)二次函數(shù)模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0);(3)反比例函數(shù)模型:

(k為常數(shù),k≠0);(4)指數(shù)型函數(shù)模型:f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,b≠1);(5)對數(shù)型函數(shù)模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,a≠1);(6)冪型函數(shù)模型:f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0);2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型的性質(zhì)比較

1.當(dāng)描述的增長速度變化很快時,選用指數(shù)型函數(shù)模型.2.當(dāng)要求不斷增長,但又不會增長過快,也不會增長到很大時,選用對數(shù)型函數(shù)模型.3.冪函數(shù)模型y=xn(n>0)可以描述增長幅度不同的變化,當(dāng)n值較小(n≤1)時,增長較慢;當(dāng)n值較大(n>1)時,增長較快.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)冪函數(shù)增長比一次函數(shù)增長更快.(

)(2)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi),隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xα(α>0)的增長速度.(

)(3)指數(shù)型函數(shù)模型一般用于解決變化較快,短時間內(nèi)變化量較大的實際問題.(

)(4)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當(dāng)x∈(4,+∞)時,恒有h(x)<f(x)<g(x).(

)(5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=abx+c(a>0,b>1)增長速度越來越快的形象比喻.(

)×√√√√2.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為(

)D3.(多選)(2023新高考Ⅰ,10)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級Lp=20×,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則(

)A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2ACD4.經(jīng)多次試驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q(單位:L)與速度v(單位:km/h)(40≤v≤120)的數(shù)據(jù)如下表:v406090100120Q5.268.3251015.6為描述Q與v的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種模型供選擇:Q(v)=0.04v+3.6,Q(v)=0.5v+a,Q(v)=0.000025v3-0.004v2+0.25v.選出最符合實際的函數(shù)模型,解決下列問題:某高速公路共有三個車道,分別是外側(cè)車道、中間車道、內(nèi)側(cè)車道,車速范圍分別是[60,90),[90,110),[110,120](單位:km/h).為使百千米耗油量W(單位:L)最小,該型號汽車行駛的車道與速度為(

)A.在外側(cè)車道以80km/h行駛

B.在中間車道以90km/h行駛C.在中間車道以95km/h行駛

D.在內(nèi)側(cè)車道以115km/h行駛A由題意,符合的函數(shù)模型需要滿足在40≤v≤120,v都可取,且由表可知,Q隨v的增大而增大,則該函數(shù)模型應(yīng)為增函數(shù),故Q(v)=0.5v+a不符合.若選擇Q(v)=0.04v+3.6,則Q(90)=0.04×90+3.6=7.2,Q(100)=0.04×100+3.6=7.6,Q(120)=0.04×120+3.6=8.4,與實際數(shù)據(jù)相差較大,所以Q(v)=0.04v+3.6不符合.若選擇Q(v)=0.000

025v3-0.004v2+0.25v,則Q(40)=5.2,Q(60)=6,Q(90)=8.325,Q(100)=10,Q(120)=15.6,所以Q(v)=0.000

025v3-0.004v2+0.25v最符合實際.由W=

=0.002

5v2-0.4v+25=0.002

5(v-80)2+9,得當(dāng)v=80時,W取得最小值為9.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型例1

某企業(yè)為打入國際市場,決定從A,B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn),已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),m為待定常數(shù),其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原料價格決定,預(yù)計m∈[6,8],另外,年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬元的特別關(guān)稅,假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去.(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x1,x2之間的函數(shù)解析式,并指明定義域;(2)如何投資才可獲得最大年利潤?請你做出規(guī)劃.解

(1)由題意得y1=10x1-(20+mx1)=(10-m)x1-20(0≤x1≤200,=-0.05(x2-100)2+460(0≤x2≤120,且x2∈N).(2)因為6≤m≤8,所以10-m>0,所以y1=(10-m)x1-20單調(diào)遞增.又0≤x1≤200,x1∈N,所以當(dāng)x1=200時,生產(chǎn)A產(chǎn)品的最大利潤為(10-m)×200-20=1

980-200m(萬元).因為y2=-0.05(x2-100)2+460(0≤x2≤120,且x2∈N),所以當(dāng)x2=100時,生產(chǎn)B產(chǎn)品的最大利潤為460萬元.(y1)max-(y2)max=(1

980-200m)-460=1

520-200m.易知當(dāng)6≤m<7.6時,(y1)max>(y2)max.即當(dāng)6≤m<7.6時,投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤;當(dāng)m=7.6時,投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件或投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件,均可獲得最大年利潤;當(dāng)7.6<m≤8時,投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤.解題心得解決一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的三個注意點:(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決,但一定要密切注意函數(shù)的定義域,否則極易出錯;(2)確定一次函數(shù)模型時,一般是借助兩個點來確定,常用待定系數(shù)法;(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時,最后要還原到實際問題.對點訓(xùn)練1某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤f(x)與投資x成正比,其關(guān)系如圖①所示;B產(chǎn)品的利潤g(x)與投資x的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖②所示(注:利潤和投資單位:萬元).

(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)解析式;(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)中.①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,則可獲得多少利潤?②怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?能力形成點2分段函數(shù)模型例2

某市計劃明年投入600萬元加強民族文化基礎(chǔ)設(shè)施改造.據(jù)調(diào)查,改造后預(yù)計該市在一個月內(nèi)(以30天計),民族文化旅游人數(shù)f(x)(單位:萬人)與時間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足

,人均消費g(x)(單位:元)與時間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足g(x)=104-|x-23|.(1)求該市旅游日收益p(x)(單位:萬元)關(guān)于時間x(1≤x≤30,x∈N*)的函數(shù)解析式;(2)若以最低日收益的15%為純收入,該市對純收入按1.5%的稅率來收回投資,按此預(yù)計兩年內(nèi)能否收回全部投資.解題心得1.在現(xiàn)實生活中,很多問題的兩個變量之間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出,而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù).如出租車票價與路程之間的關(guān)系就是分段函數(shù).2.分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同,可以先將其作為幾個不同的問題,將各段的規(guī)律找出來,再將其合在一起.要注意各段自變量的取值范圍,特別是端點.對點訓(xùn)練2某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源,新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目.經(jīng)測算,該項目月處理成本y(單位:元)與月處理量x(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為

且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價值為200元.若該項目不獲利,則政府將給予補貼.(1)當(dāng)x∈[200,300]時,判斷該項目能否獲利?若獲利,求出最大利潤;若不獲利,則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損?(2)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?解

(1)當(dāng)x∈[200,300]時,設(shè)該項目獲利為S元,即當(dāng)x∈[200,300]時,S<0,因此該項目不會獲利.當(dāng)x=300時,S取得最大值-5

000,故政府每月至少需要補貼5

000元才能使該項目不虧損.能力形成點3形如y=ax+的函數(shù)模型例3

如圖,公園里有一塊邊長為2的等邊三角形ABC的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.(1)設(shè)AD=x(x≥1),DE=y,求用x表示y的函數(shù)解析式;(2)公園管理處想沿DE設(shè)計一條智能灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?拓展延伸本題條件下,若計劃將DE設(shè)計成一條參觀線路,則希望它最長,此時DE的位置又該在哪里?請說明理由.對點訓(xùn)練32025年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本2500萬元,每生產(chǎn)x(單位:百輛),需另投入成本C(x)萬元,由于生產(chǎn)能力有限,x不超過a(a>40)且

由市場調(diào)研知,每輛車售價為5萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2025年的利潤L(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:百輛)的函數(shù)解析式(利潤=銷售額-成本).(2)2025年產(chǎn)量為多少百輛時,企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.能力形成點4指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型例4

某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人,如果年自然增長率為1.2%,試解答以下問題:(1)寫出該城市的人口總數(shù)y(單位:萬人)與年份x(單位:年)的函數(shù)解析式;(2)計算10年以后該城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬人);(3)計算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年).(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)解

(1)1年后該城市人口總數(shù)為y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%),2年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2,3年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3,……x年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)x.故該城市人口總數(shù)y與年份x的函